Les ensembles mathématiques

2 BEP date :
Ph. Georges Maths 1/3
Les ensembles mathématiques
 I; N contient les nombres 0, 1, 2, 3 ...
C'est l'ensemble des entiers naturels.
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contient les nombres précédents ainsi que – 1, – 2, – 3, ...
C'est l'ensemble des entiers relatifs.
 ID contient les nombres précédents ainsi que les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme
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avec a un entier relatif et n un entier naturel.
Par exemple : 4,89 =
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; 54,698 =
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C'est l'ensemble des nombres décimaux.
 I;Q contient les nombres précédents ainsi que toutes les fractions
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,
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,
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...
Une fraction est le quotient de deux nombres entiers (non au dénominateur).
C'est l'ensemble des rationnels.
 I; R contient les nombres précédents ainsi que , 2 ...
C'est l'ensemble des nombres réels.
L'ensemble des réels.
Tous les nombres utilisés en Seconde sont des réels.
Divers problèmes géométriques ont amené à considérer de nouveaux nombres comme par exemple 2.
Le premier est la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle de coté 1.
Le second est le périmètre d'un cercle de diamètre 1.
On représente cet ensemble I; R par une droite graduée. Une telle droite est appelée droite numérique.
Tout point de cette droite a pour abscisse un nombre réel. Et, réciproquement, tout nombre réel est
l'abscisse d'un point de cette droite.
Par exemple :
Sur ce dessin, le point A a pour abscisse le nombre réel négatif – 3 alors que les nombres réels positifs
2 et  sont les abscisses des points B et C.
Un réel positif est un "nombre mesurable" en ce sens que l'on peut construire une ligne géométrique
finie (c'est-à-dire un cercle, un segment ...) dont la longueur est ce nombre réel.

2 BEP date :
Ph. Georges Maths 2/3
Réciproquement, la longueur de n'importe quelle ligne géométrique finie (finie de façon à pouvoir en
mesurer la longueur) est un nombre réel positif.
Intervalles réels.
Les intervalles réels sont des sous-ensembles (ou des parties) de l'ensemble des réels I; R.
Leur grande particularité est qu'ils sont "continus". C'est-à-dire que le chemin entre deux
éléments d'un intervalle reste dans cet intervalle.
Leur représentation sur la droite numérique est un segment ou une droite dont les extrémités
peuvent être exclues. C'est d'ailleurs ce qui fait qu'un intervalle est ouvert ou fermé.
Les différents types d'intervalles. a et b sont deux réels tels que a b.
Notation
Représentation sur la droite
réelle
Ensemble des
réels x tels
que
Appellation
[ a ; b ]
a  x  b
Intervalle fermé borné
[a ; b [
a  x < b
Intervalle borné semi-fermé en a et semi-
ouvert en b (ou semi-fermé à gauche et
semi-ouvert à droite)
] a ; b ]
a < x  b
Intervalle borné semi-ouvert en a et semi-
fermé en b (ou semi-ouvert à gauche et
semi-fermé à droite)
] a ; b [
a < x < b
Intervalle ouvert borné.
] –  ; b]
x  b
Intervalle non borné fermé en b (ou fermé
à droite)
] –  ; b [
x < b
Intervalle non borné ouvert en b (ou
ouvert à droite)
[ a ; +  [
a  x
Intervalle non borné fermé en a (ou fermé
à gauche)
] a ; +  [
a < x
Intervalle non borné ouvert en a (ou
ouvert à gauche)
Quelques remarques sur ce tableau :
 La notation {x tels que a < x < b} désigne l'ensemble des réels x tels que a < x < b (sous-
entendu qui sont strictement plus grand que a et strictement inférieur à b).

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Ph. Georges Maths 3/3
 Le fait de dire qu'un intervalle est par exemple ouvert en b signifie que le réel b ne fait pas
partie de celui-ci. Par contre, s'il y avait été fermé alors il en aurait fait partie.
 Les deux réels qui délimitent un intervalle sont appelés bornes de l'intervalle.
 La notation + se lit "plus l'infini". Contrairement à ce que l'on pourrait croire, + n'est
pas un nombre. C'est juste un symbole pour désigner le "bout positif et infiniment grand" de
l'ensemble des réels. C'est une sorte d'horizon...
La notation – se lit elle "moins l'infini".
Histoire de crochets
On parle souvent de crochet ouvrant ou de crochet fermant. Expliquons ce qu'il en est.
Un crochet est ouvert lorsqu'il fait le dos à sa borne. Il indique que celle-ci ne fait pas partie de
l'intervalle.
La borne 2 ne fait pas partie de
l'intervalle ] 2 ; 5].
La borne 7 ne fait pas partie de
l'intervalle ] 1 ; 7 [.
 Aux infinis ( en – et + ), le crochet est toujours ouvert.
 Un crochet fermé est un crochet qui s'ouvre sur sa borne. Il indique qu'elle fait partie de
l'intervalle.
Un crochet qui n'est pas ouvert est nécessairement fermé.
 Dans la notation d'intervalle comme dans la représentation sur la droite réelle, un crochet
ouvrant indique que la borne ne fait pas partie de l'intervalle alors qu'un crochet fermant l'y
inclut.