JESTIN Yann HUGIN Marie-Charlotte 20/10/05

VAQUER Laurie
TERTRAIS Etienne
27/10/06 – groupe : B6
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PS22
TP II
Théorème de superposition, théorème de Thévenin
Objectifs du TP :
Les méthodes de superposition et de Thévenin (forme de superposition plus rapide) sont
des moyens de transformer un circuit quelconque en un circuit plus simple et ainsi de permettre
la simplification du calcul ultérieur des courants et tensions dans une partie choisie de celui-ci.
Ces méthodes peuvent s’avérer très efficaces quand il s’agit de s’intéresser à des circuits
connectés à des charges extérieures susceptibles de varier.
Le but de cette scéance est de vérifier, sur un « pont de Wheastone » (six branches reliant quatre
nœuds), la véracité des méthodes de superposition et donc de Thévenin.
Pour cela, nous utilisons notamment les lois de Kirchhoff dont la linéarité des équations permet
d’introduire ces deux méthodes.
Matériel utilisé :
- 1 voltmètre
- 3 multimètres Wavetek 10 XL branchés sur les branches 1, 3 et 6 ; ceci est arbitraire,
car nous savons qu’il nous suffit de connaître que quelques courants pour connaître le
comportement général du circuit (avec la loi de nœuds par exemple). Les multimètres ont été
placés dans le sens de convention afin d’obtenir directement le sens réel du courant.
- 6 résistances respectives à chacune des branches.
- 3 générateur de tension à base Ni/Cd
- un ensemble de résistances variables.
Le réseau utilisé est réalisé sur une planchette qui permet d’insérer dans chaque branche
3 éléments (résistances, générateurs, ampèremètres).
I/ Théorème de superposition
On considère le réseau électrique suivant :
Il est constitué de 6 branches caractérisées chacune
par une résistance Ri. Les extrémités des branches sont des
nœuds au nombre de 4. Chaque branche est orientée
arbitrairement (c'est-à-dire que les flèches ne représentent
pas forcément le sens réel du courant).
Cette orientation permet de définir un courant
algébrique, le sens du courant étant celui de la branche quand le courant algébrique est positif,
le sens contraire quand le courant algébrique est négatif.
Une fois défini le circuit ne doit plus changer.
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20/10/05
---------------------------------------------------------------------------------------------------------R1
R2
R3
470
R4
467
R5
995
465
R6
269
269
En plaçant successivement un générateur sur les six branches, on détermine tous les
coefficients définis par :
Aij 
E1
E2
12,080
E3
12,080
ii
ej
E4
12,080
E5
12,080
E6
12,080
12,080
En effet, grâce aux trois milliampèremètres placés sur les branches 1, 3 et 6 on mesure
directement les courants i1, i3 et i6 et on obtient les autres par application de la loi des nœuds de
Kirchhoff : i2  i6  i1 i4  i6  i3 i5  i1  i3 . Mais il faut faire attention brancher chaque
milliampèremètre dans le sens de convention de façon à ce que son indication donne
l’orientation réelle du courant.
Calcul d’incertitude sur les coefficients Aij :
dAij 
1
i
dii  2 de j
ej
ej
Aij 
soit l’incertitude absolue :
il vient donc :
Aij
Aij

