contrôle écrit
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EFREI –L’3/2009 PROBABILITÉS CONTRÔLE ÉCRIT La calculatrice et les documents sont interdits. Les résultats ne seront pas donnés sous forme simplifiée. Si vous simplifiez correctement les résultats, un bonus sera accordé. EXERCICE N°1 :(5 points) Une urne contient 32 boules : 8 sont noires, 8 sont blanches, 8 sont rouges et 8 sont vertes. Pour chaque couleur, chaque boule porte une des 8 premières lettres de l’alphabet. Ainsi, il y par exemple 4 boules portant la lettre A, ces quatre boules étant de couleurs différentes. On suppose toutes les boules indiscernables au toucher. On réalise un tirage simultané de quatre boules de cette urne. 1. Quel est le nombre de tirages possibles ? 2. On considère les événements suivants : A : « les quatre boules tirées sont noires. » B : « les quatre boules tirées portent une voyelle » C : « les quatre boules tirées portent la même lettre » D : « les quatre boules tirées sont de la même couleur » E : « trois boules portent la même lettre » F : « deux boules sont noires et deux boules portent la lettre « F » » Calculer la probabilité de chacun de ces événements. EXERCICE N°2 :(5 points) On dispose d’une pièce de monnaie truquée de telle sorte que la probabilité d’obtenir « Face » est égale à 0.3, et de trois urnes numérotées de 0 à 2 : L’urne numéro 0 contient un jeton portant le numéro 0 L’urne numéro 1 contient deux jetons portant les numéros 0 et 1 L’urne numéro 2 contient trois jetons portant les numéros 0, 1 et 2. Tous les jetons sont indiscernables au toucher. L’expérience consiste à lancer deux fois de suite la pièce de monnaie et à tirer un jeton dans l’urne dont le numéro est égal au nombre de « Face » obtenus lors des lancers de la pièce. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de « Face » obtenus ; on appelle Y la variable aléatoire égale au numéro du jeton tiré. 1. Quelle est la loi de la variable aléatoire X ? 2. Déterminer la loi de la variable Y et son espérance. 3. On a tiré un jeton portant le numéro 0. Quelle est la probabilité de n’avoir obtenu que des « Pile » lors des lancers de la pièce ? EXERCICE N°3 :(5 points) Soit T la variable aléatoire égale à la durée de plongée d’un sous-marin nucléaire, exprimée en mois. On suppose que T suit une loi exponentielle. On sait, d’autre part, que la durée moyenne de plongée de ce sous-marin est égale à 4 mois. 1. Déterminer la valeur du paramètre de la loi de T. 2. Quelle est la probabilité que le sous-marin reste en plongée moins de 4 mois ? 3. Quelle est la probabilité que le sous marin reste en plongée plus de 1 mois ? 4. Le sous-marin est en plongée depuis un mois. Quelle est la probabilité qu’il reste en plongée encore au moins 3 mois ? EFREI –L’3/2009 PROBABILITÉS EXERCICE N°4 :(5 points) Soit X une variable aléatoire continue dont la fonction de densité est la fonction f définie par : f (t ) 0 si t 0 où a désigne un réel positif. -2 t f (t ) (at 1)e si t 0 1. Déterminer la valeur de a pour que f soit la densité de probabilité d’une variable aléatoire continue notée X. 2. Déterminer alors sa fonction de répartition F et, si elle existe, son espérance. 3. On considère la variable aléatoire Y définie par : Y=2X-4. a. Déterminer pour tout réel y la probabilité P(Y<y). On sera amené à distinguer les cas y < 2 et y 2. b. En déduire la loi de la variable Y. 4. Mêmes questions avec la variable Z = X2 Rappel : Loi binomiale Soit n un entier naturel non nul, p un réel appartenant à l’intervalle 0 ;1. On appelle loi binomiale de paramètres n et p notée B(n,p) la loi de la variable aléatoire X telle que : X () ;;;.....; n k X (), P( X=k ) = n p k ( p) nk k Loi exponentielle Soit un réel strictement positif. On appelle variable exponentielle de paramètre la variable aléatoire absolument continue e -x si x 0 X admettant comme densité la fonction X définie par : X ( x ) 0 si x < 0 1 Son espérance est égale à 𝜆 EFREI –L’3/2009 PROBABILITÉS
