OSCILLATIONS LIBRES DE

« Introduction à l’électronique
et à l’électrotechnique »
Module GLPH 614
Responsable : Yves LACHAUD
Université MONTPELLIER II
Licence de Physique-Chimie
L3 – S6 - Année 2012-2013
CIRCUIT RLC PARALLELE
EN REGIME
SINUSOIDAL PERMANENT
Durée de l’épreuve : 2h00
Dans tout le problème, les grandeurs complexes seront écrites en caractères surlignés.
Il sera tenu compte dans la correction, du respect des notations proposées dans l’énoncé, de la
clarté des explications fournies et de la correction de l’expression écrite.
Ce problème étudie l’analogie formelle qui existe entre le circuit RLC série alimenté par une
source réelle de tension sinusoïdale (vu en cours) et le circuit RLC parallèle alimenté par une
source réelle de courant sinusoïdal.
On réalise expérimentalement le montage dessiné ci-dessous :
Figure I
i) La source d’énergie de ce circuit (dipôle AB de gauche) est modélisée par
l’association parallèle d’un dipôle actif et d’un dipôle passif linéaire :
- Le dipôle actif est une source idéale qui délivre un courant électromoteur sinusoïdal
d’amplitude maximale C et de pulsation  : c(t) = C cos(t).
- Le dipôle passif linéaire est un résistor idéal de résistance r.
ii) Le récepteur d’énergie (dipôle AB de droite) est modélisé par l’association
parallèle de trois dipôles linéaires passifs :
- un résistor idéal de résistance R,
- un condensateur idéal de capacité C,
- une bobine idéale d’inductance L.
Les grandeurs électriques étudiées dans ce problème seront toutes calculées en régime
sinusoïdal permanent de pulsation . La pulsation  est ajustable.
…/…
I. Questions de cours
I.1. Quand dit-on d’un dipôle électrocinétique qu’il est actif ? On donnera au moins un
exemple de dipôle actif.
I.2. Dans un circuit électrique, quand dit-on d’un dipôle électrocinétique qu’il est
générateur ?
I.3. Lorsqu’il est connecté dans un circuit électrique, un dipôle actif peut-il être
récepteur ? Si oui, donner un exemple.
I.4. Un dipôle passif lorsqu’il est connecté dans un circuit électrique, peut-t-il être
générateur ? Si oui, donner un exemple.
On considère un signal f(t) quelconque mais périodique dans le temps (période T) :
I.5. Donner l’expression mathématique de la valeur moyenne F du signal f(t) ?
I.6. Donner l’expression mathématique de la valeur efficace FEFF du signal f(t) ?
I.7. Application : Calculer les valeurs moyenne C et efficace CEFF du courant
électromoteur c(t) = C cos(t) délivré par la source idéale de courant sinusoïdal précédente.
On considère le dipôle D représenté ci-contre. On mesure la tension
à ses bornes u(t) et le courant qui le traverse i(t) avec les conventions
précisées sur la figure.
I.8. Quelle est l’expression de la puissance instantanée, notée P(t), reçue par le dipôle D ?
I.9. Le dipôle D est une bobine idéale d’inductance L. Préciser la relation particulière qui
existe dans ce cas entre u(t) et i(t).
I.10. Le dipôle D est un condensateur réel de capacité C et de résistance de fuite R.
Préciser la relation particulière qui existe dans ce cas entre u(t) et i(t).
II. Etablissement de la fonction de transfert du montage
Le courant dit d’« entrée » du montage sera le courant délivré par la source d’énergie iE(t). Le
courant de « sortie » est le courant iR(t) qui traverse la résistance R (figure I).
En régime sinusoïdal permanent, on peut affirmer que les courants d’entrée iE(t) et de sortie
iR(t) sont des fonctions sinusoïdales de même pulsation  que le courant électromoteur c(t).
Pour faciliter les calculs qui vont suivre, on choisit de se placer en notation complexe.
