Rappel : n! = n(n-1)(n-2) .... x 2 x 1

T.S
Spé. math.
Contrôle de mathématiques
Arithmétique : divisibilité
Mercredi 17 octobre 2001
(1h30)
I Un entier naturel a se décompose en facteurs premiers sous la forme a = p.q (>0 et >0)
1) a) Etablir la formule donnant le nombre de diviseurs de a.
b)La décomposition en facteurs premiers de l'entier naturel a contient uniquement les nombres
premiers 2 et 3.
* a possède exactement 15 diviseurs ; Déterminer a (deux solutions)
* a possède exactement 18 diviseurs ; Déterminer a (quatre solutions)
p α1  1 q β1  1
2)a) Démontrer que la somme des diviseurs de a se calcule sous la forme :  (a) =
*
p 1
q 1
b) a possède 6 diviseurs, dont la somme est 39 ; Déterminer a (une solution ; On montrera qu'elle
est unique)
II Pour deux entiers naturels n et p , tels que 0 < p < n , on appelle nombre de combinaisons de p
parmi n, et on note C pn , le nombre entier défini par : C pn 
n!
p!(n  p)!
Rappel : n! = n(n-1)(n-2) .... x 2 x 1
Calculer C 35 , et C 62
Remarque : les nombres C pn sont en fait les coefficients obtenus par le triangle de Pascal
1) n est un entier naturel non nul, et x est l’entier défini par : x = n(n+1)(n+2)(n+ 3)
Ecrire C 4n 3 à l’aide de x
2) En déduire que x est un multiple de 4!
3) n et p sont des entiers naturels tels que 0 < p < n .
Démontrer que x = n(n-1)(n-2)…(n-p+1) est un multiple de p!
III n étant un entier naturel, démontrer par récurrence que n(n6-1) est divisible par 7
IV a) Factoriser n4 + 4
b) Développer (n + 1)4
c) En déduire que n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 5 n'est pas premier (n)
V Les nombres parfaits
1) Calculer la somme des inverses des diviseurs de 6, puis de 28.
Peut-on émettre une conjecture ?
2) Montrer que, si un entier n est parfait, la somme des inverses de tous ses diviseurs positifs est un
entier. Que vaut cet entier ?