Cours 2

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Chapitre 2. Probabilités
1. Introduction.
Les probabilités sont nées des jeux du hasard sans se douter qu’elles vont jouer un rôle
important dans domaines divers allant du génie aux sciences sociales. Les modèles probabilistes
sont un pont entre les statistiques descriptives et l’inférence statistique qui conduit à des prises
de décision.
2. Terminologie.
Une expérience aléatoire est un processus dont le résultat ne peut être prédit à l’avance avec
certitude. Par exemple, le lancer d’un dé, la durée de vie d’un téléviseur ou la résistance d’un
contenant.
Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire est dit événement élémentaire. L’ensemble
des éléments élémentaires sera noté S.
Exemples.
Lancer d’un dé :
1,2,3,4,5,6S
qui est fini.
Durée de vie d’un transformateur :
0,S
qui est infini
Souvent on s’intéresse à un sous ensemble de S qu’on appelle événement. Un événement est
donc formé d’un ou plusieurs événements élémentaires.
Par exemple si une machine produit des pièces, leurs longueurs fluctuent à cause de certains
facteurs. On peut considérer l’événement : la longueur de la pièce reste dans un intervalle
spécifié.
Notons que S et sont des événements.
Comme les événements sont des sous-ensembles, on peut leur appliquer les opérations sur les
ensembles pour former d’autres événements.

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 Union. L’union de deux événements A et B notée
AB
est l’événement formé des
événements élémentaires qui sont dans A ou dans B ou dans les deux.
 Intersection. L’intersection de deux événements A et B notée
AB
est l’événement
formé des événements élémentaires qui sont dans A et dans B.
 Complément. Le complément A noté
A
est l’événement formé des événements
élémentaires qui ne sont pas dans A.
Les deux formules suivantes sont dites lois de Morgan comme en logique.
A B A B  
et
A B A B  
 Événements incompatibles.
Deux événements A et B sont dits incompatibles ou mutuellement exclusifs si
AB  
. Dans
ce cas la réalisation de l’un empêche la réalisation de l’autre.
3. Probabilités.
La probabilité d’un événement est une mesure qualitative des chances qu’a cet événement de
se réaliser.
En général, on peut attribuer des probabilités à des événements de façon à respecter certaines
règles qui seront énoncés après. Cependant, il y a deux manières qu’on rencontre le plus
souvent. La première est l’approche classique qui s’applique lorsque tous les événements
élémentaires ont les mêmes chances de réalisation comme par exemple les jeux de hasard ou
dans des situations présentant des symétries. La deuxième que l’on rencontre est l’approche
fréquentielle et qui attribue comme probabilité à un événement, la proportion de fois que cet
événement se réalise dans un certain nombre de répétitions de l’expérience, ce qui rejoint la
notion de fréquence en statistiques descriptives.
 Axiomes de probabilités.
On notera la probabilité d’un événement A par
()PA
.
( ) 1PS 
 Pout tout événement,
( ) 0PA
 Si
12
, ,..........AA
est une suite d’événements incompatibles deux à deux alors
1 2 1 2
( ..........) ( ) ( ) ..............P A A P A P A    

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De ces axiomes, découlent les propriétés suivantes :
( ) 0P
( ) 1 ( )P A P A
( ) ( ) ( )P A B P A P A B   
 Si
AB
alors
( ) ( )P A P B
( ) 1PA
pout tout événement A
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B    
Remarque. Dans le cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on a
() n PA N
où N est le nombre d’éléments de S et n le nombre d’éléments de A.
Exemple.
Un générateur de chiffres aléatoires est activé deux fois pour simuler un nombre à deux chiffres.
Tous les chiffres entre 0 et 9 ont la même chance d’apparaître.
a) Décrire l’espace de toutes les résultats possibles.
L’espace de tous les résultats possibles est l’ensemble de nombres ab où a et b sont des
nombres de 0 à 9. Par le principe de multiplication, il y a événements élémentaires.
b) Quelle est la probabilité d’obtenir le nombre 22 ?
La probabilité d’obtenir 22 est et est la même pour tous les autres nombres.
c) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre contenant le chiffre 2
Il y’a 10 nombres qui finissent par 2 et 10 qui commencent par 2. Mais le nombre 22 doit être
compté une seule fois. La probabilité d’obtenir un nombre contenant le chiffre 2 est .
On peut aussi écrire où A et B sont respectivement les
événements : “Le nombre finit par 2” et “Le nombre commence par 2”. est alors formé
d’un seul événement élémentaire qui est le nombre 22 et
.
10 100
2
1100
19100
p A B p A p B p A B( ) ( ) ( ) ( )    
A B
10 10 19
1
()
100 100 100 100
p A B    

