Approximation des lois binomiales par des lois de POISSON ou des

0
Approximation des lois
binomiales par des lois
de POISSON ou des
lois NORMALES
32. Approximation d’une loi binomiale par une loi de POISSON.......................1
33. Approximation d’une loi binomiale par une loi NORMALE.........................2
34. Approximation des lois binomiales (synthèse)...............................................3

1
32. Approximation d’une loi binomiale par une loi de POISSON
X est une variable aléatoire binomiale de paramètres
).
p
;
n
(
1) les valeurs possibles de X sont :
{0, 1, …...n}
2) les probabilités de chacune de ces valeurs sont pour k=0, 1, …...n :
)!kn(!k !n
k
n
Cavec
k5
)p1(
k
p
k
n
C)kX(P −
−−
−
=
==
=
−
−−
−
−
−−
−×
××
××
××
×=
==
==
==
=
Si maintenant l’entier n est grand
)
général
en
convient
30
n
(
>
>>
>
les calculs avec
les factoriels risquent de ne pas pouvoir être effectués (500 ! dépasse le nombre
d’atomes de l’Univers dans sa totalité).
Lorsque
p
n
×
××
×
est petit
)
général
en
convient
10
p
n
(
<
<<
<
×
××
×
on peut approcher la
valeur de
k5
)p1(
k
p
k
n
C)kX(P
−
−−
−
−
−−
−×
××
××
××
×=
==
==
==
=par .
)pn(
e
!
k
k
)pn( ×
××
×
×
××
×
×
××
×
Cela est prouvé mathématiquement (la preuve n’est pas faite ici).
Soit Y est une variable aléatoire de POISSON de paramètres
.
p
n
×
××
×
=
==
=
λ
X est une variable aléatoire binomiale de paramètres
).
p
;
n
(
Avec les conditions
10pn)2
30
n
)
1
<
<<
<×
××
×
>
>>
>
Ton peut affirmer :
)
k
Y
(
P
)
k
X
(
P
=
==
=
≈
≈≈
≈
=
==
=
n
,
1
,
0
k
pour
=
==
=
.
On dit que la loi de X est approchée par la loi de POISSON de paramètre
.
p
n
×
××
×
=
==
=
λ
Remarque Si l’entier n est grand et si
p
n
×
××
×
est petit alors la probabilité p est
« très petite ». Un événement de probabilité très petite peut être considéré
comme un accident, la loi de POISSON est souvent dite »loi des accidents ».
Si p est très petit : )Y(pn)p1(pn)X(et)Y(Epn)X(E σλσλ =
==
==
==
=×
××
×≈
≈≈
≈−
−−
−×
××
××
××
×=
==
==
==
==
==
=×
××
×=
==
=
Exercice 30 X suit la loi
)
02
,
0
;
100
(
B
. Calculer
).
1
X
(
P
=
==
=
Donner le paramètre
λ
de la loi POISSON qui approche la loi de X. Calculer
)
1
Y
(
P
=
==
=
si Y suit la loi
de POISSON de paramètre
λ
trouvé (vérifier l’approximation).
Réponses .
2
e2
99
98,002,0100.
2
e2.
99
98,002,0100.2
−
−−
−
≈
≈≈
≈×
××
××
××
×
−
−−
−
×
××
××
××
×=
==
=λ

2
33. Approximation d’une loi binomiale par une loi NORMALE
X est une variable aléatoire binomiale de paramètres
).
p
;
n
(
Si maintenant l’entier n est grand
)
général
en
convient
30
n
(
>
>>
>
les calculs avec
les factoriels risquent de ne pas pouvoir être effectués (500 ! dépasse le nombre
d’atomes de l’Univers dans sa totalité).
Si n grand est la probabilité pour que X ait une valeur donnée est presque nulle.
Lorsque
p
n
×
××
×
n’est pas petit
)
général
en
convient
10
p
n
(
>
>>
>
×
××
×
on peut approcher
La loi de X par la loi NORMALE de paramètres
)
,
m
(
σ
p1(pn,pnmavec −
−−
−×
××
××
××
×=
==
=×
××
×=
==
= σ
Cela est prouvé mathématiquement (la preuve n’est pas faite ici).
Ainsi :
−
−−
−
≈
≈≈
≈≤
≤≤
≤σ Πmx )xX(P
Remarque
Si Z suit la loi NORMALE de paramètres
(
((
(
)
))
)
)p1(pn;pnm −
−−
−×
××
××
××
×=
==
=×
××
×=
==
= σ alors
on a bien
).
Z
(
)
X
(
),
Z
(
E
)
X
(
E
σ
σ
=
==
=
=
==
=
Exercice 31 X suit la loi
)
02
,
0
;
10000
(
B
. Calculer
).
1
X
(
P
=
==
=
Par quelle loi peut-on
approcher la loi de X. Donner une approximation de
)
210
X
(
P
≤
≤≤
≤
Solution )98,0200,200(N ×
××
×
×
××
×98,0200
10
Π

3
34. Approximation des lois binomiales (synthèse)
Exercice 32
X suit une loi binomiale de paramètres
).
p
;
n
(
Donner l’expression d’une approximation possible de P(X=k) si n=100 et
p=0.05, puis de P(X ≤ k) pour tout entier k=0,1,…,100.
Donner l’expression d’une approximation possible de P(X ≤ x) pour un réel x si
n=1000 et p=0.05.
Réponses
.
95,050
50x
.
k
e
!k
k
5
)kX(P 
×
××
×
=
==
=
−
−−
−
=
==
==
==
= Π
B (n, p)
On est
grand
(n>30 ?)
On
×
××
×
p petit (<10 ?)
≈
≈≈
≈
POISSON DE
PARAMETRE λ
λλ
λ
p
n
×
××
×
=
==
=
λ
On
×
××
×
p pas petit :
≈ NORMALE DE
PARAMETRES
)p1(pn
pnm
)
,
m
(
−
−−
−×
××
××
××
×=
==
=×
××
×=
==
=
σ
σ