I) Introduction

1
Probabilité
Expérience aléatoire et modèle probabiliste associé ................ 5
I) Observation de phénomènes aléatoires ................................... 5
II) Modèle probabiliste ................................................................ 5
1) Espace des épreuves (des observations) ............................ 5
2) Evénements ....................................................................... 5
Vocabulaire courant .............................................................. 5
3) Probabilités des événements ............................................. 6
Expériences aléatoires à espace d’épreuves fini ....................... 9
I) Introduction............................................................................. 9
II) Expérience à deux issues : essai de Bernoulli ........................ 9
III) Expérience à épreuves équiprobables : probabilité uniforme 10
IV) Compléments et rappels de dénombrement .......................... 10
1) Cardinaux de produits cartésiens .................................... 10
2) Nombre d’application ...................................................... 11
3) Sous populations ............................................................. 11
a) Triangle de Pascal ....................................................... 11
b) Formule du binôme de Newton ................................... 12
c) Formule de Stirling ..................................................... 12
Probabilités conditionnelles évènements indépendants ......... 13
I) Probabilités conditionnelles .................................................. 13
II) Système complet d’événements. Formule des probabilités
totales .......................................................................................... 13
III) Evénements indépendants ..................................................... 14
1) Cas de deux événements ................................................. 14
2) Indépendance (mutuelle) ................................................. 14
IV) Expériences indépendants ..................................................... 15
1) Cas de deux expériences ................................................. 15
2) Généralisation à n expériences ........................................ 15

2
3) Répétitions successives et indépendantes d’essais de
Bernoulli .................................................................................. 16
Variables aléatoires. Lois de probabilité. Indépendance. Cas
des v.a. prenant un nombre fini de valeurs. ............................ 17
I) Variables aléatoires ............................................................... 17
1) Généralités ....................................................................... 17
2) Loi de probabilité ............................................................ 17
II) V.a. prenant un nombre fini de valeurs................................. 18
1) Caractérisation de la loi de probabilité ............................ 18
2) V.a. classiques ................................................................. 18
a) V.a. de Bernoulli ......................................................... 18
b) V.a. binomiale ............................................................. 18
c) V.a. hypergéométrique ................................................ 18
3) Variables aléatoires à plusieurs composantes ................. 19
a) Loi jointes .................................................................... 19
b) Lois marginales ........................................................... 19
c) Lois conditionnelles .................................................... 20
d) Un exemple classique : v.a. multinomiales.
Généralisation de la loi binomiale. ...................................... 20
III) Variables aléatoires indépendantes ....................................... 21
1) Cas général ...................................................................... 21
2) Cas des v.a. prenant un nombre fini de valeurs ............... 21
3) V.a. binomiales et multinomiales : suite ......................... 21
Expériences à espace d’épreuve infini dénombrable. V.a.
associées. ..................................................................................... 23
I) Introduction........................................................................... 23
II) Premier exemple d’expérience à espace d’épreuve infini
dénombrable ................................................................................ 23
III) Retour à la définition d’une probabilité : σ - additivité ........ 23
IV) Système complet d’événements ............................................ 24
V) Rappels et compléments sur les séries .................................. 25

3
1) Convergence commutative .............................................. 25
2) Sommation par tranche ................................................... 25
3) Séries à double ou multiple indices ................................. 25
VI) V.a. associées à des expériences à espace d’épreuve infini
dénombrable ................................................................................ 26
1) Loi de probabilité. Caractérisation. ................................. 26
Exemples classiques ............................................................ 26
2) V.a. à plusieurs composantes .......................................... 26
Moment des variables aléatoires .............................................. 27
I) Définition .............................................................................. 27
II) Règles de calcul et propriétés associés ................................. 27
III) Retour sur les v.a. indépendantes ......................................... 29
IV) V.a. à valeurs entières. Fonction génératrice. ....................... 29
Approximations de la loi binomiale ......................................... 31
I) Introduction........................................................................... 31
II) Approximation de Poisson .................................................... 31
III) Théorème de De Moivre Laplace ......................................... 31
1) Densité normale .............................................................. 31
2) Théorème de De Moivre Laplace .................................... 32
n-échantillon. Loi des grand nombres et théorème de la limite
centrale. ...................................................................................... 32
I) Définition du n-échantillon ................................................... 32
II) Moyenne empirique. Loi des grand nombres. ...................... 33
1) Inégalité de Markov ........................................................ 33
2) Loi des grands nombres .................................................. 33
III) Théorème de la limite centrale ............................................. 34

5
Expérience aléatoire et modèle
probabiliste associé
I) Observation de phénomènes
aléatoires
Def : On appelle expérience (plutôt que phénomène) aléatoire une
expérience dont le résultat n’est pas connu à l’avance de dépend
du hasard.
II) Modèle probabiliste
1) Espace des épreuves (des
observations)
E : expérience aléatoire
: Ensemble de tous les résultats possibles de cette expérience
: Élément de
Def : Un ensemble est dit dénombrable s’il existe une bijection
f de l’ensemble des entiers naturels N sur l’ensemble .
Une telle bijection permet de définir une énumération de
l’ensemble , c’est-à-dire de numéroter ses éléments. (Il peut y
avoir plusieurs bijections donc plusieurs numérotations possibles
des éléments de .
2) Evénements
On fait correspondre à un événement A un sous-ensemble de
noté A égal à l’ensemble des épreuves pour lesquelles
l’événement est réalisé.
Vocabulaire courant
Ø : événement impossible
: événement certain
: événement élémentaire