cryptographie - Colegio Francia

CRYPTOGRAPHIE FICHE 22
Le chiffrement de César
Ex 22.1 On assimile les lettres A, B, C, ..., Z aux nombres 0, 1, 2, ..., 25 et on code un nombre
x par
)(xf
en définissant
)(xf
comme le reste de la division euclidienne de
kx
par 26, où
k est un entier donné.
Prenons par exemple
17k
.
Coder le mot SECRET. Décoder le mot VLTCZUV.
Le chiffrement affine
Ex 22.2 On définit maintenant définissant
)(xf
comme le reste de la division euclidienne de
31511 x
par 26.
a) Coder le mot CHAT.
b) On se propose de décoder le mot FBNQVDP.
Résoudre l'équation
12611  ba
, a et b désignant des entiers.
Montrer que si
)(xfy 
, alors x est
)(yg
, le reste de la division euclidienne de
217  y
par
26.
Décoder le mot FBNQVDP.
Un autre chiffrement affine
Ex 22.3 On définit maintenant définissant
)(xf
comme le reste de la division euclidienne de
4017 x
par 26.
a) Coder le mot NUAGE.
b) On se propose de décoder le mot SQROMOB. S'inspirer de l'exercice précédent.
Le chiffrement de Lester Hill
Ex 22.4 Dans ce chiffrement, la fonction de codage agit sur des couples de nombres entre 0 et
25 :
);();(: 2121 yyxxf 
avec, par exemple :
2638
26115
212
211 xxy
xxy
.
Il faut grouper les lettres par deux (quitte à ajouter une lettre quelconque à la fin du message).
Les lettres KL, par exemple, fournissent
)11;10();( 21 xx
, d'où
)9;15();( 21 yy
et se
codent donc par PJ.
a) Coder le mot REQUIN.
b) Montrer que pour le décodage on peut utiliser la fonction
);();(: 2121 xxyyg 
définie par
265873
2611373
212
211 yyx
yyx
c'est-à-dire
2614
26311
212
211 yyx
yyx
.
c) Décoder le mot FIJIMI.
Principe du système RSA (inventé en 1978 par Rivest, Shamir et Adleman)
La personne A qui veut recevoir des messages codés qu'elle est la seule à pouvoir décoder
procède ainsi :
1. Elle choisit deux grands nombres premiers distincts p et q et effectue le produit
pqn
.
2. Elle choisit un entier e compris entre 2 et
)1)(1(  qp
et premier avec
)1)(1(  qp
.
3. Elle détermine un entier d tel que
)1)(1(1  qped
.
A "publie" les nombres n et e, mais garde secret le nombre d.
Exemple :
48972405019n
et
37e
.

La fonction de codage
nxxf e.mod)( 
(reste de la division euclidienne de
e
x
par n) peut
donc être utilisée par tous pour envoyer des messages à A. Plus précisément, on peut montrer
que f réalise une bijection de
1;0 n
dans
1;0 n
et que la bijection réciproque (fonction
de décodage) est
nxxg d.mod)( 
.
Une personne ne connaissant que n et e ne peut pas facilement découvrir d et donc g. En effet,
pour trouver d il faudrait connaître p et q, or si p et q sont assez grands (100 chiffres chacun
par exemple) un ordinateur même puissant est incapable de décomposer le produit
pqn
pour trouver p et q.
Tout le monde peut donc coder, mais seule A peut décoder. Ce type de système de codage est
appelé chiffrement à clé publique.
Bien entendu, avant de procéder au chiffrement, il faut convenir d'un encodage simple du
texte en une suite de nombres compris entre 0 et
1n
.