Théorème 1 - Mathématiques | Académie de Dijon

L’articulation probabilités-statistiques
Journées de l’inspection - Octobre 2009 Page 1 Robert FERACHOGLOU
Statistiques et probabilités au lycée
« Le loto, c'est un impôt sur les gens qui ne comprennent pas les statistiques. » (Anonyme)
I – INTRODUCTION
1. Un apprentissage dans la continuité
Quelques éléments de statistique descriptive ont été introduits au collège, une initiation au
calcul des probabilités a été menée en classe de 3ème depuis la rentrée 2008. Le programme de
classe de 2nde s’inscrit dans la continuité de ce travail pour ce qui est du contenu. Le tableau sy-
noptique suivant résume l’évolution des connaissances.
Classe de 6ème
Classe de 5ème
Classe de 4ème
Classe de 3ème
Organisation
et gestion de
données
Organiser des données en
choisissant un mode de
représentation adapté.
Lire et interpréter des in-
formations à partir d’une
représentation graphique.
Représentations usuelles :
tableaux, diagrammes en
bâtons, circulaire, …,
cartésien.
Classes, effectifs, fré-
quences.
Tableaux de données :
lecture, interprétations,
élaboration, représenta-
tions graphiques.
Diagrammes, histo-
grammes.
Moyenne pondérée.
Caractéristiques de posi-
tion : médiane, quartiles.
Approche des caractéris-
tiques de dispersion : éten-
due.
Notion de probabilité.
Le programme de Seconde ne va guère plus loin sur les notions nouvelles dans ce qui est dé-
sormais désigné par « analyse des données », en institutionnalisant la connaissance des caracté-
ristiques de position et de dispersion (moyenne, médiane, quartiles).
Il introduit cependant un nouveau champ de réflexion conceptuelle sur les données, avec une ap-
proche de l’échantillonnage statistique. Cette approche avait déjà été initiée de façon qualitative
avec le programme de 2000, nous allons plus loin dans ce domaine avec la mise en évidence
d’éléments chiffrés de la fluctuation (notion d’intervalle de fluctuation au seuil de 95%).
Enfin, le programme de 2009, introduit les premiers éléments du calcul de probabilité, ce qui
est une première en classe de seconde ! Le recours à la simulation d’expériences aléatoires ren-
force et crédibilise le lien avec les statistiques, beaucoup plus que dans le programme précédent
où ces simulations étaient souvent négligées dans les pratiques, faute peut-être de trouver un an-
crage suffisant avec les autres domaines étudiés.
2. Regard sur les objectifs du programme de Seconde
Ces objectifs, relativement ambitieux, sont clairement résumés dans le libellé du programme :
« Objectifs visés par l’enseignement des statistiques et probabilités à l’occasion de résolutions
de problèmes
 dans le cadre de l’analyse de données, rendre les élèves capables :
 de déterminer et interpréter des résumés d’une série statistique ;
 de réaliser la comparaison de deux séries statistiques à l’aide d’indicateurs de position et
de dispersion, ou de la courbe des fréquences cumulées ;
 dans le cadre de l’échantillonnage :
 faire réfléchir les élèves à la conception et la mise en œuvre d’une simulation ;
 sensibiliser les élèves à la fluctuation d’échantillonnage, aux notions d’intervalle de fluc-
tuation et d’intervalle de confiance et à l’utilisation qui peut en être faite. »
3. Commentaires
Les objectifs affichés s’articulent autour de la statistique purement descriptive (ou : analyse
des données), qui utilise des outils mathématiques issus de la géométrie et de l’analyse, et des

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liens entre la statistique et les phénomènes aléatoires : l’étude de ces phénomènes se fonde sur la
notion de probabilité, comprise comme une valeur idéale de fréquence, et dont la théorie ex-
plique certains phénomènes constatés (la fluctuation d’échantillonnage) mais aussi donne un
cadre théorique rigoureux pour, à partir de ces données statistiques, formuler une prévision ou
prendre un décision. Ce deuxième aspect est plus complexe, car il met l’accent sur l’imbrication
entre statistiques et probabilités ; les statistiques permettent d’accepter ou de réfuter un modèle
théorique, les probabilités expliquent les écarts statistiques constatés et donnent des garde-fous
pour la statistique inférentielle, c’est-à-dire la statistique de la prévision ou de la décision.
