I) Introduction
publicité
Probabilité Expérience aléatoire et modèle probabiliste associé ................ 5 I) Observation de phénomènes aléatoires ................................... 5 II) Modèle probabiliste ................................................................ 5 1) Espace des épreuves (des observations) ............................ 5 2) Evénements ....................................................................... 5 Vocabulaire courant .............................................................. 5 3) Probabilités des événements ............................................. 6 Expériences aléatoires à espace d’épreuves fini ....................... 9 I) Introduction............................................................................. 9 II) Expérience à deux issues : essai de Bernoulli ........................ 9 III) Expérience à épreuves équiprobables : probabilité uniforme 10 IV) Compléments et rappels de dénombrement .......................... 10 1) Cardinaux de produits cartésiens .................................... 10 2) Nombre d’application...................................................... 11 3) Sous populations ............................................................. 11 a) Triangle de Pascal ....................................................... 11 b) Formule du binôme de Newton ................................... 12 c) Formule de Stirling ..................................................... 12 Probabilités conditionnelles évènements indépendants ......... 13 I) Probabilités conditionnelles .................................................. 13 II) Système complet d’événements. Formule des probabilités totales .......................................................................................... 13 III) Evénements indépendants..................................................... 14 1) Cas de deux événements ................................................. 14 2) Indépendance (mutuelle) ................................................. 14 IV) Expériences indépendants ..................................................... 15 1) Cas de deux expériences ................................................. 15 2) Généralisation à n expériences ........................................ 15 1 3) Répétitions successives et indépendantes d’essais de Bernoulli .................................................................................. 16 Variables aléatoires. Lois de probabilité. Indépendance. Cas des v.a. prenant un nombre fini de valeurs. ............................ 17 I) Variables aléatoires ............................................................... 17 1) Généralités....................................................................... 17 2) Loi de probabilité ............................................................ 17 II) V.a. prenant un nombre fini de valeurs................................. 18 1) Caractérisation de la loi de probabilité ............................ 18 2) V.a. classiques ................................................................. 18 a) V.a. de Bernoulli ......................................................... 18 b) V.a. binomiale ............................................................. 18 c) V.a. hypergéométrique ................................................ 18 3) Variables aléatoires à plusieurs composantes ................. 19 a) Loi jointes.................................................................... 19 b) Lois marginales ........................................................... 19 c) Lois conditionnelles .................................................... 20 d) Un exemple classique : v.a. multinomiales. Généralisation de la loi binomiale....................................... 20 III) Variables aléatoires indépendantes ....................................... 