Enregistreur asservi

Asservissement de position
avec correction tachymètrique
On étudie un système de positionnement linéaire constitué d'un moteur à courant continu
alimenté par un amplificateur.
On donne :
 Pour l'amplificateur U = A vER,
 Pour le moteur : moment d'inertie J, résistance r, couple de frottements visqueux C f  
(où  est la vitesse en rad/s) ; couple moteur C m  Ki (où i est le courant d'induit).
 Pour le convertisseur rotation-translation : y S  a ( angle de rotation).
 Pour le capteur de position : vR  W.yS .
1 Etude de la boucle de position seule.
1.1 Modélisation
1.1.1 Etablir l'équation différentielle qui régit les variations de la vitesse du moteur :
d  t 
τm
   t   H m0 U  t  .
dt
1.1.2 En déduire la transmittance du moteur, puis compléter le diagramme
fonctionnel représenté sur la figure 1.
VE(p)
VER(p)
U(p)
Ω(p)
p
Ys(p)
figure 1
VR(p)
Vr
1.1.3 Donner l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte :
V p
H p  R
.
VE  p 
1
.
p ω1 (1  p ω2 )
On exprimera 1 et 2 en fonction de H m 0 , W, a, A,  m .
1.1.4
La mettre sous la forme : H  p  
On donne H m 0  10rad / s , a =1,33.10 2 m/rad, W =50V/m, K =2,51.10 2 Vs/rad,
r =4,7 ,  m  75ms .
1.2 Etude de la stabilité du système.
Pour A = 1, on donne le diagramme de Bode ( gain et phase ) de H(j).
— Mesurer la marge de phase du système.
— En déduire la valeur de A qui permet d'avoir une marge de phase de 45°.
1
1.3 Etude de la précision du système
1.3.1 Etablir la tansmittance relative à l'erreur : F  p  
VER  p 
VE  p 
1.3.2 On donne le théorème de la valeur finale : lim f  t   lim p F  p 
t 
jω0
— En déduire l'erreur (statique) pour une attaque en échelon V E  p  
E
.
p
— En déduire l'erreur (de traînage) pour une attaque en rampe V E  p  
α
p
2
.
1.4 Etude de la rapidité du système
1.4.1 Calculer la transmittance en boucle fermée T(j), puis la mettre sous la forme
canonique :
T0
T( jω) 
2
jω  jω 
1 2 m
 2
ω0
ω0
1.4.2 Exprimer m et 0 en fonction de A.
1.4.3 A partir de l'abaque donnée en annexe, déterminer la valeur de A qui assure un
temps de réponse à 5% minimum ?
 2 
 , calculer la valeur minimale de t r 5% .
1.4.4 Sachant que t r 5%  0,44
 0 
2 Correction par boucle tachymétrique.
On montre qu'une diminution de  m améliore les performances du montage. Pour cela, on
réalise le montage correspondant au schéma bloc de la figure 2.
 La dynamo tachymétrique fixée sur l'arbre du moteur donne une tension e g proportionnelle
à la vitesse de rotation : e g  K g 
 Un réducteur réduit cette tension à v1  Xe g .
VE(p)
VR(p)
Vr
VER(p)
Ω(p)
U(p)
A'
V1(p)
Réducteur
Dynamo tachy
X
Kg
W
Figure 2
2
(p)
Ys(p)
2.1 Compléter le schéma de la figure 2 par les fonctions de transfert adéquates.
 p
2.2 En déduire la fonction de transfert F  p  
.
VER  p 
— Montrer que dans le cas où XK g H m 0 A ' >> 1, on peut la mettre sous la forme :
Fp 
 p

1 X Kg
VER  p  1  τ 'm p
— Exprimer ' m en fonction de X, K g ,H m 0 ,A' , m .
2.3 Le schéma de la figure 2 peut se simplifier et être remplacé par celui de la figure 3.
(p)
Ω(p)
VE(p) VER(p)
Ys(p)
VR(p)
Vr
W
Figure 3
Compléter la figure 3 et en déduire la fonction de transfert en boucle ouverte du système :
V p
TBO  p   R
.
VE  p 
2.4 On donne K g  0,23V / rad.s et X = 2 10-3, déterminer A' pour avoir une M = 45°.
2.5 Mesurer le nouveau temps de réponse à 5 % sur le relevé de la figure 4. Commenter les
performances du système corrigé (rapidité, stabilité, précision).
Step Response
From: Input Point
1.4
1.2
1
To: Output Point1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
Time (sec.)
figure 4 : réponse indicielle en BF avec la boucle de correction tachymétrique.
3
ANNEXE :
Gain en dB
Bode Diagrams
Annexe
From: Input Point
100
50
0
-50
-150
-200
Argument en °
0
-20
-40
-60
To: Output Point
Phase (deg); Magnitude (dB)
-100
-80
-100
-120
-140
-160
-180
-200
-1
10
0
10
1
2
10
10
Pulsation
en rad/s
Frequency (rad/sec)
4
3
10
4
10