Cette articulation entre statistiques et probabilités n’est pas un artifice, elle correspond à un
cheminement historique et épistémologique conjoint dans le développement de ces deux disci-
plines. Dans le bagage culturel du futur « citoyen », l’enjeu avéré du programme est de donner à
chacun un jugement le plus sain possible sur l’information chiffrée, avec l’appui d’un « bon sens
de l’aléatoire ». C’est un objectif ambitieux, d’autant plus que la France affiche un triste retard
en la matière, notamment par rapport aux pays anglo-saxons ; le retard est culturel, les perles
journalistiques relatives aux sondages et à leur interprétation, le flou affiché dans la « con-
fiance » des bulletins météo, en sont quelques traces visibles ; le retard est également visible
dans l’enseignement où, non seulement on a dressé au fil des années un rideau de fer entre statis-
tiques et probabilités (les incitations fortes des différents programmes, et notamment celui de
2000, ont peu infléchi les pratiques), mais encore on a établi une hiérarchie de fait entre ces deux
disciplines, au détriment des statistiques trop souvent considérées comme des mathématiques au
rabais. Les statistiques restent trop souvent dans la société un amas de chiffres obscurs que l’on
peut manipuler de façon machiavélique – ce qui n’est pas toujours faux – pour rendre opaque une
vérité ou la déformer. Les citations abondent dans ce sens ; en voici trois :
« Il y a trois sortes de mensonges : les mensonges, les sacrés mensonges et les statistiques. »
(Mark Twain)
« La statistique est la première des sciences inexactes. » (Jules de Goncourt)
« Faites attention, la statistique est toujours la troisième forme du mensonge. » (Jacques Chirac)
Chacun pourra tester son propre sens de l’aléatoire dans l’exemple qui suit. On a consigné ci après
quatre séries de 100 chiffres 0 ou 1, dont une seule a été obtenue de façon aléatoire. Il s’agit de dé-
terminer laquelle.
Série 1
Série 2
Série 3
Série 4
1
1
1
1
1
1
1
0
1
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0
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1
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1
1
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0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
Nombre de 0 :
18
Nombre de 0 :
51
Nombre de 0 :
48
Nombre de 0 :
42
Nombre de 1 :
82
Nombre de 1 :
49
Nombre de 1 :
52
Nombre de 1 :
58
Nombre de blocs
25
Nombre de blocs
62
Nombre de blocs
66
Nombre de blocs
53

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Journées de l’inspection - Octobre 2009 Page 3 Robert FERACHOGLOU
Commentaires
La première idée est de regarder la fréquence d’apparition des chiffres, ce qui permet d’éliminer la
première série, qui comporte trop de 1. Le nombre de 1 est en effet une variable aléatoire qui suit
une loi binomiale de paramètres 100 et 0,5 ; sa moyenne est
50m
et son écart-type
5
. Sa loi
est proche d’une loi normale ayant les mêmes paramètres, pour laquelle environ 95 % des échantil-
lons aléatoires sont contenus dans l’intervalle
2 , 2mm
, c’est-à-dire [40, 60]. Au seuil de
95%, on peut donc réfuter le caractère aléatoire de la série 1, et accepter celui des séries 2, 3, 4.
On peut également considérer le nombre de blocs, c'est-à-dire de suite de termes analogues dans
chacune des séries. Formellement, si
1
X
, …,
100
X
sont les 100 variables de Bernoulli donnant la va-
leur des 100 chiffres, cela consiste à introduire comme compteurs de blocs les variables
1 100
()
ii
Y
ainsi définies :
11Y
et pour
2 100i
,
1
i
Y
si
1ii
XX
et
0
i
Y
si
1ii
XX
.
Alors
100
1i i
SY
représente le nombre total de blocs.
On a
1
( ) 1EY 
et pour
2 100i
,
1
() 2
i
EY 
, donc
( ) 1 99 0,5 50,5ES    
; c’est le nombre
moyen de blocs.