21 1) Cas général ...................................................................... 21 2) Cas des v.a. prenant un nombre fini de valeurs............... 21 3) V.a. binomiales et multinomiales : suite ......................... 21 Expériences à espace d’épreuve infini dénombrable. V.a. associées. ..................................................................................... 23 I) Introduction........................................................................... 23 II) Premier exemple d’expérience à espace d’épreuve infini dénombrable ................................................................................ 23 III) Retour à la définition d’une probabilité : σ - additivité ........ 23 IV) Système complet d’événements ............................................ 24 V) Rappels et compléments sur les séries .................................. 25 2 1) 2) 3) Convergence commutative .............................................. 25 Sommation par tranche ................................................... 25 Séries à double ou multiple indices ................................. 25 VI) V.a. associées à des expériences à espace d’épreuve infini dénombrable ................................................................................ 26 1) Loi de probabilité. Caractérisation. ................................. 26 Exemples classiques ............................................................ 26 2) V.a. à plusieurs composantes .......................................... 26 Moment des variables aléatoires .............................................. 27 I) Définition .............................................................................. 27 II) Règles de calcul et propriétés associés ................................. 27 III) Retour sur les v.a. indépendantes ......................................... 29 IV) V.a. à valeurs entières. Fonction génératrice. ....................... 29 Approximations de la loi binomiale ......................................... 31 I) Introduction........................................................................... 31 II) Approximation de Poisson.................................................... 31 III) Théorème de De Moivre Laplace ......................................... 31 1) Densité normale .............................................................. 31 2) Théorème de De Moivre Laplace .................................... 32 n-échantillon. Loi des grand nombres et théorème de la limite centrale. ...................................................................................... 32 I) Définition du n-échantillon ................................................... 32 II) Moyenne empirique. Loi des grand nombres. ...................... 33 1) Inégalité de Markov ........................................................ 33 2) Loi des grands nombres .................................................. 33 III) Théorème de la limite centrale ............................................. 34 3 Expérience aléatoire et modèle probabiliste associé I) Observation de phénomènes aléatoires Def : On appelle expérience (plutôt que phénomène) aléatoire une expérience dont le résultat n’est pas connu à l’avance de dépend du hasard. II) Modèle probabiliste 1) Espace des épreuves (des observations) E : expérience aléatoire : Ensemble de tous les résultats possibles de cette expérience : Élément de Def : Un ensemble est dit dénombrable s’il existe une bijection f de l’ensemble des entiers naturels N sur l’ensemble . Une telle bijection permet de définir une énumération de l’ensemble , c’est-à-dire de numéroter ses éléments. (Il peut y avoir plusieurs bijections donc plusieurs numérotations possibles des éléments de . 