i
1
ii  i 2 e j
ej
ej
ii e j

ii
ej
le multimètre Wavetek 10 XL a une précision de :
ii = 1% de i mesuré + 1digit avec : 1 digit = 0,01 mA
De même pour le voltmètre :
e j = 0,5% de e mesuré + 1 digit avec : 1 digit = 0,01 V
Les multimètres sont réglé sur le calibre de 20 mA, donc, pour obtenir la meilleure
précision possible, il faut avoir un courant dans les branches le plus proche de ce calibre. Par
ailleurs, comme le voltmètre est réglé au calibre de 20 V, nous devons choisir la tension
maximum approchant ce calibre afin de diminuer le plus possible l’incertitude relative. Nos
générateurs mis en série délivreraient la plus haute tension, mais nous sommes contraints d’en
n’utiliser qu’un (tous les générateurs approchent les 12V).
D’après toutes nos mesures, Excel calcule les coefficients (cf. annexe 1). On observe alors
une symétrie, théoriquement prévue, dans la matrice des coefficients par rapport à sa diagonale.
Nous pouvons l’admettre même si certaines valeurs ne présentent pas de stricte égalité entre
elles, en raison des incertitudes sur les mesures.
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---------------------------------------------------------------------------------------------------------Les écarts restent cependant très faibles et nous verrons par la suite qu’ils s’avèrent
négligeables par un travail théorique sur Excel avec les courants de mailles.
Enfin, pour vérifier la validité du théorème, on monte sur trois branches (1, 3 et 4
arbitrairement) les générateurs disponibles et on relève les mesures de courant pour les branches
considérées (cf. annexe 2).
On remarque une différence très faible entre les courants mesurés et les courants déduits
en théorie de la matrice de superposition en prenant en compte la contribution des 3
générateurs. Le principe de superposition est donc vérifié ici.
NB : la différence observée est due tout d’abord à l’incertitude sur nos mesures et par
ailleurs par le fait que la matrice a été réalisée en considérant la même force électromotrice sur
chacune des branches (12,08 V). Or, en exploitant cette matrice nous avons connecté 3 sources
très sensiblement différentes (12,08 V, 12,11 V, et 12,16 V). Ceci induit donc une erreur
supplémentaire.
L’exploitation de nos premières mesures (résistances) fait l’objet d’un travail
supplémentaire sur Excel de la même situation mais avec les lois de Kirchhoff (cf. annexe 3).
Nous vérifions ainsi la méthode superposition. Nous exploitons les cas où les forces
électromotrices présentent ou non une différence de tension. L’incertitude des résultats obtenus
réside seulement ici dans la mesure des résistances.
II/ Générateur équivalent de Thévenin :
Pour cette seconde partie, on garde le réseau précédent dont on retire la branche 6 (en
gardant l’ampèremètre). On y met à la place une boîte de résistances variables R. Ensuite, on fait
débiter le générateur sur cette résistance et on mesure simultanément la tension et l’intensité
pour plusieurs valeurs de R.
A partir de là nous pouvons tracer la caractéristique (cf. annexe 4). On trouve alors une
courbe représentative d’une fonction affine en traçant U en fonction de I, qui représente bien la
caractéristique d’un générateur de résistance interne non négligeable, tel que :
U  Eéq  Réq I
On peut donc bien assimiler le circuit à un générateur et une résistance équivalente
montée en série.
L’ordonnée à l’origine de cette droite correspond à la fém équivalente et la pente à la
résistance interne. Donc nous obtenons :
E éq graphique = 18,33 V
Réq graphique = 555 
Pour vérifier le théorème de Thévenin nous allons étudier les différentes propositions de
ce dernier.
Tout d’abord, on mesure la tension à vide pour calculer la force électromotrice du
générateur équivalent :
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
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---------------------------------------------------------------------------------------------------------E éq mesurée = 19,80  0,1 V
Puis, on mesure la valeur de la résistance équivalente avec le même multimètre :
Réq mesurée = 578 
on peut donc écrire abusivement Réq  E éq  Iéq soit Réq  I éq Eéq  E éq I éq
d’où Iéq = 0,0343  0,0004 A et ∆Réq= 0,01 
On trouve des valeurs similaires pour les mesures de Eeq et Req et pour leurs
déterminations graphiques. Le théorème de Thévenin est donc vérifié.
La loi de Pouillet pour la branche 6 donne
Eéq
i
 23,4 mA  i6 ce qui concorde avec le principe de Thévenin.
R6  Réq
Conclusion :
Pendant cette séance de travaux, nous avons pu mettre à l’épreuve les principes de
superposition et de Thévenin. Ce travail nous a montré à quel point ces deux méthodes peuvent
s’avérer utiles notamment quand on cherche à analyser un comportement local dans un circuit
sans avoir à passer par le problème général du circuit (méthode des courants de branches ou de
mailles). Nous pouvons avec Thévenin savoir ce qu’il se passera au niveau d’une « charge » que
l’on connecterait aux bornes à partir desquelles on a mesuré les caractéristiques équivalentes du
circuit. Le même travail peut porter par exemple sur la méthode de Norton, méthode de
simplification de circuit mais qui se base sur des générateurs de courant et non de tension (par
exemple, une résistance équivalente de Norton sera déduite en ne créant pas des courts-circuits
mais des circuits ouverts.
ANNEXES :
Annexe 1 :
Mesures
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4
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E1
E
i1
i2
i3
i4
i5
i6
*
*
*
*
E2
E3
E4
E5
E6
12,080
-13,430
6,750
-3,920
-2,760
-9,510
-6,680
12,080
6,750
-14,650
-0,800
-7,100
7,550
-7,900
12,080
-3,940
-1,040
-8,920
3,940
4,980
-4,980
12,080
-2,800
-6,740
3,950
-13,490
-6,750
-9,540
12,080
-9,550
7,810
5,020
-6,760
-14,570
-1,740
12,080
-6,600
-7,920
-5,080
-9,440
-1,520
-14,520
-1,112
0,559
-0,325
-0,228
-0,787
-0,553
0,559
-1,213
-0,066
-0,588
0,625
-0,654
-0,326
-0,086
-0,738
0,326
0,412
-0,412
-0,232
-0,558
0,327
-1,117
-0,559
-0,790
-0,791
0,647
0,416
-0,560
-1,206
-0,144
-0,546
-0,656
-0,421
-0,781
-0,126
-1,202
Annexe 2 :
Test
fém
E1
E2
E3
E4
E5
E6
i calculés
i mesurés
-20,198
-19,92
-1,077
-1,22
12,11
-8,886
-8,92
12,16
-12,390
-12,22
-11,312
-11
-21,276
-21,14
12,08
Annexe 4 :
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PS22
Automne 2005
JESTIN Yann
HUGIN Marie-Charlotte
20/10/05
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