De plus,
1
( ) 0VY 
et pour
2 100i
,
1
() 4
i
VY 
et les
i
Y
sont indépendantes, donc
( ) 99 0,25 24,75VS  
. Cela fournit :
( ) 5S
.
Pour environ 95% des échantillons aléatoires, le nombre de blocs est donc compris entre 40,5 et
60,5, ce qui permet de réfuter le caractère aléatoire des séries 2 et 3 : elles ont trop de blocs pour être
obtenues par hasard. (En fait, ces séries ne comportent pas de séries de chiffres consécutifs de lon-
gueur supérieure à 3 : c’est également extrêmement rare.)
II – LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE
1. Appréhender une série statistique
Une série statistique livre un ensemble de données brutes. Lorsqu’elles sont nombreuses, ces
données demandent d’être résumées pour en tirer un enseignement. Les graphiques et les para-
mètres constituent les principaux résumés, visuels et numériques. Deux points sont essentiels
dans la formation des élèves :
 s’habituer à poser des questions a priori, comme par exemple : « quel résumé semble le
plus pertinent pour une étude donnée ? », « quels paramètres sont intéressants à calcu-
ler ? » ;
 s’entraîner à comprendre et interpréter les résumés, qu’ils soient visuels ou numériques,
et les exploiter pour en tirer un élément de réponse.
Le programme insiste sur la nécessité de travailler le plus souvent possible sur des données ré-
elles ; la mise à disposition de fichiers numériques permettra un travail sur ordinateur, d’autant
plus justifié que ces données seront nombreuses et complexes. Le document ressource préconise
le recours à quelques fichiers qui serviront de fil rouge. Par exemple le fichier de l’INSEE sur les
36723 communes françaises, disponible sur le site http://www.insee.fr/fr/ppp/bases-de-
donnees/recensement/populations-legales/france-departements.asp, permet de mener des travaux
intéressants sur des exemples de représentations graphiques, des tris, des calculs de fréquences,
des calculs de paramètres et leur interprétation, des comparaisons de populations, d’étudier les
effets de différents regroupements, d’utiliser le cumul des fréquences, de prélever des échantil-

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Journées de l’inspection - Octobre 2009 Page 4 Robert FERACHOGLOU
lons, d’observer la fluctuation d’échantillonnage, de découvrir la loi de Benford, d’introduire les
rudiments du calcul des probabilités, ….
2. Résumer une série statistique
a) Position du problème
Une série statistique numérique offre un premier résumé visuel naturel tel que l’histogramme
(ou le diagramme en bâton, en barres, …). Ce graphique pose la question de trouver un résu-
mé numérique adéquat, à l’aide de paramètres chiffrés traduisant trois notions visuelles :
- la tendance centrale (centre de gravité, valeur « sommitale », valeurs de partage) ;
- la dispersion des données ;
- la forme du graphique (aplatissement, asymétrie).
Seules les deux premières notions sont envisagées au lycée ; il n’est pas inintéressant pour un
professeur d’en étudier un aspect théorique, qui ne sera pas présenté aux élèves.
b) Lien théorique entre tendance centrale et dispersion
On identifie la série statistique
1
x
, …,
n
x
au vecteur
1
( , ..., )
n
x x x
d’un espace euclidien de
dimension n, identifié à
n
.
Une valeur centrale est par définition une constante c telle que le vecteur constant
( , ,...; )c c c c
est proche de
x
, au sens suivant : la distance entre
x
et
c
doit être minimale.
La valeur de cette distance minimale est, toujours par définition, la dispersion associée à la
valeur c.
On peut envisager cela avec quelques distances classiques dans
n
:
1
( , ) ii
in
d x y Max x y
;
1
1
( , ) ii
in
D x y Max x y
n
;
11
( , ) ii
in
d x y x y
;
11
1
( , ) ii
in
D x y x y
n
;
1
2
2
21
( , ) ( )
ii
in
d x y x y
1
2
2
21
1
( , ) ( )
ii
in
D x y x y
n
(d2 est la distance eucli-
dienne) ;
1
1
( , ) ( ) p
p
p i i
in
d x y x y
1
1
1
( , ) ( ) p
p
p i i
in
D x y x y
n
pour p entier,
1p
.