2) Evénements On fait correspondre à un événement A un sous-ensemble de noté A égal à l’ensemble des épreuves pour lesquelles l’événement est réalisé. Vocabulaire courant Ø : événement impossible : événement certain : événement élémentaire 5 A B : A B : A inclut dans B A B Ø : incompatible AC et A : A complémentaire A B A ou B : A ou B A B A et B : A et B n A i et i 1; n Ai i 1 n A i et i i; n Ai i 1 3) Probabilités des événements Def (probabilité) Etant donné une expérience aléatoire (E représentée par son espace d’épreuves) , on appelle probabilité sur toute fonction d’ensembles P définie sue l’ensemble des parties de , à valeur dans 0;1 : A P( A) 0;1 vérifiant les propriétés suivantes : (1) P (Ø) 0 , P() 1 (2) (additivité simple) Si A et B sont deux évènements incompatibles alors : P( A B) P( A) P( B) (3) (continuité monotone croissante) Si An , n 1 est une suite d’ensembles telle que, pour tout n 1, An An1 (suite croissante d’ensembles), alors la suite numérique P( An ), n 1 converge, et lorsque n tend vers , P(A) où A n1 An Prop : Soit P une probabilité. Dans ce qui suit, A, B, A1 ,, Ak sont des sous-ensembles de . 1) P( AC ) 1 P( A) 2) P est une fonction croissante d’ensemble : A B P( A) P( B) 6 3) Si A1 ,, Ak sont k ensembles deux à deux disjoints (i, j ) 1 i j k Ai A j Ø k k P Ai P( Ai ) i 1 i 1 4) Si A et B sont deux ensembles, P( A B) P( A) P( B) P( A B) et P( A B) P( A) P( B) 5) Si A1 ,, Ak sont k ensembles quelconques : k k P Ai P( Ai ) i 1 i 1 7 Expériences aléatoires à espace d’épreuves fini I) Introduction 1 ,, N A i i:i A P( A) P i:i A i (1) Pour déterminer la probabilité P sur , il suffit de déterminer les nombres pi Pi i 1,, N , qui représentent les probabilités de chacune des épreuves i . Les nombres pi , i 1,, N vérifient : i 1,, N pi 0 et N p i 0 i 1 ( 2) Def (Probabilité si fini) Sur l’ensemble fini 1 ,, N , on appelle probabilité P sur une suite finie P p1 ,, p N de nombres vérifiant ( 2) , avec, pour tout i 1,, N pi Pi . Si A , alors P( A) est calculé par la formule (1) . II) Expérience à deux issues : essai de Bernoulli Def : On appelle essai de Bernoulli une expérience qui n’a que deux résultats possibles que l’on convient d’appeler S "Succés" et E "Echec" . On la représente par S, E et la probabilité P est déterminée par la donnée de : PS p PE 1 p 9 Le nombre p 0;1 est la probabilité de succès. III) Expérience à épreuves équiprobables : probabilité uniforme Soit une expérience à N issues (épreuves) toutes équiprobables. Dans ce cas, on a : Si 1 ,, N card N et i 1,, N Pi p 1 1 N Def : On appelle probabilité uniforme sur l’ensemble fini , la probabilité définie par : A A P A IV) Compléments et rappels de dénombrement Rappel (injection, surjection, bijection) Pour E et F deux ensembles finis, - s’il existe une injection de E dans F alors E F - s’il existe une surjection de E sur F alors E F - s’il existe une bijection de E sur F alors E F 1) Cardinaux de produits cartésiens Def : Si E et F sont deux ensembles quelconques, on appelle produit cartésien de E et F l’ensemble noté E F défini par : E F x; y ; x E et y F De façon analogue, si E1 ,, E k sont k ensembles quelconques, le produit cartésien de E1 ,, E k est l’ensemble : E1 Ek x1 ,, xk ; i 1,, k , xi Ei 10 Rq : Si les Ei sont tous identiques, égaux à E, E1 Ek E k Prop : 1) Si E et F sont deux ensembles finis, E F E F 2) Si E1 ,, E k sont k ensembles finis, k E1 Ek Ei i 1 2) Nombre d’application Considérons deux ensembles finis E a1 ,, an et F b1 ,, bm Prop : Le nombre d’applications de E dans F et n m n! (n m)! - Si m n , le nombre de bijections de F dans E est n An n! . Si E F , on appelle permutation de E une bijection de E sur lui-même. Prop : lorsque n tend vers l’infini, m restant fixe n n 1 m m 1 n 1 nm Prop : - Le nombre d’injection de F dans E est Anm 3) Sous populations Soit un ensemble à n éléments. Prop : Le nombre de sous ensembles à k éléments, k 1,, n, est égal à : n! Cnk Cnnk k!n k ! a) Triangle de Pascal C C k n k 1 n1 Cnk1 n 1 k 1 11 k 0 1 2 3 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 