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FORCECENTRALE04
On établit un champ électrostatique
E
tel qu'en tout point M d’un plan Π donné, il est dirigé vers un point fixe O et a pour module E =
E
0
r
r
n
0
F
H
G
I
K
J
(avec n > 0), où r =
OM
 →
et E
0
et r
0
sont des constantes. Une particule de masse m et de charge q, placée initialement dans le plan Π
avec une vitesse dans ce plan, est soumise à l'action du champ
E
. On néglige l’action de la pesanteur.
1) Montrer que la trajectoire de la particule est dans le plan Π.
2) Écrire les équations du mouvement dans la base polaire de ce plan, d’origine O.
3) Montrer que si l'on choisit convenablement les conditions initiales, la particule peut se déplacer sur une orbite circulaire de centre O.
Calculer dans ce cas la vitesse linéaire v
0
de la particule sur la trajectoire circulaire de rayon r
0
.
Corrigé
1) On se place dans le référentiel R où est défini le champ
E
. Il est supposé galiléen pour le
phénomène étudié.
Le système mécanique est la particule notée P ; sa position est notée M dans R . Elle est
soumise à la force électrique
F
= q
E
. Comme
E
est radial, la force est centrale.
On applique le théorème du moment cinétique à la particule, calculé au point O, dans le réfé-
rentiel R qui est galiléen :
d
P
dt
σ
OEXT
(
)
=M où M
EXT
= ∧
 →
OM F =
0
car
F
est colinéaire à
OM
 →
.
L’intégration du théorème conduit à
σ
σ
O
( ) P
=
: la direction du moment cinétique est donc cons-
tante au cours du temps. Mais, par définition, σ
O
( ) ( ) P OM mv P = ∧
 →
donc le moment cinétique est
toujours perpendiculaire aux vecteurs
OM
 →
et
v
( P ) et donc au plan de ces deux vecteurs.
La direction constante de
σ
O
( ) P impose que ce plan (qui est celui de la trajectoire) soit
constant. Comme initialement
OM
 →
( t = 0) et
v
( t = 0) sont dans le plan Π , il en est de même à cha-
que instant : la trajectoire de la particule P est donc dans le plan Π .
2) On peut écrire la deuxième loi de Newton dans le référentiel R qui est galiléen :
ma ( P ) =
F
. On repère la particule dans la base polaire d’origine O , dans
laquelle
F
= – qE ( r )
u
r(
M ). L’accélération s’écrit dans cette base
a P d r t
dt r t d t dt u M dr t dt
d t
dt r t d t dt u M( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= −
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
+ +
F
H
G
I
K
J
2
2
22
2
2
θ θ θ
θr
La loi de Newton se projette donc en
md r t
dt r t d t dt qE r r t
mdr t
dt
d t
dt r t d t dt
n
2
2
2
00
2
2
2 0
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
−
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
= −
F
H
G
I
K
J
+
F
H
GI
K
J
=
R
S
|
|
T
|
|
θ
θ θ
La deuxième projection devient 2 0
22
2
r t dr t
dt
d t
dt
r t d t
dt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )θ θ + = après multiplication
par r(t), ce qui s’intègre en r t
d
t
dt
C
2
( )
(
)
θ
= .
Remarque : le moment cinétique s’écrit dans la base polaire :
σ
θ
θO r r
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P ru M m dr t
dt u M r t d t dt u M= ∧ +
F
H
G
I
K
J
=mr
d
t
dt
u
2
θ
(
)
Z
.
L’équation
r t
d
t
dt
C
2
( )
(
)
θ
= traduit donc aussi la constance dans le temps du module du vec-
teur
σ
O
( )P. C est appelée constante des aires.
P
v
(P)
O
E
(M)
u
r
(M)
u
θ
(M)

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3) L’orbite est circulaire si r = r
C
quel que soit t. On en déduit d r t
dt
2
2
0
( ) = et la première
projection de la loi de Newton devient mr d t
dt qE r r
n
C
C
θ( )
F
H
G
I
K
J
=
F
H
G
I
K
J
2
00
soit
d t
dt
qE
mr
r
r
n
θ( ) =
F
H
G
I
K
J
0 0 2
C C
: le mou-
vement est uniforme et la vitesse linéaire vaut v r d t
dt
qE
mrr r
n
C C C
C
= =
F
H
G
I
K
J
θ( )
0 0 2
.
Si la trajectoire est de rayon r0 alors d t
dt
qE
mr
θ( ) =
0
0
et vqE
m
r
000
=. Cela
n’est possible que si initialement, la particule est placée au point M0 situé à l dis-
tance r0 de O, avec la vitesse
v
(0) de module v0 et dirigée perpendiculairement à
OM
0
 →
M
0
v
(0)
Or
0