mes-fiches-de

Algèbre ; Multiplication
1. Apports théoriques
a
et
b
étant deux entiers naturels, le produit de
a
par
b
est égal à la somme de
b
naturels égaux à
a
. Ou encore
aaaaba ...
avec
b
fois le terme
a
a
et
b
étant deux entiers naturels, le produit de
a
par
b
est le nombre de couples
);( yx
qui peuvent être réalisés en choisissant
x
dans un ensemble ayant
a
éléments et
y
dans un ensemble ayant
b
éléments
a) Propriétés de la multiplication
 Distributivité de la multiplication sur l’addition :
cabacba  )(
 Associativité, on peut déplacer les parenthèses sans changer le résultat :
cbacba  )()(
 Commutativité, on peut permuter les termes sans changer le résultat :
abba 
 Existence d’un élément neutre : 1 et d’un élément absorbant : 0
b) Multiples
Le nombre entier naturel
a
est multiple du nombre entier naturel
b
signifie qu’il existe un
nombre entier naturel
k
tel que
kba 
Si les entiers naturels
a
et
b
sont multiples de
c
, alors
ba 
est aussi multiple de
c
.
Si
a
est multiple de
b
et si
b
est multiple de
c
, alors
a
est multiple de
c
.
Multiples communs : PPCM, plus petit commun multiple
Ex : le PPCM de 72 et 90,
23 3272 
et
53290 2
, PPCM :
532 23 
c) Diviseurs
 Le nombre entier naturel
a
est un diviseur du nombre entier naturel
b
signifie qu’il
existe un nombre entier naturel
k
tel que
kab 
 Si l’entier naturel
c
est un diviseur des naturels
a
et
b
, alors il est aussi diviseur
de
ba
 Si
a
est diviseur de
b
et si
b
est diviseur de
c
, alors
a
est diviseur de
c
.
Diviseurs communs : pgcd, plus grand commun diviseur
Ex : pgcd de 42 et 98,
73242 
et
2
7298 
, pgcd :
72
d) Nombres premiers
 Un nombre entier naturel est dit premier s’il a exactement 2 diviseurs distincts : 1 et
lui même ;
 L’ensemble des nombres premiers est infini.
 Pour trouver les nombres premiers, on peut faire le crible d’Eratosthène.
532252321062602120 3
120 a 16 diviseurs
224 
e) Critère de divisibilité
Par 2 : Si le chiffre des unités est pair
Par 3 : Si la somme des chiffres est elle-même divisible par 3
Par 4 : si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4
Par 5 : Si le chiffre des unités est 0 ou 5
Par 9 : Si la somme des chiffres est elle-même divisible par 9
Par 10 : Si le chiffre des unités est 0

2. Apports didactiques
- La multiplication est introduite fin C2 : CE1 et se poursuit tout au long du cycle 3.
- En CE1, apprentissage des tables de 2 à 5, en CE2 toutes les tables sont vues et seront
revues chaque année.
A) Techniques opératoires
a) Apprentissage de la multiplication
 Par une addition réitérée :
242222 
pour passer à la multiplication, on passe
à un grand nombre :
152
puis à deux nombres très grands.
Problème : On ne voit pas la commutativité :
55533333 
Difficile d’introduire
31
et
30
 En s’appuyant sur le produit cartésien, 3 tee-shirt, 2 pantalons, combien de tenues
différentes ?
On peut introduire la représentation par un tableau à double entrée, deux tableaux permettent
d’avoir la commutativité. Peut introduire le 0 et 1.
b) Etapes de l’apprentissage
 Mémorisation de la table de multiplication,
 Décomposition des nombres en fonction de leur écriture en base
10 :
50077500507 
 Repérage de la valeur des chiffres en fonction de leur position dans le nb (unités,
dizaine)
 Capacité à remplacer un produit par une somme de produit : propriété de la
distributivité de la multiplication sur l’addition :
)500438()7438(507438 
 Utilisation de l’associativité de la multiplication :
100)5438(500438 
 Connaissance de la règle des zéros.
c) Objectifs
 Utiliser et mémoriser les tables de multiplication
 Travailler sur le sens et pas que sur la répétition
 Contextualiser
 Utiliser sans les nommer les différentes propriétés de la multiplication
 En CM1-CM2 utiliser la distributivité
 Travailler les tables dans les deux sens
d) Difficultés dans la technique opératoire.
 Difficultés dues aux mémorisations des tables
 Difficultés dans la gestion des retenues
 Difficultés dans le respect de l’ordre des calculs à effectuer
 Difficultés de décalage de la 2e ligne, dues à l’existence du zéro. Travail sur l’ordre de
grandeur des résultats
B) Résolution de problèmes
a) Procédures utilisés pour résoudre les problèmes de multiplication
 Support d’un dessin : lorsque les 2 nombres sont petits, sinon trop couteuse.
 Procédures de type additif : lorsque les 2 nombres sont petits, et lorsqu’un des deux est
grand.
 Procédure multiplicative
b) Variables didactiques
 Le type de problème, ceux de proportion simple sont plus facilement réalisé.
 Les types de nombre utilisés : problèmes avec les nombres décimaux.
 La taille des nombres qui rend possible les différentes procédures.

