Exercice 1

¤ PCSI ¤ 2007/2008. Durée : 4h. Calculatrice autorisée.
Physique. Devoir Surveillé 10.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et
lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Exercice 1. Evolutions adiabatiques d'un gaz parfait.
Un gaz parfait est contenu dans un récipient cylindrique vertical limité par un piston de masse
négligeable. Les parois du récipient et le piston sont athermanes.
Dans l'état d'équilibre initial E1, on a placé une masse m sur le piston. La pression de l’air extérieur reste
mg
constante et égale à Po. L'état E1 est caractérisé pour le gaz par les grandeurs Vo , To et P1  Po 
(S :
S
surface du piston).
C
On supposera   p  constante , et pour les applications numériques, on prendra :
Cv
7
  ; To  290K ; R  8,31J.K 1.mol 1 et n  1 mol (n nombre de mole de gaz).
5
1.
2.
3.
On supprime brusquement la masse m. On considérera que le piston peut se déplacer sans
frottements, et que le nouvel état d'équilibre E2  PF ,VF , TF  est atteint grâce à des phénomènes
dissipatifs internes au gaz.
T
V
P
a. Déterminer les rapports F et F en fonction de X  1 et  .
To
Vo
Po
V
T
Application numérique : Calculer les valeurs des rapports F et F en prenant X = 1,5.
Vo
To
b. Déterminer en fonction de X, n, To et  le travail échangé Wirr.
Déterminer la variation d'entropie S de cette transformation.
Quel est le signe de cette dernière grandeur ? Justifier votre réponse.
Faire les applications numériques.
On revient au même état initial et on diminue la masse m très progressivement jusqu'à l'annuler.
Reprendre les questions 1.a. et 1.b en considérant un état final E’2  P 'F ,V 'F , T 'F 
La masse m ayant été enlevée brusquement et le système ayant atteint son état d'équilibre E2, on
repose la masse m sur le piston.
Est-il possible que l'état d'équilibre final E 1' puisse se confondre avec l'état E1 ?
Exercice 2. Oscillateur commandé par une tension.
On considère le montage représenté sur la figure 1 :
Pour les applications numériques, on prendra : C = 1 pF ; R = 10 k ; R1  R2  1, 0 k .
R1
et   RC
On pose :  
R1  R2
L'AO est idéal. On suppose, dans cette question, qu'il fonctionne en régime linéaire (et  = 0).
Etablir l'équation différentielle vérifiée par la tension u(t). Que peut-on conclure ?
2.a. A une date t o , l'AO est maintenant à saturation positive (s = +Vsat).
Déterminer la nouvelle équation différentielle vérifiée par u(t) ainsi que la forme de la solution.
Décrire l'évolution ultérieure du système. En déduire qu'il existe un instant t o' où la tension de
1.
sortie s(t) va commuter de +Vsat à –Vsat. Indiquer les valeurs des tensions V , V et à t  to'  .
2.b. On fait désormais to'   0 . Comment évolue la tension u(t) pour t > 0 ?
On mettra en évidence deux types de régime dont on précisera la durée. En déduire que l'on
obtient des oscillations dont on déterminera la période T en fonction des coefficients  et  .
Application numérique : calculer T.
Tracer les graphes donnant t s(t) et t  u(t).
Commenter.
2.c. On remplace la résistance R par l'association d'un potentiomètre de résistance totale
2R = 20 k et de deux diodes idéales D1 et D2 (cf. fig. 2).
3.
Quelles sont les modifications à apporter à l'étude du 2.b ?
Tracer les graphes t s(t) et t  u(t) pour k = 0,8.
On modifie le circuit en amont de A comme l'indique la figure 3.
 est un multiplieur idéal :
s '(t )  Keu (t ) et i1 = i2 = 0 (le constructeur donne K = 0,1).
On suppose que l'on a Ke < 1. On mesure la période T' des oscillations pour différentes valeurs
de la tension continue e. L'expérience donne :
Expliquer le rôle du multiplieur en recherchant l’expression de la tension u(t) en fonction de la
capacité C du condensateur.
Vérifier la cohérence des résultats obtenus.
Conclure en supposant R1, R2, R et C fixés : on peut jouer sur les valeurs de e et de k.
Exercice 3. Mouvement d’une particule chargée dans le champ crée par quatre charges.
Quatre charges électriques positives, de valeur q, sont situées aux sommets A, B, C, D d'un carré de côté a
et de centre O; l'axe z'Oz de symétrie du carré passe par le point O et est perpendiculaire au plan du carré.
Dans le référentiel orthonormé R { O, i, j , k }, les points A, B, C, D ont pour coordonnées : A (a/2, a/2, 0) ; B
(a/2, -a/2, 0) ; C (-a/2, -a/2, 0) ; D (-a/2, a/2, 0).
Dans ce qui suit, on négligera les forces de pesanteur en regard des forces d’origine électrostatique.
1.
2.
3.
4.
Calculer le potentiel électrostatique V en un point M de l’axe Oz ( OM  zk ).
En déduire le champ électrostatique E sur cet axe.
Etudier les fonctions V et Ez puis tracer les graphes correspondants.
Une charge électrique Q, de masse m, se déplace sur l'axe z'Oz : elle arrive de l'infini, du côté
des z positifs, animée d'une vitesse v  v k .
Montrer que cette charge est soumise à une force F  Fz k dérivant d'une énergie potentielle
dont on déterminera l'expression Ep sur l'axe z. Lorsque la charge se trouve à une distance z de
O, calculer le carré de sa vitesse vz2 en fonction des données du problème.
Etude du mouvement de cette charge suivant son signe:
2q 2
3.a. Q = - q (c’est à dire Q<0): étudier Fz et vz2 (on pourra poser  
pour simplifier les
m o
calculs). Faites un tableau indiquant la variation de vz en fonction de z. En déduire d'une façon
qualitative le mouvement de la charge.
3.b. Q =q (c'est à dire Q>0); montrer que cette charge Q ne peut franchir le plan du carré qu’a
la condition que v soit supérieure à une valeur limite v lim que l'on exprimera en fonction
de  et a. Montrer que, lorsque v < v lim , la charge Q ne peut franchir une distance minimale
d'approche du carré notée zmin que l'on calculera.
A un instant donné, pris comme origine des temps, une charge Q = -q, animée d'une vitesse
initiale nulle, se trouve sur l'axe z'Oz à une distance OM = zo très petite devant a. Etablir
l'équation différentielle qui régit le mouvement de cette charge puis décrire son mouvement.
Déterminer la solution de cette équation différentielle.