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LP 06 Utilisations des lois de conservation dans le problème à deux corps
Applications (gravitation, champ de force coulombien).
Intro:
importance du problème à deux corps car toutes les forces connues en mécanique
classique sont des interactions à deux corps
de nombreux systèmes physiques peuvent être modélisés par un système à deux corps en
interaction
 ce problème présente l'avantage de pouvoir être traité très généralement
A) Le problème à deux corps:
1) Position du problème:
Considérons deux corps, considérés comme ponctuels, de masse
1
m
et
2
m
, occupant les
points
1
M
et
2
M
, ces positions dépendant à priori du temps, ces deux particules constituant
un système isolé dans un référentiel galiléen R.
La particule
2
M
exerce sur la particule
1
M
une force
1
f
et la particule
1
M
exerce sur la
particule
2
M
une force
2
f
.
D'après le principe des actions réciproques, on a
21 ff  
.
Si on écrit le PFD pour chacune des particules, on a:
1
21
2
1f
dt
OMd
m
et
2
22
2
2f
dt
OMd
m
Ces deux équations sont couplées par l'intermédiaire des forces d'interaction, qui
dépendent de la position de l'autre particule (elles sont portées par la droite
21MM
).
On se propose dans un premier temps de trouver des équations découplées.
2) Particule fictive :
Ajoutons membre à membre les deux équations précédentes. On obtient:
0
21
2
2
2
1
1
2
ff
dt
OMmOMmd
Si on introduit le centre de masse du système G, on obtient alors que:
0
2
2
dt
OGd
Par ailleurs, on peut combiner ces équations pour obtenir
2
21
21
1
1
2
2
221
2
212
211 f
mm mm
f
m
f
m
dt MMd dt OMOMd 
. Si on note
12MMr 
et que
l'on introduit la masse réduite
21
21 mm mm
, on obtient:
2
2
2f
dtrd 

Le mouvement de G étant rectiligne uniforme, le référentiel du centre de masse R* est
galiléen si R l'est. L'équation précédente s'interprète donc comme le mouvement d'une
particule fictive de masse soumise à la force centrale (passant par G)
2
f
.
Si la position M de cette particules est connue, alors celles de
1
M
et de
2
M
le sont par les
relations vectorielles:
r
mm m
GM 
21
2
1
r
mm m
GM 
21
1
2
Si par ailleurs on définit la vitesse
** 12
21 vv
dtMMd
v 
, vitesse relative des deux
particules, et aussi vitesse de la particule fictive dans R*:
v
mm m
v
21
2
1*
et
v
mm m
v
21
2
2*
3) Lois de conservation:
Calculons, dans le référentiel R*, le moment cinétique de l'ensemble des deux particules:
vGMv
mm mm
v
mm mm
GMvGMmvGMmL   .
*
2
21
21
*
1
21
12
*
222
*
111
*
Le moment cinétique de l'ensemble correspond lui aussi au moment cinétique de la
particule fictive de masse .
Si on calcule
0
*
*
GMvv
dt
Ld
car la force est une force centrale, on voit que
le moment cinétique se conserve au cours du mouvement. Ceci implique:
- que le mouvement est plan. En effet, à tout instant on a
LGM 
et donc la trajectoire de
la particule fictive, et donc celles des deux particules réelles se déduisant par
homothétie de centre G de celle-ci sont en permanence dans le plan orthogonal à
L
imposé par les conditions initiales
- qu'en coordonnées polaires
cster o
2
.
. On définit alors la constante des aires par
*
2L
rC o
,déterminée par les conditions initiales, ainsi appelée car l'aire balayée
pendant dt par le vecteur
GM
vaut
dt
C
dtrrdS o
2
.
2
1
.
Calculons à présent l'énergie cinétique du système:
22
2
2
2
1
2
2*
22
2*
11 .
2
1
2
1
2
1
*vv
m
v
m
vmvmEc
L'énergie cinétique totale correspond donc à l'énergie cinétique de la particules fictive
définie plus haut.

