Physique

PCSI. 98/99.
Physique
Devoir surveillé N°8.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le
vecteur AB sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
Problème 1. Etude d’une distribution cylindrique de charge.
On considère un cylindre de rayon R et de longueur infinie, uniformément chargé en volume
avec une densité volumique  > 0.
1. Quelle est la direction du champ électrostatique E en tout point M de l’espace ?
2. Montrer que la valeur de E ne dépend que de la distance entre M et l’axe du cylindre.
3. En utilisant le théorème de Gauss et en précisant la surface utilisée, déterminer le
champ E dans les deux cas :
a. r  R
b. r  R
Tracer l'allure de E (r) en fonction de r.
4. Calculer le potentiel électrique à l'extérieur et à l'intérieur du cylindre. On impose la
condition V = 0 quand r = 0.
La densité volumique de charge  du cylindre n’est plus uniforme mais à symétrie cylindrique
r
( est une fonction de r). On donne  =  o
pour r  R et avec o = constante.
R
5. Déterminer E dans le cas où r  R.
Problème 2. Différentes transformations d’un gaz parfait.
Un cylindre adiabatique vertical, fermé par un piston adiabatique supposé de masse
négligeable, contient un gaz parfait de coefficient  connu et constant. Initialement le gaz est
dans l’état To, Vo = hoS (S est la section du cylindre et ho la hauteur du piston), P o où Po est la
pression atmosphérique baignant l’autre face du piston.
1. Un opérateur réalise une compression quasistatique qui amène le gaz à la pression
P1.
Déterminer h1 en fonction de Po, P1, ho et .
Déterminer T1 en fonction de Po, P1, To et 
2. Déterminer h1’ , en fonction de Po, P1, ho et , dans le cas où l’opérateur appuie
brusquement sur le piston et telle que son action et celle conjuguée de l’atmosphère
soit équivalente à une pression P1, constante sur le piston.
Les parois du cylindre et le piston sont supposés maintenant bons conducteurs de la chaleur.
3. Un opérateur réalise une compression quasistatique qui amène le gaz à la pression
P1.
Déterminer h1 en fonction de Po, P1, ho.
Calculer la quantité de chaleur Q échangée par le gaz avec l’extérieur en fonction de
Po, P1, Vo.
4. Mêmes questions dans le cas où l’opérateur appuie brusquement sur le piston et telle
que son action et celle de l’atmosphère soit équivalente à une pression P 1, constante
sur le piston.
Problème 3. Sédimentation.
On disperse N particules identiques, assimilées à des boules de masse m et de rayon a dans
un bécher cylindrique de section S rempli d'eau. On ne considère dans ce problème que des
déplacements suivant l’axe Oz, orienté verticalement vers le haut.
1. Une particule dispersée est soumise à son poids et à une force de frottement fluide
donnée par la formule de Stokes f = - 6 a v où  est le coefficient de viscosité de
l'eau.
Déterminer la valeur de la vitesse limite vL des particules dispersées, supposée
atteinte très rapidement.
En déduire le nombre de particules dispersées Ns, traversant une section horizontale
du bécher entre les instants t et t + dt, en fonction notamment de la densité
particulaire n(z).
2. Le phénomène précédent a pour effet de concentrer les molécules à la base du
dn
bécher, on a donc
< 0. Du fait de l’existence de ce gradient de densité particulaire,
dz
un phénomène de diffusion se superpose au phénomène étudié dans la question 1).
Exprimer le nombre de particules dispersées Nd diffusées, vers le haut, à travers une
section horizontale du bécher entre les instants t et t + dt, en fonction notamment du
dn
coefficient de diffusion D et de .
dz
3. En déduire en régime permanent une équation différentielle donnant n(z) et donner sa
solution. En admettant que n(z) est aussi donnée par un facteur de Boltzmann
mgz
( exp –
), en déduire une relation entre D, a, , T et la constante de Boltzmann k.
kT
On donne à T = 293 K les coefficients de diffusion D = 6,9.10 -11 m2.s-1 de
l'hémoglobine dans l'eau et D’ = 1, 8.10-9 m2.s-1 du dioxygène dans l'eau, ainsi que le
rayon a = 3 nm d'une molécule d'hémoglobine. En déduire le coefficient de viscosité
de l'eau  et le rayon a’ d’une molécule de dioxygène.
Donnée : k = 1,38.10-23 S.I.
Problème 4. Recherche de positions d’équilibre stables.
A. Pendule simple.
On considère un point matériel P de masse m, attaché à l'extrémité d'un fil inextensible et sans
masse, de longueur OP = a, accroché en un point fixe 0 du repère terrestre. On considère le
référentiel terrestre galiléen. On considère le champ de pesanteur uniforme: g = g uz. Oz
désigne la verticale descendante. Soit A le point de Oz de cote z = a. Les mouvements de P
sont considérés plans et repérés au cours du temps par l'angle  = (OA, OP).
1. En négligeant toute autre force que le poids (en particulier les frottements), et en
appliquant le théorème du moment cinétique en O, établir l'équation du mouvement
en  : équation (1).
2. En notant o la valeur de  dans une position d'équilibre possible, écrire l'équation (2)
qui définit ces positions. Montrer que o peut prendre deux valeurs différentes 1
et 2 que l’on calculera.
3. Etablir par un raisonnement précis la stabilité ou l’instabilité des positions d'équilibre
précédentes.
4. Exprimer en fonction de g et a la pulsation o des petites oscillations de P autour de
sa position d'équilibre stable.
B. Pendule simple soumis a une force supplémentaire.
Un dispositif approprié fait que le point B situé sur l'axe OZ à la cote b > a exerce sur P une
k
force F centrale de centre B, répulsive, de norme 2 où k est une constante positive et r la
r
distance entre B et P. Le fil reste tendu et inextensible de longueur a.
kb
. Quelle est l’unité de  ?
mg
6. Exprimer la distance r en fonction de a, b, et .
7. Calculer le moment en O de la force F en fonction de k, a, b,  , r, et des vecteurs de
la base (ux, uy, uz).
5. On pose 3 
8. Déterminer la nouvelle équation du mouvement en . On l'exprimera sous la forme :
  2 .f () . Déterminer f() en fonction de ,  et r. Cette équation est appelée (1’).
o
9. Ecrire les équations (2') qui déterminent les valeurs o de  qui correspondent à
d'éventuelles positions d'équilibre. Montrer que, en plus des deux valeurs o = 1
et o = 2 indépendantes de , il peut exister une troisième position d'équilibre o
= 3().
10. Déterminer les conditions sur  pour que o = 3 existe. Faire apparaître les trois
domaines:
domaine  :  < 1
domaine  : 1<  < 2
domaine  :  > 2,
1 et 2 étant des valeurs qu’on déterminera en fonction de a et b.
Dans quel domaine se situe la situation du 1: absence de F? En déduire, pour ce
domaine, la stabilité ou instabilité des différentes positions d'équilibre existantes.
On se propose de trouver une méthode pour déterminer précisément la stabilité ou l’instabilité
des positions d'équilibre dans les trois domaines de .
11. Pour cela, quelle que soit la forme de la fonction f() continue et dérivable, donner le
développement limité au premier ordre de f(  ) au voisinage d’une position o.
12. En déduire la forme linéarisée de (1’) au voisinage de o, si o est une position
d'équilibre.
13. Montrer que la nature de cette position (stable ou instable) est directement liée au
 df 
signe de f’ (o) =   .
 d  o
14. Dans le cas d’une position d’équilibre stable, donner la pulsation 1 des petites
oscillations autour de cette position, en fonction de o et f’ ( o) .