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Exemple.
Expliquez pourquoi les énoncés suivants sont faux :
a) La probabilité qu’un étudiant réussisse le cours de mathématiques est 0,7 et la probabilité
qu’il réussisse le cours de mathématiques ou d’informatique est 0,65.
Notons par M l’événement : « L’étudiant réussit le cours de mathématiques » et par I
l’événement : « L’étudiant réussit le cours d’informatique ». On ne peut pas avoir
et . La raison est que et par conséquent ne peut pas
dépasser .
b) La probabilité qu’un étudiant réussisse le cours de mathématiques est 0,8 et la probabilité
qu’il réussisse le cours de mathématiques et d’informatique est 0,82.
Avec les mêmes notations que a), on ne peut pas avoir et . La
raison est que et par conséquent ne peut pas dépasser .
c) Une personne veut assister à la projection de deux films le samedi et le dimanche. La
probabilité qu’elle aimera le film du samedi est 0,4, la probabilité qu’elle aimera celui du
dimanche est 0,2 et la probabilité qu’elle aimera celui du samedi mais pas celui du dimanche est
0,15.
Notons par S l’événement: « La personne aimera le film du samedi » et par D l’événement : « La
personne aimera le film du dimanche». On a
( ) 0,4pS 
,
( ) 0,2pD
et
( ) 0,15
c
p S D
.
De la formule
( ) ( ) ( )
c
p S D p S p S D   
, on déduit
( ) 0,25p S D
. Ceci est
impossible car et donc ne peut pas dépasser .
Exemple.
Soit A l’événement qu’un ordinateur a un virus et B l’événement qu’un ordinateur a un ver.
On suppose
( ) 0.20PA
,
( ) 0.15PB
et
( ) 0.25P A B
.
a) Quelle est la probabilité qu’un ordinateur a un virus et un ver?
On calcule
()P A B
. De la formule
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B    
on obtient
( ) 0.10P A B
.
p M( ) .07
p M I( ) .  065
M M I 
p M( )
p M I( )
p M( ) .08
p M I( ) .  082
M I M 
p M I( )
p M( )
S D D 
p S D( )
p D( )

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b) Quelle est a probabilité qu’un ordinateur n’a ni un virus ni un ver?
On calcule
( ) ( ) 1 ( ) 0.75P A B P A B P A B      
c) Quelle est la probabilité qu’un ordinateur a un virus mais pas un ver ?
On calcule
( ) ( ) ( ) 0.10P A B P A P A B    
4. Probabilité conditionnelle et indépendance.
Dans certaines situations, la connaissance d’une certaine information limite les possibilités de
réalisation à une certaine partie de S. Dans ces cas, la probabilité d’un événement est basée sur
la réalisation des événements élémentaires le composant qui sont dans cette partie de S
seulement. Ce genre de probabilité s’appelle probabilité conditionnelle.
Pour illustrer ce concept, considérons les données suivantes concernant la longueur et le
diamètre de 1000 tiges en cuivre.
Longueur
Diamètre Trop courte Dans les normes Trop longue
Trop mince 15 5 4
Dans les normes 25 910 6
Trop épais 5 20 10
Avec ces données, on peut par exemple attribuer
941
1000
comme probabilité que la tige a un
diamètre dans les normes.
Supposons maintenant que la tige sélectionnée a un diamètre dans les normes. Quelle est alors
la probabilité que la tige ait une longueur dans les normes ?
La connaissance de cette information réduit l’espace des éventualités car on sait que la tige est
sélectionnée parmi les 941 qui ont un diamètre dans les normes. Comme parmi ces 941, 910 ont
une longueur dans les normes, la réponse à la question est
910
941
.