2 1 2 1 0 0 3 1 3 3 1 0 1 1 n b) Formule du binôme de Newton n a b n Cnk a k b nk k 0 c) Formule de Stirling n! ~ n 12 n 2 n e n Probabilités conditionnelles évènements indépendants I) Probabilités conditionnelles Def : Etant donné une expérience aléatoire, représentée par , P et A et B deux événements avec P( B) 0 . On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B le nombre : P A B A B P A / B P B A Th : L’événement B tel que PB 0 étant fixé, la fonction d’ensembles : A P A / B est une probabilité sur Ω. On l’appelle la probabilité conditionnelle sachant B. P A B P B P A / B Rq : P A P B / A II) Système complet d’événements. Formule des probabilités totales Def (Système complet d’événements) Soit Ω un ensemble, A1 ,, Ak k sous ensembles de Ω. On dit que ces k sons ensembles forment un système complet d’événements si : k 1) Ai i 1 2) i; j 1;; k 2 i j Ai Aj Ø 3) i 1,, k P Ai 0 Autrement dit, ces sous-ensembles forment une partition de Ω et sont de probabilité non nulle. 13 Th (Formule des probabilités totales) Soit Ω un ensemble muni d’une probabilité P, A un sousensemble de Ω (événement), et A1 ,, Ak un système complet d’événements. On a : k k i 1 i 1 P A P A Ai P Ai P A / Ai Prop (Formule de Bayes) Avec les mêmes notations et hypothèses que le théorème précédent, on a : P A j P A / A j P A j j 1,, k PA j / A k P A / A j P A P Ai P A / Ai i 1 III) Evénements indépendants 1) Cas de deux événements Def : On considère une expérience , P . Les événement A et B sont dits indépendants (relativement à P) si : P A B P A PB Prop : Si A et B sont indépendants, alors Ac et B, A et B c , Ac et B c aussi. 2) Indépendance (mutuelle) Def : On considère une expérience , P . Les événements A1 ,, Ak sont dits (mutuellement) indépendants si toutes les relations suivantes sont vérifiées : 14 i, j 1,, k i j 2 i, j , l 1,, k 3 PAi A j P Ai PA j distinct PAi A j Al P Ai PA j P Al k k P Ai P Ai i 1 i 1 Prop : Si A1 ,, Ak sont indépendants, alors il en est de même de A1 ' ,, Ak ' où Ai ' désigne soit Ai , soit Aic IV) Expériences indépendants 1) Cas de deux expériences Th : Si A1 est un événement lié à l’expérience 1 , P1 et A2 un événement lié à l’expérience 2 , P2 , alors ces événements sont indépendants dans l’expérience , P . 1 2 Ie : P A1 A2 P1 A1 P2 A2 2) Généralisation à n expériences i , Pi i 1,, n , n expériences 1 n A A1 An ~ i 1,, n Ai 1 i1 Ai i1 n n n ~ P A Pi Ai P Ai i 1 i 1 15 3) Répétitions successives et indépendantes d’essais de Bernoulli S , E n P p k 1 p k : nombre de fois où S apparaît dans l’épreuve . Prop : Ak au cours des n essais, on a obtenu k succés nk k 0,, n P Ak Cnk p k 1 p nk 16 Variables aléatoires. Lois de probabilité. Indépendance. Cas des v.a. prenant un nombre fini de valeurs. I) Variables aléatoires 1) Généralités Def : une variable aléatoire (v.a.) est un caractère observé ou mesuré lors d’une expérience aléatoire. Def : étant donné une expérience aléatoire d’espace d’épreuve Ω, une variable aléatoire X est une application définie sur l’ensemble Ω: X Les valeurs X , décrivent un ensemble que nous noterons X. 2) Loi de probabilité Th (loi de probabilité de X) La fonction d’ensemble PX définie par : B X PX B PX B est une probabilité sur l’ensemble X des valeurs prises par X. Cette probabilité s’appelle la loi de probabilité de la v.a. X. 17 II) V.a. prenant un nombre fini de valeurs 1) Caractérisation de la loi de probabilité Th : Soit X une v.a. prenant un nombre fini de valeurs. Soit X x1 ,, xk l’ensemble des valeurs distinctes prises par la v.a. X. - Les ensembles X xi i 1,, k forment un système complet d’événements de Ω. - La loi de probabilité de X est parfaitement déterminée par la donnée de la suite de nombres PX xi , i 1,, k (positifs et de somme 1) et : B X PX B PX xi i tq xi B 2) V.a. classiques a) V.a. de Bernoulli On considère un essai de Bernoulli de probabilité de succès p X S 1 X E 0 PX 1 p et PX 0 1 p b) V.a. binomiale On réalise n essais de Bernoulli indépendants S " Nombres de S dans " P p S 1 p n S k 0, 1, , n PS k Cnk p k 1 p nk c) V.a. hypergéométrique Une urne contient n1 boules rouges et n2 boules blanches (boules discernables). On tire r boules r n1 de l’urne sans remis. 