Exercice Probabilités
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BTSA 1 VO LOIS DE PROBABILITE – Exercices Exercice 1 Une roulette de casino comporte 16 numéros verts, 8 numéros noirs et 1 numéro rouge. On lance la roulette 6 fois de suite. X est la variable aléatoire égale au nombre de fois où le numéro noir est sorti. Déterminer les probabilités des événements : - Il y a eu deux numéros noirs, - Il y a eu 4 numéros noirs, - Il y a eu au moins une fois un numéro noir. Exercice 2 La probabilité qu’une fléchette atteigne une cible est p = 0,20 On lance successivement 20 fléchettes. Déterminer la probabilité des événements : - Aucune n’atteint la cible, - Une seule atteint la cible, - 3 atteignent la cible, - Au moins 3 atteignent la cible. Exercice 3 Dans une population contenant 2 % d’individus ayant un caractère A, on choisit 10 personnes. Déterminer les probabilités des événements. - Aucun n’a le caractère A, - Un seul a le caractère A, - Au moins 2 ont le caractère A. Exercice 4 Soit X une v.a. dont la loi de probabilité est la loi de Poisson de paramètre m = 3. Calculer les probabilités des événements suivants : - X = 0, - X = 2, - X≥2 - 1 ≤X ≤ 4 Exercice 5 Dans un stock d’appareils ménagers considéré comme infini, la probabilité qu’un appareil tombe en panne avant 1 an est de 0,03. 1 Un grossiste achète 150 appareils. Déterminer la probabilité des événements suivants : - 4 appareils tombent en panne avant 1 an, - Au moins 3 appareils tombent en panne avant un an (utiliser une approximation en la justifiant) Exercice 6 La taille X des élèves d’un établissement suit la loi normale de moyenne m = 151 cm et d’écarttype σ = 12 cm. Déterminer la probabilité qu’un élève pris au hasard ait une taille : - supérieure à 170 cm, - inférieure à 140 cm, - entre 160 et 180 cm, - entre 135 et 155 cm. Exercice 7 Dans une production de pièces automobiles, 1% des pièces sont défectueuses et 80% sont de 1ère qualité. On extrait un échantillon de taille n. 1. n = 10. Soit X le nombre de pièces de 1ère qualité sur l’échantillon. Déterminer la loi de probabilité de X puis calculer Prob(X = 8) et Prob(X ≥ 9). 2. n = 200. Soit Y le nombre de pièces défectueuses sur l’échantillon. Déterminer la loi de probabilité de Y puis, à l’aide d’une approximation que l’on précisera, calculer Prob(Y = 3) et Prob(Y ≤ 2). 3. n = 200. Soit Z le nombre de pièces de première qualité sur l’échantillon. Déterminer la loi de probabilité de Z, puis à l’aide d’un approximation, que l’on précisera, calculer Prob(Z ≥ 170) et Prob(150 ≤ Z ≤ 175). Exercice 8 Dans une production de pièces, 2% sont défectueuses. 1. On extrait un échantillon de taille n = 20. Déterminer les probabilités des événements : a. Il n’y a aucune pièce défectueuse, b. Il y a au moins une pièce défectueuse, c. Il y a deux pièces défectueuses. 2. On extrait un échantillon de taille n = 150. Déterminer les probabilités des événements : a. Il n’y a aucune pièce défectueuse, b. Il y a au moins une pièce défectueuse, c. Il y a au plus 3 pièces défectueuses. Pour la partie 2, utiliser une approximation en la justifiant. 2 Exercice 9 Des études ont permis de constater que sur 100 véhicules commandés, 75 sont sans défaut. Un concessionnaire achète 200 véhicules. La production est considérée comme infinie. Soit X le nombre de véhicules sur le lot présentant un défaut. 1. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. En utilisant une approximation (à justifier), déterminer les probabilités des événements : a. Il y a au moins 40 véhicules présentant un défaut, b. Il y a au moins 45 et au plus 60 véhicules présentant un défaut. Exercice 10 Un dé tétraédrique a une face rouge et trois faces blanches. On lance le dé 20 fois de suite, X est la v.a.égale au nombre de fois où une face blanche est apparue. 1. déterminer la loi de probabilité de X, 2. Déterminer les probabilités des événements : a. Il y a eu 15 fois une face blanche, b. Il y a eu 17 fois une face blanche, c. Il y a eu au moins 18 fois une face blanche, d. Il y a eu une seule fois une face rouge, e. Il y a eu au plus 3 fois une face rouge. Exercice 11 Un client s’approvisionne chez deux grossiste A et B pour acheter des ordinateurs. 30% di matériel est pris chez A, le reste chez B. 5% des ordinateurs provenant de chez A sont défectueux, ainsi que 7,5% de ceux provenant de chez B. 1. On prend un ordinateur au hasard. Trouver la probabilité qu’il soit défectueux. 2. Un client achète un lot de n ordinateurs. On considère le stock comme important, de telle sorte que l’on puisse assimiler le tirage à un tirage successif avec remise. X est la v.a. égale au nombre d’ordinateurs défectueux. a. Déterminer la loi de probabilité de X, b. On suppose n = 5. Déterminer les probabilités des événements : - il y a un seul ordinateur défectueux, - il y a au plus 2 ordinateurs défectueux. c. On suppose n = 70. Déterminer les probabilités des événements : - il y a 5 ordinateurs défectueux, - il y a au moins 3 ordinateurs défectueux (utiliser en la justifiant une approximation de la loi de probabilité de X). 3 Exercice 12 Dans une population d’effectif élevé, 70% des individus sont aptes à reconnaître le goût de phénylthiocarbamide (PTC). On prélève au hasard un échantillon de 15 individus. On appelle X la v.a. représentant le nombre de personnes inaptes à reconnaître le goût du PTC. 1. Quelle est la loi suivie par X ? 2. Calculer les valeurs caractéristiques de X et calculer E(X). 3. Quelle est la probabilité que 10 individus soient aptes à reconnaître le goût du PTC ? 4. Quelle est la probabilité qu’au moins 3 individus soient inaptes à reconnaître le goût du PTC ? Exercice 13 Une entreprise de boissons alcoolisées contrôle les lots de bouteilles livrées par ses fournisseurs en comptant le nombre de bouteilles non conformes sur un échantillon aléatoire simple de 50 bouteilles. On note p la proportion de bouteilles non conformes dans un lot. On désigne par X la v.a. prenant pour valeur le nombre de bouteilles non conformes sur un échantillon de 50 bouteilles extrait de ce lot. 1. Quelle est la loi de probabilité de X ? Justifier. 2. Exprimer en fonction de p : E(X) et V(X). 3. On considère pour la suite de l’exercice que, dans le lot contrôlé, la proportion de bouteilles non conformes est égale à 0,065. Quel est le nombre moyen de bouteilles non conformes par échantillon de 50 bouteilles ? 4. Proposer une loi utilisable comme approximation de la loi de X. 5. En utilisant cette approximation, calculer à 10-3 près les probabilités ponctuelles P(X = k) pour k entier variant de 0 à 7. k 0 1 2 3 4 5 6 7 P(X = k) 6. La norme française NFX 06-022 préconise de rejeter un lot dès que le nombre de bouteilles non conformes atteint ou dépasse 8 sur 50 contrôlées (dans le cas où p = 0,065). Déduire de la question précédente la probabilité que le nombre de bouteilles non conformes atteigne ou dépasse 8 pour un échantillon de 50 bouteilles prélevées dans ce lot concerné. Cette probabilité correspond au risque de d’un lot pourtant conforme. 4
