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1-Les nombres réels

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Les nombres réels
1
L’ensemble des nombres réels, la droite numérique
Les ensembles de nombres sont comme des poupées russes : chacun fait
partie de l’ensemble suivant. Ainsi on a :
les nombres entiers naturels
les nombres entiers relatifs
les nombres décimaux
D;
les nombres rationnels
Q;
enf in, les nombres réels
La droite numérique de
N;
Z;
R.
R , se représente par une droite graduée :
chaque nombre réel correspond à un unique point de la droite graduée ;
réciproquement, à chaque point de la droite graduée correspond un
unique réel.
2
Les intervalles de
R
L’ensemble des nombres réels est un intervalle qui peut se noter
.
] − ∞ ; +∞[
x tels que −2 ≤ x ≤ 3 peut se
représenter sur la droite des réels et est noté [−2; 3]
L’intervalle de tous les nombres réels
Si les deux bornes d’un intervalle sont des nombres réels, l’intervalle est dit
borné.
Parfois, une borne est « plus l’inf ini » ou « moins l’inf ini » : on parle
d’intervalles non-bornés.
On considère deux réels a et b tels que a\le b\ :
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Notation
Représentation
sur la droite des
réels
Ensemble
des x tels
que :
Signif ication
[a; b]
IMG3
a≤x≤b
Intervalle fermé : les bornes
appartiennent à l’intervalle.
]a; b]
IMG4
a<x≤b
a
et fermé en b . Seul b appartient à
l’intervalle.
Intervalle semi-ouvert : ouvert en
b
[a; b[
IMG5
a≤x<b
]a; b[
IMG6
a<x<b
Intervalle ouvert : a et b
n’appartiennent pas à l’intervalle.
et fermé en a . Seul a appartient à
l’intervalle.
] − ∞; b]
IMG7
x≤b
Intervalle fermé en b et dont toutes
les valeurs sont inférieures ou
égales à b .
] − ∞; b[
IMG8
x<b
Intervalle ouvert en b et dont toutes
les valeurs sont strictement
inférieures à b .
[a; +∞[
IMG9
a≤x
Intervalle fermé en a et dont toutes
les valeurs sont supérieures ou
égales à a .
a<x
Intervalle ouvert en a et dont toutes
les valeurs sont supérieures
strictement à a .
]a; +∞[
3
1
Intervalle semi-ouvert : ouvert en
IMG10
Représenter la distance entre deux nombres réels
La valeur absolue d’un nombre :
a se note ∣a∣ .
∣a∣ = a si a ≥ 0 ou ∣a∣ = −a si a ≤ 0 .
La valeur absolue d’un nombre
Propriété
2
Distance entre deux nombres réels :
Soit
Propriété
a et b deux réels. On note d(a; b) la distance entre a et b . On a :
d est positif ou nul ;
d(a; b) = d(b; a) .
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 Il est aisé de déterminer la distance entre deux nombres lorsque ceux-ci sont
des nombres décimaux. Mais l’exercice devient plus complexe avec des
nombres réels ou des variables comme
3
Distance et valeur absolue :
Pour tous nombres réels
4
x par exemple.

∣a − b∣ = a − b si a > b

∣a − b∣ = b − a si a < b
a et b on a d(a; b) = ∣a − b∣ = ∣b − a∣ .
Application
La représentation d’un intervalle sur une droite permet de résoudre des
inéquations de type
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d(x; a) ≤ r ou encore ∣x − a∣ ≤ r .
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