18 n n1 n2 X " Nombre de boules rouges tirées " E R1 ,, Rn1 , B1 ,, Bn2 1 ,, r i, j 1,, r 2 i E i j i j C nr PX k C nk1 C nr2 k C nr k 1,, r 3) Variables aléatoires à plusieurs composantes a) Loi jointes Def : La loi jointe X , Y est la loi de la v.a. Z X , Y à valeurs dans l’ensemble Z X Y . La loi de probabilité Z X , Y est caractérisée par PZ z P X ,Y x, y Z z X x,Y y X xY y La notion de loi jointe se généralise au cas de vecteur aléatoire à k composantes X X 1 ,, X k b) Lois marginales Posons X x1 ,, xk et Y y1 ,, yl Prop (formule des lois de probabilités marginales) i 1, , k PX xi P X ,Y xi , y j l j 1 j 1, , l PY y j P X ,Y xi , y j k i 1 Rq : Si on connaît la loi jointe de X X 1 ,, X k , on peut calculer les lois (marginales) de tous les sous vecteurs extraits de 19 X. ces lois s’obtiennent par sommation sur toutes les valeurs possibles des composantes supprimées. c) Lois conditionnelles Def : Soit X une variable aléatoire et A un événement vérifiant P A 0 . On appelle loi de probabilité conditionnelle de X sachant A, la probabilité définie sur l’ensemble X des valeurs de X par : P A, X x x P X x / A P A d) Un exemple classique : v.a. multinomiales. Généralisation de la loi binomiale. E : population composée d’individus de différents types k numérotés de 1 à k en proportion p1 ,, pk avec p i 1 i 1. Exp : On choisi au hasard n individus dans la population avec remise. N i " Nombre d' individus de type i" 1 , , n i E i 1, , n N j Nombre de type j dans k P p j N j j 1 N j n j k P N1 ,, N k n1 , , nk n! p j j 1 k n ! j j 1 20 nj III) Variables aléatoires indépendantes 1) Cas général Def : Soient X 1 ,, X k k v.a. à valeurs respectives dans E1 ,, Ek . Ces v.a. sont indépendantes si Bi Ei i 1,, k , on a : k P X 1 B1 ,, X k Bk P X i Bi i 1 Prop : Les v.a. X 1 ,, X k sont indépendantes si et seulement si pour tous les sous-ensembles Bi Ei i 1,, k , les événements Ai X i Bi i 1,, k sont indépendants. 2) Cas des v.a. prenant un nombre fini de valeurs Th : Les v.a. X 1 ,, X k sont indépendantes si et seulement si ai Ei k i 1,, k P X 1 a1 ,, X k ak P X i ai i 1 Th : Si X 1 ,, X k sont indépendantes, alors, tout sous vecteurs extrait de X X 1 ,, X k est indépendant de tout autre sous vecteur ne contenant pas les mêmes composantes. 3) V.a. binomiales et multinomiales : suite Th : À chaque essai, on associe la v.a. X i , qui vaut 1 si le i e essai a été un succès et 0 sinon. On a : 1) Les v.a. X i i 1,, n sont indépendantes et de même loi de Bernoulli de paramètre p. 2) S X 1 X n 21 Expériences à espace d’épreuve infini dénombrable. V.a. associées. I) Introduction Def : Un ensemble Ω est infini dénombrable s’il existe une bijection f : n N f (n) n de N sur Ω. Une telle bijection permet de définir une numérotation des éléments de 0 ,, n , Prop : - Une réunion finie ou dénombrable d’ensembles dénombrables est un ensemble dénombrable ( A An est nN dénombrable si tous les An le sont) - Un produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est dénombrable. II) Premier exemple d’expérience à espace d’épreuve infini dénombrable Def : Sur l’ensemble des entiers supérieurs à 1, la probabilité n 1 n 1 s’appelle la (loi de) définie par P(n) p 1 p probabilité géométrique de paramètre p. III) Retour à la définition d’une probabilité : σ - additivité Th : Soit Ω un ensemble et P : A P( A) 0 une fonction d’ensembles définie sur l’ensemble des parties de Ω. Les propriétés (1)-(2)-(3) de la définition d’une probabilité sont équivalentes à (1)-(2)-(3 bis). (3 bis) (σ - additivité) Pour