 Les outils de calcul disponible ou non.
 La manière dont l’énoncé est formulé.
c) Difficultés des élèves dans la résolution de problèmes
 Erreurs dans le choix de la procédure de résolution, peut être influencé par des termes
de l’énoncé ou par le contexte.
 Erreurs dans la gestion de la procédure choisie ou dans l’interprétation des calculs
effectués.
 Erreurs de calcul
Dans les programmes
Problèmes & procédures
Langage
Mater-
nelle
Problèmes sur les quantités :
distribution, partage
Ces problèmes sont résolus
uniquement par des
procédures personnelles.
Aucun symbolisme
n'est utilisé.
Cycle 2
Sur des nombres entiers naturels
- résolution de problèmes
- tables de multiplication par 2
et par 5, multiplication par 10
- calcul réfléchi
- utilisation de la calculatrice
Quelques problèmes
(multiplicatifs) sont résolus
par des procédures
expertes-
La plupart restent résolus
par des procédures
personnelles, mais en
utilisant si possible le
calcul (addition,
soustraction ...).
Le signe x est
utilisé.
Les mots « produit »
et « multiplication »
sont utilisés.
Cycle 3
Sur des nombres entiers naturels
- résolution de problèmes
- tables de multiplication et
autres résultats mémorisés
-technique de la multiplication
et de la division euclidienne
posée
-calcul réfléchi (résultat exact et
approché)
- utilisation de la calculatrice
- notion de multiple (en
particulier de 2 et de 5)
La plupart des problèmes
sont résolus par des
procédures expertes à la fin
du cycle 3.
L’équivalence entre calcul
du type « combien de fois
7 dans 56 ? » et « 56 divisé
par 7 » est mise en place.
Le signe : est utilisé
(pour un quotient
exact).
Les mots « quotient
», « reste », «
dividende », «
diviseur » sont
utilisés.
L’égalité
caractéristique de la
division euclidienne
est utilisée
58= (8x7) +2, avec le
reste inférieur au
diviseur.
Sur des nombres décimaux
- résolution de problèmes
- technique de la multiplication
d'un nombre décimal par un
nombre entier
- calcul réfléchi (résultat exact
et approché)
- utilisation de la calculatrice
La plupart des problèmes
sont résolus par des
procédures personnelles à
la fin du cycle 3.