II.1. Reproduire sur votre copie le circuit de la figure I sur lequel on fera apparaître les
grandeurs complexes c(t) , u (t) , i E (t) , i R (t) , i L (t) , i C (t) et les impédances des différents
dipôles linéaires passifs r, R, L et C.
II.2. Application de la loi des nœuds :
II.2.a. Énoncer précisément cette loi.
II.2.b. Dans le circuit de la figure I, quelle relation peut-on en déduire entre les quatre
courants i E (t) , i R (t) , i L (t) et i C (t) ?
II.3. Application de la loi des mailles :
II.3.a. Énoncer précisément cette loi.
II.3.b. En déduire les expressions en fonction de u (t) , des tensions u R (t) , u L (t) et u C (t)
mesurées en convention récepteur aux bornes de chacun des dipôles R, L et C.
…/…
II.4. Application de la loi d’ohm généralisée :
II.4.a. En appliquant la loi d’Ohm généralisée à chacun des trois dipôles R, L et C déduire de
la question II.3.b l’expression des courants i R (t) , i L (t) et i C (t) en fonction de la différence
de potentiel u (t) .
II.4.b. En utilisant le résultat de la question II.2.b trouver l’expression de i E (t) en fonction de
la différence de potentiel u (t) .
II.4.c. Quelle règle simple aurait-on pu utiliser pour obtenir directement ce dernier résultat ?
II.5. Fonction de transfert :
Par définition, la fonction de transfert, notée Hω , de ce montage est le nombre complexe
défini par le rapport de la grandeur complexe de sortie i R (t) par la grandeur complexe
d’entrée i E (t) :
i (t)
Hω = R .
i E (t)
II.5.a. Montrer que cette fonction de transfert peut se mettre sous la forme suivante :
1
Hω =
.
 ω ω0 

1  iQ 

 ω0 ω 
II.5.b. On exprimera les valeurs des paramètres Q et 0 en fonction de R, L et C.
III. Étude du gain
On décompose la fonction de transfert Hω sous la forme suivante :
H () = G() exp[- i ()].
G() = Module[ Hω ], est par définition le gain en amplitude du montage : c’est le rapport
des valeurs efficaces des courants de sortie et d’entrée.
() = - Argument[ Hω ], est par définition la phase du montage : c’est le déphasage retard
du courant de sortie par rapport au courant d’entrée.
III.1. Exprimer le gain G() du montage en fonction de Q, 0 et .
III.2. Montrer que pour les valeurs de  très petites devant (Q0) ou (0/Q), le gain G()
du montage se comporte pratiquement comme :
ω
G() ≈
.
Qω 0
Par conséquent l’amplitude du courant dans la résistance R devient négligeable devant le
courant délivré par la source d’énergie.
III.3. En analysant directement le circuit étudié, pouvait-on prévoir sans calcul la limite
de G() aux faibles pulsations ? Justifier votre réponse.
III.4. Montrer que pour les valeurs de  très grandes devant (Q0) ou (0/Q), le gain
G() du montage se comporte pratiquement comme :
ω
G() ≈ 0 .
Qω
Par conséquent l’amplitude du courant dans la résistance R devient là aussi négligeable devant
le courant délivré par la source d’énergie.
III.5. En analysant directement le circuit étudié, pouvait-on prévoir sans calcul la limite
de G() aux grandes pulsations ? Justifier votre réponse.
…/…
III.6. Pour quelle valeur de la pulsation excitatrice le gain G() passe-t-il par sa valeur
maximum notée GMAX ? On précisera la valeur de GMAX atteinte.
III.7. En analysant directement le circuit étudié, pouvait-on prévoir sans calcul la valeur
de G() à la pulsation ? Justifier votre réponse.
III.8. Rappeler la définition de la bande passante d’un montage.
III.9. On note + et - les deux pulsations de coupure haute et basse du montage étudié.
III.9.a. Montrer que le produit des deux pulsations + et - est donné par : + - = ω 02 .
