1-Les nombres réels

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Les nombres réels
1L’ensemble des nombres réels, la droite numérique
Les ensembles de nombres sont comme des poupées russes : chacun fait
partie de l’ensemble suivant. Ainsi on a :
les nombres entiers naturels ;
les nombres entiers relatifs ;
les nombres décimaux ;
les nombres rationnels ;
enfin, les nombres réels .
La droite numérique de , se représente par une droite graduée:
chaque nombre réel correspond à un unique point de la droite graduée;
réciproquement, à chaque point de la droite graduée correspond un
unique réel.
2Les intervalles de
L’ensemble des nombres réels est un intervalle qui peut se noter
.
L’intervalle de tous les nombres réels tels que peut se
représenter sur la droite des réels et est noté
Si les deux bornes d’un intervalle sont des nombres réels, l’intervalle est dit
borné.
Parfois, une borne est « plus l’infini » ou « moins l’infini » : on parle
d’intervalles non-bornés.
On considère deux réels a et b tels que a\le b\ :
N
Z
D
Q
R
R
R
] − ∞ ; +∞[
x−2 ≤ x≤ 3
[−2; 3]

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3Représenter la distance entre deux nombres réels
Propriété
La valeur absolue d’un nombre se note .
si ou si .
Propriété
Soit et deux réels. On note la distance entre et . On a:
est positif ou nul;
.
Notation
Représentation
sur la droite des
réels
Ensemble
des tels
que:
xSignification
[a;b]IMG3 a≤x≤bIntervalle fermé: les bornes
appartiennent à l’intervalle.
]a;b]IMG4 a<x≤b
Intervalle semi-ouvert: ouvert en
et fermé en . Seul appartient à
l’intervalle.
a
b b
[a;b[IMG5 a≤x<b
Intervalle semi-ouvert: ouvert en
et fermé en . Seul appartient à
l’intervalle.
b
a a
]a;b[IMG6 a<x<bIntervalle ouvert: et
n’appartiennent pas à l’intervalle.
a b
] − ∞; b]IMG7 x≤b
Intervalle fermé en et dont toutes
les valeurs sont inférieures ou
égales à .
b
b
] − ∞; b[IMG8 x<b
Intervalle ouvert en et dont toutes
les valeurs sont strictement
inférieures à .
b
b
[a; +∞[ IMG9 a≤x
Intervalle fermé en et dont toutes
les valeurs sont supérieures ou
égales à .
a
a
]a; +∞[ IMG10 a<x
Intervalle ouvert en et dont toutes
les valeurs sont supérieures
strictement à .
a
a
1La valeur absolue d’un nombre:
a∣a∣
∣a∣ = a a ≥ 0 ∣a∣ = −a a ≤ 0
2Distance entre deux nombres réels:
a b d(a;b)a b
d
d(a;b) = d(b;a)

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Pour tous nombres réels et on a .
La représentation d’un intervalle sur une droite permet de résoudre des
inéquations de type ou encore .
Il est aisé de déterminer la distance entre deux nombres lorsque ceux-ci sont
des nombres décimaux. Mais l’exercice devient plus complexe avec des
nombres réels ou des variables comme par exemple.x
3Distance et valeur absolue:
a b d(a;b) = ∣a−b∣ = ∣b−a∣
 si ∣a−b∣ = a−b a >b
 si ∣a−b∣ = b−a a <b
4Application
d(x;a) ≤ r∣x−a∣ ≤ r