Algèbre; La proportionnalité
1. Apports théoriques
Deux suites de nombre réels sont proportionnelles si on peut passer de chaque terme de la
première suite au terme correspondant de la deuxième par un même opérateur multiplicatif.
L’opérateur multiplicatif s’appelle aussi coefficient de proportionnalité.
a) Propriétés numériques des suites proportionnelles
 Propriété relative à l’ordre : Si le coefficient de proportionnalité est positif, la
proportionnalité respecte l’ordre.
 Propriété additive de linéarité : Si deux suites sont proportionnelles, l’image de la
somme de deux nombres est égale à la somme de leurs images, cad
21
(xxf 
)()() 21 xfxf 
 Propriété multiplicative de linéarité : L’image du double, triple… d’un nombre est
le double, triple… de l’image de ce nombre, cad
)()( xkfkxf
 Propriété des rapports égaux : Tous les rapports obtenus en faisant le quotient d’un
nombre de la deuxième suite par le nombre correspondant de la première sont égaux,
cad
a
x
y
x
y
x
y
n
n ....
2
2
1
1
 Propriété dite du produit en croix : A partir de l’égalité précédente, on peut en
déduire l’égalité du type
2211 yxyx 
 Propriété des écarts : Pour deux suites proportionnelles, à des écarts égaux entre les
nombres de la première suite correspondent des écarts égaux entre les nombres
correspondants de la deuxième suite.
b) Propriété graphique des suites proportionnelles
Soient les couples proportionnels
);,( 11 yx
);,( 22 yx
… Les
points correspondants à ces couples sont alignés sur une
droite qui passe par l’origine des axes.
c) Différents types de problèmes de proportionnalité
 Problèmes de recherche de quatrième proportionnelle
 Problèmes de comparaison de proportions
 Problèmes de type proportionnalité multiple
d) Augmentation
final
a
initial yx  %
L’inconnu est
a
x
a
xy  100
x
a
xy  100
100
a
xxy 
a
xxy 
100
6
10
14
20
26
4,5
7,5
10,5
15
19,5
4
4
3
3

2. Apports didactiques
A) Quels aspects de la proportionnalité prendre en compte ?
a) Trois cadres différents
 Le cadre des grandeurs : utilisation de nombre concret, cad des quantités, des
mesures. Possible de donner du sens à des manipulations sur les nombres qui
interviennent.
 Le cadre numérique : les nombres sont manipulés de manière abstraite, réf. à des
proportionnalités connues des suites proportionnelles.
 Le cadre graphique : Utilisation des représentations graphiques.
b) Situations servant de support
 Situations où la proportionnalité intervient par convention sociale
Le plus souvent des problèmes de nature économique de la vie courante. Ex : prix de la
viande proportionnel à la masse… Dans ces situations, où les élèves sont préalablement
informés (situations familières) ou bien le fait que la proportionnalité a été retenue doit être
annoncé clairement dans l’énoncé.
 Situations où la proportionnalité permet une modélisation d’un phénomène.
Ex : en physique, masse suspendue et allongement ressort, engrenages… en géométrie,
longueur et diamètre du cercle, côté et diagonale du carré…
Dans ces situations, c’est l’expérimentation ou le recours à un théorème qui permet de mettre
en évidence les relations entre grandeurs.
 Situations où la proportionnalité intervient comme outil pour définir de nouveaux
concepts.
La proportionnalité est utilisée pour produire de nouvelles notions : échelles, pourcentage.
Notion construite en faisant l’hypothèse de proportionnalité.
c) Typologie des problèmes posés
 Problèmes de quatrième proportionnelle (recherche d’un nb manquant)
 Problèmes de comparaison de deux mélanges compare :
-une partie par rapport au tout
-une partie par rapport à l’autre partie
 Problèmes de double proportionnelle : cas d’une variable proportionnelle à deux
autres variables qui peuvent être modifiées de manière indépendante.
 Reconnaître si une situation relève de la proportionnalité ou pas
 Donner des problèmes qui apparaissent dans un cadre géométrique
B) Les procédures de résolution à l’école primaire
 Utilisation des proportionnelles additives et multiplicatives de la linéarité
 Mise en évidence et utilisation du coefficient de proportionnalité
 Représentation graphique
C) Les principales variables didactiques
 Les nombres (relation simple, compliquée)
 Les relations entre les nombres donnés :
- Coefficient de proportionnalité, choisi ou non, identification simple ou non
- Rapports de linéarité (rapports entre nombres relevant d’une même grandeur)
 Le nombre de couples donnés
 Le type de situation, qui permet ou non une validation par le milieu, familiarité des
élèves.
D) Les difficultés rencontrées par les élèves
 Identifier les grandeurs en relation dans la situation proposée (doit être fait pas les
élèves donc pas de tableau)
 Reconnaître si la situation relève du modèle proportionnel ou non.