la suite d’ensembles An , n 1 , deux à deux disjoints (c'est-à-dire si n m, An Am Ø ) alors : 23 P An P An n 1 n 1 où le membre de gauche désigne la somme de la série de terme général P An . Def : Sur l’ensemble 1 ,, n , (infini dénombrable), on appelle probabilité P une suite infini P p1 ,, pn , de nombres vérifiant : i 1,, n, pi 0 et p i 1 i 1 avec, pour tout i, pi Pi . Si A , P A est calculé par : P A P i:i A i Système complet d’événements Def : Une suite An , n 1 de sous-ensembles de Ω forme un IV) système complet d’événements si : - n, m N * 2 nm An Am Ø - An n 1 - n 1 P An 0 (En conséquence, P A 1 ) n 1 n Th (Formule des probabilités totales) Pour tout A , si An , n 1 est un système complet d’événement, P A P An P A / An n 1 24 V) Rappels et compléments sur les séries 1) Convergence commutative Th : - On suppose u n 0 pour tout n entier. Pour toute bijection f : N N , on a : u n 0 n u f (n) n 0 que la somme soit finie ou égale à . - On suppose que la série de terme général un nN est absolument convergente, alors, on a le même résultat. 2) Sommation par tranche Prop : Soit un nN une suite de nombres positifs. Soit s : N N une fonction strictement croissante. La série de terme général vn s ( n 1) 1 u k s(n) k obtenue en sommant les termes de uk kN entre deux valeurs consécutives prises par s est telle que : n 0 n 0 vn u n que cette somme soit finie ou égale à . 3) Séries à double ou multiple indices une série à double indice. Th : Soit uij , i, j N * 2 - Si uij 0 pour tout couple i, j on a : uij uij i 1 j 1 j 1 i 1 que la somme de cette série soit finie ou égale à . 25 - Si la série double de terme général uij i , j N * 2 est absolument convergente, alors on a le même résultat. VI) V.a. associées à des expériences à espace d’épreuve infini dénombrable 1) Loi de probabilité. Caractérisation. Soit X une v.a. liée à l’expérience , P X : X X ( ) X x1 ,, xk , est l’ensemble des valeurs distinctes prises par X. PX xi P X xi i 1 Exemples classiques - V.a. géométrique de paramètre p n 1 PX n Pn p 1 p - V.a. de Poisson de paramètre λ PX n e n n! 2) V.a. à plusieurs composantes Les notions de lois jointes, lois marginales, lois conditionnelles sont inchangées. Th : Les v.a. X 1 ,, X k sont indépendantes si et seulement si pour tous les éléments ai Ei , i 1,, k , on a : k P X 1 a1 ,, X k ak P X i ai i 1 26 Moment des variables aléatoires I) Définition Def (moment ou espérance de φ(X)) 1) Soit :X 0; une fonction à valeurs réelles positives. On appelle espérance de la v.a. X la quantité : E X X P Dans la formule ci-dessus, deux cas sont compris. Ou bien Ω est fini et la somme est une somme finie ordinaire. Ou bien Ω est infini et la somme est celle d’une série. Comme nous avons supposé X 0 pour tout ω, il s’agit de la somme d’une série à termes positifs. Cette somme a toujours un sens, mais elle peut prendre la valeur . Si la somme est finie, on dit que X a une espérance finie, sinon que cette espérance est infinie. 2) Soit : X R une fonction à valeurs réelles. Si E X , on définit l’espérance de la v.a. X comme la somme de la série convergente (puisque absolument convergente) E X x PX x xX On parle également de moment de la v.a. x pour désigner l’espérance de x . II) Règles de calcul et propriétés associés Prop : Soient X, Y et Z des v.a. prenant des valeurs réelles, et a, b et c des nombres réels. 1) Si X ne prend que des valeurs positives, E X 0 27 2) Si X Y et EY , alors E X et E X E X 3) Si X et Y ont une espérance finie, Ea X b Y c a E X b EY c Prop : Soit r N r k Alors E X implique E X pour tout entier k r . Et E X implique E X pour tout entier l r r r Prop : 1) Si X 2 a une espérance finie, alors X a une espérance finie. Dans ce cas, on appelle variance de X le nombre (positif) 2 Var X E X E X On a l’égalité : 2 Var X EX 2 E X La quantité Var X s’appelle l’écart type de X, en général noté σ X . 