Les trois résultats suivants donnent le paramètre de tendance centrale et la dispersion asso-
ciée, relativement à trois de ces distances, parmi les plus classiques.
Théorème 1
( , )d x c
est minimal lorsque c est égal à la moyenne des valeurs extrêmes de la série. La
valeur de ce minimum est la demi-étendue de la série.
La démonstration est immédiate.
Théorème 2
1( , )D x c
est minimal lorsque c est égal à la médiane Me de la série. La valeur de ce mini-
mum est l’écart moyen à la médiane (EMM).
La démonstration du premier résultat peur être conduite en cycle terminal de la série S pour
une série ayant 3 ou 4 valeurs, admise pour les séries d’ordre supérieur.

L’articulation probabilités-statistiques
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Théorème 3
2( , )D x c
est minimal lorsque c est égal à la moyenne
x
de la série.
La valeur de cette distance euclidienne minimale est l’écart-type de la série.
Ce résultat, hors de portée des élèves de lycée, se justifie de deux façons :
- analytiquement, en étudiant le minimum de
2
1()
i
in
x x x
;
- géométriquement, en remarquant que la distance euclidienne dérive d’un produit sca-
laire, et que la distance minimale de
x
à la droite vectorielle engendrée par
c
, qui est
aussi engendrée par le vecteur
(1,...,1)u
, est minimale pour le projeté orthogonal sur
cette droite vectorielle. Ainsi
c
doit être le projeté orthogonal de
x
sur
u
; il est calcu-
lé par les conditions :
( ,..., )c c c
et
..c x c c
.
On en tire :
2
1... . . n
cx cx c x c c nc    
.
D’où :
1... n
xx
cx
n
(moyenne de la série).
La dispersion associée est la distance minimale correspondante, soit :
1
2
2
21
1
( , ) ( )
i
in
D x x x x s
n
(c’est l’écart-type de la série).
Ainsi, le couple (moyenne, écart-type) joue-t-il un rôle privilégié parmi les paramètres.
c) Que choisir en classe ?
L’aspect théorique précédent ne doit pas être soulevé en classe ; il a cependant le mérite
de montrer que les résumés numériques fonctionnent par deux : un paramètre de tendance
centrale et l’indicateur de dispersion qui lui mathématiquement associé. Il faut également re-
tenir que les valeurs extrêmes de la série ainsi que le seul paramètre de dispersion qui est of-
ficiellement au programme de seconde, à savoir l’étendue, ne doivent pas être méprisés
même s’ils sont relativement grossiers : ils interviennent en liaison avec la distance
d
. Ces
paramètres ont d’ailleurs une importance réelle dans les séries statistiques où intervient un si-
nistre, voire une catastrophe ; ainsi les plans d’occupation des sols doivent tenir compte des
hauteurs maximales des cours d’eau plutôt que de leur hauteur moyenne, les normes sis-
miques des bâtiments que l’on construit prennent la mesure des plus grandes magnitudes
constatées des séismes, etc.
D’autre part, il est important de montrer aux élèves que, pour une série numérique,
moyenne et médiane peuvent être très différentes, et de les entraîner à réfléchir à la perti-
nence du choix des paramètres. La moyenne est très usuelle, mais elle est peu robuste relati-
vement à des valeurs extrêmes très élevées ; ainsi le salaire moyen en France est relativement
trompeur pour rendre compte du revenu des habitants. Les paramètres d’ordre et leur repré-
sentation (médiane, quartiles, déciles, boîtes de dispersion) sont souvent plus appropriés. De
plus ces paramètres donnent du sens à la fonction cumulative des fréquences, dont
l’équivalent probabiliste est la fonction de répartition d’une variable aléatoire.
III – DÉFINIR UNE LOI DE PROBABILITÉ
1. Expérience aléatoire et modélisation
a) Qu’est-ce que modéliser ?
Modéliser une expérience aléatoire, c’est définir les résultats possibles (appelés « résultats »
ou « issues » ou encore « événements élémentaires »)
1
x
, …,
n
x
, que l’on supposera être en
nombre fini en classe de seconde, et leur affecter une suite de nombres
1
p
, …,
n
p
tous positifs