III.9.b. Montrer que la différence des deux pulsations + et - est donnée par : + - - =
ω0
.
Q
IV. Diagramme asymptotique de Bode
On définit le gain en décibel du montage par GdB = 20 log[G()]. On souhaite tracer le
diagramme asymptotique de Bode du gain GdB(X) où par définition X = log(/0).
On introduit par ailleurs les notations suivantes :
X+ = log(/0)
X- = log((-/0)
et
QdB = 20 log[Q].
IV.1. Déduire de la question III.2 l’équation de la droite  qui est l’asymptote à basse
pulsation de la courbe du gain GdB(X).
IV.2. Pour quelle valeur particulière de X l’asymptote  coupe-t-elle l’axe des abscisses ?
IV.3. Pour quelle valeur particulière du gain (exprimée en dB) l’asymptote  coupe-t-elle
l’axe des ordonnées ?
IV.4. Déduire de la question III.4 l’équation de la droite ' qui est l’asymptote à haute
pulsation de la courbe du gain GdB(X).
IV.5. Pour quelle valeur particulière de X l’asymptote ' coupe-telle l’axe des abscisses ?
IV.6. Pour quelle valeur particulière du gain (exprimée en dB) l’asymptote ' coupe-t-elle
l’axe des ordonnées ?
IV.7. Montrer que dans le cas général (Q quelconque) on a la relation : X+ + X- = 0. Que
peut-on en déduire sur les asymptotes  et ' ?
IV.8. Montrer que dans le cas particulier où Q<<1 on a de plus la relation :
Q
X+ ≈ - dB .
20
IV.9. Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain de ce montage pour un faible
facteur de qualité Q = 1/10 = 0,1. Pour effectuer ce tracé, on limitera l’abscisse X à
l’intervalle [-3, +3].
IV.10. Quel est la nature du filtre obtenu ?
V. Amplification en courant
On conserve le même montage, mais le courant de sortie est maintenant le courant qui circule
dans la branche du condensateur iC(t).
i (t)
V.1. Donner l’expression de la nouvelle fonction de transfert H C ω  = C .
i E (t)
V.2. Montrer que le gain GC() = Module[ H C ω  ] peut se mettre sous la forme suivante :
Qω
GC() =
G().
ω0
…/…
V.3. Déduire de la question III.2 que pour les valeurs de  très petites devant (Q0) ou
(0/Q), le gain GC() du montage se comporte pratiquement comme :
ω2
G() ≈ 2 .
ω0
V.4. En analysant directement le circuit étudié, pouvait-on prévoir sans calcul la limite de
GC() aux faibles pulsations ? Justifier votre réponse.
V.5. Déduire de la question III.4 que pour les valeurs de  très grandes devant (Q0) ou
(0/Q), le gain GC() du montage devient pratiquement égal à l’unité.
V.6. En analysant directement le circuit étudié, pouvait-on prévoir sans calcul la limite de
GC() aux grandes pulsations ? Justifier votre réponse.
V.7. Quelle est la valeur particulière prise par le gain GC() lorsque la pulsation
excitatrice devient égale à ?
V.8. Montrer que le gain en courant dans la branche de la bobine, noté GL(), devient
identique au gain en courant dans la branche du condensateur GC() pour une valeur unique
de la pulsation excitatrice que l’on déterminera.
V.9. Si les composants R, L et C sont choisis de telle sorte que le facteur de qualité Q soit
très supérieur à l’unité qu’observe-t-on dans les branches du condensateur et de la bobine
lorsque la pulsation excitatrice devient égale à 0 ?
V.10. Décrire qualitativement les échanges énergétiques qui s’opèrent entre les quatre
dipôles suivants :
- La source d’énergie réelle,
- le résistor idéal de résistance R,
- le condensateur idéal de capacité C,
- la bobine idéale d’inductance L,
lorsque la pulsation excitatrice est réglée à la valeur particulière 0.
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