2) On a la formule : Var a X b a 2 Var X Prop : Si X 2 et Y 2 ont une espérance finie, alors il en est de même de X, de Y et de X Y et l’inégalité suivante a lieu (inégalité de Cauchy Schwarz) E X Y 2 EX 2 EY 2 Dans ce cas, on appelle covariance de X et de Y le nombre : Cov X , Y E X Y E X EY La covariance vérifie : Cov X a, Y b Cov X , Y 2 Si Z a une espérance finie, Cova X b Y , Z a Cov X , Z b CovY , Z Var a X b Y a 2 Var X b 2 Var Y 2 a b Cov X , Y Et en application de l’inégalité de Cauchy Schwarz, 28 Cov X , Y Var X Var Y Def : On appelle cœfficient de corrélation de X et de Y le nombre : Cov X , Y ρ X , Y Var X Var Y Prop : Soient X 1 ,, X n n v.a. vérifiant E X i2 pour i 1,, n et a1 ,, an des nombres réels. On a : n n Var ai X i ai2 Var X i 2 ai a j CovX i , Y j 1 i j n i 1 i 1 III) Retour sur les v.a. indépendantes Prop : Si, pour une même expérience, les v.a. X 1 ,, X k sont indépendantes, à valeurs respectives dans les ensembles E1 ,, Ek , alors, pour toutes les fonctions i : Ei R i 1,, k , on a : k k E i X i E i X i i 1 i 1 dés lors que les expériences écrites ont un sens. En particulier, si X et Y sont deux v.a. indépendantes, à valeurs réelles et vérifiant E X 2 et E Y 2 , on a : Cov X , Y 0 IV) V.a. à valeurs entières. Fonction génératrice. Def : Soit X une v.a. à valeurs entières positives de loi PX n p n , n N . s 1;1 G X s s n PX n nN 29 Rq : G X 1 E X G X 1 E X 2 X E X E X 2 30 Approximations de la loi binomiale I) Introduction X ~ B n,p nk PX k Cnk p k 1 p k 0,, n II) Approximation de Poisson n p0 n p 1 ou 2 Th : Supposons que la probabilité de succès varie en fonction de n de façon que p tout entier k 0 : où 0 est un nombre donné. Alors, pour n b k ; n, C nk 1 n n n k III) nk ~ e n k k! pk ; Théorème de De Moivre Laplace n 10 n p 10 et k petit 1) Densité normale Def : n x 1 2 e x2 2 Prop : La fonction n est intégrable sur R et nxdx 1 Def (fonction de répartition normale standard) N x nx dx x 31 Rq : et x 0 lim N x 1 x N x 1 N x lim N x 2) Théorème de De Moivre Laplace S n ~ B n,p PS n k bk ; n, p b Pa S n b bk ; n, p a b N k a Th : Etant donné deux nombres réels quelconques fixés x1 x2 , p étant fixé, Sn n p P x1 x2 n N x2 N x1 n p 1 p Le même énoncé reste vrai en remplaçant les inégalité larges par des inégalités strictes et en remplaçant x1 par (avec N 0 ) ou x2 par (avec N 1 ). En pratique, si n grand : P np x1 np1 p Sn np x2 np1 p N x2 N x1 n-échantillon. Loi des grand nombres et théorème de la limite centrale. I) Définition du n-échantillon x1 ,, xn i 1,, n xi X X n n P pxi i 1 On défini les v.a. X i par : i 1,, n X i xi 32 Si x1 ,, xn X i xi X i est la i e observation. Th : Sur , P , les v.a. X 1 ,, X n sont indépendantes et de même loi de probabilité px, x X . Def : Une suite finie X 1 ,, X n de v.a. définies sur la même expérience , P indépendantes et de même loi de probabilité s’appelle un n-échantillon. II) Moyenne empirique. Loi des grand nombres. 1) Inégalité de Markov Prop : Si X est une v.a. sur , P , on a, pour tous a 0 et r 0 , l’inégalité de Markov : 1 r P X a r E X a On en déduit l’inégalité de Bienaymé-Tchebichev : si E X 2 1 P X E X a 2 Var X a 2) Loi des grands nombres Th : Soient X 1 ,, X n , n v.a. définies sur la même expérience , P indépendantes, de même loi de probabilité (n-échantillon), vérifiant E X 12 . Soit m E X 1 l’espérance commune à toutes ces v.a. Alors, pour tout h 0 : X X n P 1 m h n 0 n ie X1 X n n E X 1 n 33 ~ X X n On note souvent X 1 la moyenne empirique de n l’échantillon. III) Théorème de la limite centrale Th : Soient X 1 ,, X n , n v.a. définies sur la même experience , P indépendantes, de même loi de probabilité (n-échantillon), vérifiant EX 12 . Soient m E X 1 et σ Var X1 , l’espérance et l’écart type communs à toutes ces v.a. et posons Sn X1 X n . Alors, pour tous les nombres x1 x2 , S nm P x1 n x2 n N σ n 34 x2 N x1
