Approximation des lois binomiales par des lois de POISSON ou des

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Approximation des lois
binomiales par des lois
de POISSON ou des
lois NORMALES
32. Approximation d’une loi binomiale par une loi de POISSON ....................... 1
33. Approximation d’une loi binomiale par une loi NORMALE......................... 2
34. Approximation des lois binomiales (synthèse) ............................................... 3
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32. Approximation d’une loi binomiale par une loi de POISSON
X est une variable aléatoire binomiale de paramètres (n; p ).
1) les valeurs possibles de X sont :
{0, 1, …...n}
2) les probabilités de chacune de ces valeurs sont pour k=0, 1, …...n :
n!
P(X = k ) = C kn × p k × (1 − p)5 − k avec C kn =
k!(n − k )!
Si maintenant l’entier n est grand ( n > 30 convient en général) les calculs avec
les factoriels risquent de ne pas pouvoir être effectués (500 ! dépasse le nombre
d’atomes de l’Univers dans sa totalité).
Lorsque n × p est petit ( n × p < 10 convient en général) on peut approcher la
( n × p) k
k
k
5
−
k
valeur de P(X = k ) = C n × p × (1 − p)
par
× e ( n × p) .
k!
Cela est prouvé mathématiquement (la preuve n’est pas faite ici).
Soit Y est une variable aléatoire de POISSON de paramètres λ = n × p.
X est une variable aléatoire binomiale de paramètres (n; p ).
Avec les conditions
1) n > 30
2) n × p < 10
Ton peut affirmer :
P( X = k ) ≈ P( Y = k )
pour k = 0,1, n .
On dit que la loi de X est approchée par la loi de POISSON de paramètre
λ = n × p.
Remarque Si l’entier n est grand et si n × p est petit alors la probabilité p est
« très petite ». Un événement de probabilité très petite peut être considéré
comme un accident, la loi de POISSON est souvent dite »loi des accidents ».
Si p est très petit :
E (X) = n × p = λ = E(Y ) et σ(X ) = n × p × (1 − p) ≈ n × p = λ = σ(Y )
Exercice 30 X suit la loi B(100; 0,02) . Calculer P(X = 1). Donner le paramètre λ
de la loi POISSON qui approche la loi de X. Calculer P(Y = 1) si Y suit la loi
de POISSON de paramètre λ trouvé (vérifier l’approximation).
Réponses λ = 2 .100 × 0,02 × 0,9899 .2e − 2 .100 × 0,02 × 0,9899 ≈ 2e − 2 .
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33. Approximation d’une loi binomiale par une loi NORMALE
X est une variable aléatoire binomiale de paramètres (n; p ).
Si maintenant l’entier n est grand ( n > 30 convient en général) les calculs avec
les factoriels risquent de ne pas pouvoir être effectués (500 ! dépasse le nombre
d’atomes de l’Univers dans sa totalité).
Si n grand est la probabilité pour que X ait une valeur donnée est presque nulle.
Lorsque n × p n’est pas petit ( n × p > 10 convient en général) on peut approcher
La loi de X par la loi NORMALE de paramètres (m, σ)
avec m = n × p, σ = n × p × (1 − p
Cela est prouvé mathématiquement (la preuve n’est pas faite ici).
Ainsi :
 x − m
P( X ≤ x ) ≈ Π 

 σ 
Remarque
Si Z suit la loi NORMALE de paramètres m = n × p; σ = n × p × (1 − p) alors
on a bien E(X ) = E ( Z), σ(X ) = σ( Z).
(
)
Exercice 31 X suit la loi B(10000; 0,02) . Calculer P(X = 1). Par quelle loi peut-on
approcher la loi de X. Donner une approximation de P(X ≤ 210)
Solution
N(200, 200 × 0,98 )

10
Π
 200 × 0,98




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34. Approximation des lois binomiales (synthèse)
On×p petit (<10 ?)
≈
POISSON
PARAMETRE λ
DE
λ= n×p
B (n, p)
On est
grand
(n>30 ?)
On×p pas petit :
≈NORMALE DE
PARAMETRES
( m, σ )
m = n×p
σ = n × p × (1 − p)
Exercice 32
X suit une loi binomiale de paramètres (n; p).
Donner l’expression d’une approximation possible de P(X=k) si n=100 et
p=0.05, puis de P(X≤k) pour tout entier k=0,1,…,100.
Donner l’expression d’une approximation possible de P(X≤ x) pour un réel x si
n=1000 et p=0.05.
Réponses
 x = 50 
5k − k
.
P( X = k ) =
e . Π 

k!
50
×
0
,
95