L'énergie mécanique totale dans le référentiel barycentrique vaut alors, dans le cas
particulier où les forces d'interaction dérivent d'une énergie potentielle
rEp
:
rErrErrrEEE peff
o
p
oo
pcm 
 2
2
2
*.
2
1
2
.
2
1
, où on introduit l'énergie
potentielle effective qui ne dépend que de r
rE
r
C
Eppeff  2
2
2
.
Le système étant isolé, l'énergie mécanique totale se conserve.
On a vu que tout se passait comme si il y avait une particule fictive de masse et de
vitesse
v
dans le référentiel barycentrique soumise à une force centrale
2
f
, les trajectoires des
particules réelles se déduisant par homothétie de sa trajectoire. Dans toute la suite, nous ne
considérerons donc qu'une particule soumise à une force centrale. Pour alléger les notations,
nous noterons sa masse m, sa vitesse
v
, ses coordonnées
,r
, son moment cinétique
L
et son
énergie
pcm EEE ,,
.
4) Une première application : formules de Binet.
Afin de déterminer la nature des trajectoires, il est plus simple d'avoir
r
que
tr
et
t
. Nous allons donc déterminer les équations différentielles qui relient la vitesse et
l'accélération de la particule à
r
.
Notons
r
u1
.
On a
d
du
C
d
du
du
dr
r
C
dt
d
d
dr
r
o 2
et
Curo
En coordonnées polaires, on a
ererv o
r
o 
d'où on tire la première formule de Binet:
 r
e
d
du
euCv 
Si on calcule
2
2
22
22
2
dud
uC
r
C
dud
C
dt
d
drd dt
rd
r
oo
oo 
et
32
2uCr o
Par ailleurs, en coordonnées polaires, l'accélération s'écrit
r
ooo err  
 2
, la composante
orthoradiale étant nulle puisque les forces sont centrales.
On a alors la seconde formule de Binet:
 u
dud
uC 2
2
22

B) Applications aux champs newtoniens:
1) Définition:
On appelle champ newtonien un champ qui exerce sur une particule une force de la forme
r
r
k
f
3
, c'est-à-dire que cette force dérive d'une énergie potentielle
r
k
Ep
.
Deux types d'interaction présentent cette caractéristique:
- la gravitation entre deux particules, avec
21mGmk
toujours positif.
- Les forces électrostatique de Coulomb avec
0
21.4
qq
k
qui peut être positif ou négatif
selon que les charges sont de même signe ou de signe opposé.
La nature du mouvement est fortement modifiée selon le signe de k. Nous allons donc
traiter pour le cas k positif le mouvement des planètes, et pour le cas k négatif la diffusion
Rutherford, c'est-à-dire la trajectoire d'un particule en interaction avec un noyau.
2) Cas où k est positif.
a) Equation de la trajectoire:
Ecrivons le PFD pour une particule de masse m soumise à un champ newtonien:
On a
r
e
rk
fm 
2
Les formule de Binet nous donnent:
2
2
2
22 kuu
dud
umC 
, soit
22
2
mC
k
u
dud 
, ce qui s'intègre immédiatement en:
cos
2A
mC
k
u
, A et sont deux constantes d'intégration.
En se souvenant que
u
r1
, on obtient que
cos1
cos1 2
2
ep
k
AmC k
mC
r
On reconnaît là l'équation polaire d'une conique de paramètre p et d'excentricité e dont
l'axe focal fait avec l'axe Ox définit par
0
un angle . Pour alléger les calculs, on choisira
l'axe Ox de telle sorte que
0
et on aura:
cos1 ep
r

b) Nature de la trajectoire
Reprenons l'expression de l'énergie mécanique totale, constante au cours du mouvement:
rErmrEEE peff
o
pcm  2
*.
2
1
, avec
r
k
r
Cm
rE
r
Cm
Eppeff  2
2
2
2
22
L'énergie potentielle effective s'annule à l'infini et en
k
mC
r2
2
0
, et donc il est plus simple
de poser
 r
r
r
kEpeff 1
2
0
Si on trace cette énergie potentielle effective, on a:
On voit alors qu'il y a deux
possibilités pour le mouvement de
la particule:
- soit
0
m
E
et on a un état
de diffusion
- soit
0
m
E
et on a un état
lié.
On peut retrouver ce résultat en utilisant la conservation de l'énergie mécanique: celle-ci
vaut, en fonction de u:
1
2
cos1cos21
2
cos1
sincoscos21
2
1
2
1
2
2
2
22
2
22
2
2
22
e
p
k
e
p
k
ee
p
k
e
p
k
p
e
pee
mC
ku
d
du
umCEm
formule d'après laquelle on voit que si
0
m
E
, alors
1e
, et donc que la trajectoire est
une hyperbole, si
0
m
E
, alors
1e
, et la trajectoire est une parabole, et que si
0
m
E
alors
1e
, et la trajectoire est une ellipse (état lié).
0
r
0
2r
c
E
0
m
E
0
m
E