baccalauréat général

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2005
MATHÉM TIQUES
- SÉRIE S -
DURÉE DE L’ÉPREUVE : 4 heures –
Matériel autorisé :
Calculatrice graphique programmable
L’usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Les candidats doivent traiter les deux exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l’appréciation des copies.
- Ce sujet comporte 4 pages -
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Exercice 1. (Pour tous les candidats)
Un même individu peut-être atteint de surdité unilatérale (portant sur une seule oreille) ou bilatérale(portant
sur les deux oreilles).
On admet que, dons une population donnée, les deux événements :
D : "être atteint de la surdité à l'oreille droite."
E : "être atteint de la surdité à l'oreille gauche."
sont indépendants et tous deux de probabilité 0,05, ce que l'on note p(D) = p(E) = 0,05.
On considère les événements suivants :
B : "être atteint de surdité bilatérale."
U : "être atteint de surdité unilatérale."
S : "être atteint de surdité (sur une oreille au moins)."
NB : On donnera les valeurs numériques des probabilités sous forme décimale approchée à 10– 4 près.
1.
2.
Exprimer les événements B et S à l'aide de G et de D, puis calculer les probabilités p(B) et p(S).
Sachant qu'un sujet pris au hasard dans la population considérée est atteint de surdité, quelle est la
probabilité :
a. pour qu'il soit atteint de surdité à droite ?
b. pour qu'il soit atteint de surdité bilatérale ?
c. S étant réalisé, les deux événements sont indépendants ?
3.
On considère un échantillon de 10 personnes prises au hasard dans la population considérée, qui
est suffisamment grande pour que des choix puissent être assimilés à des choix successifs
indépendants :
a. Quelle est la probabilité pour qu'il y ait exactement k personnes atteintes de surdité dans
l'échantillon ?
b. Calculer la probabilité pour qu'il n'y ait aucun sujet atteint de surdité dans l'échantillon.
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Exercice 2. (Enseignement obligatoire seulement)
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O; u ; v ) .
3  3i
.
2
Soit f l'application du plan (P) privé de A, dans (P) qui, à tout point M d'affixe z distincte de a, associe le
z2
point M' d'affixe z' définie par : z ' 
.
z  1  3i
On appelle A, B et C les points d'affixes respectives a = – 1 + 3i ; b = – 2 et c  
1. On considère l'équation (E) : z² – 3iz – 2 = 0
a. Montrer que (E) équivaut à (z – i)(z – 2i) = 0.
b. En déduire les solutions de (E).
2. Déterminer les affixes des points invariants par f.
3. Déterminer l'ensemble des points M, tels que M' appartienne au cercle de centre O rayon 1.
4. Montrer que, pour tout z différent de a, on a l'équivalence suivante :
z2
z 2
5

 ( z  c)( z  c) 
z  1  3i
z  1  3i
2
En déduire l'ensemble des points M tels que M' ait une affixe imaginaire pure.
5.
a. En posant z = x + iy, déterminer Im(z') en fonction de x et de y.
b. En déduire l'ensemble des points M, tels que M' appartienne à l'axe des abscisses.
Exercice 2. (Enseignement de Spécialité seulement)
 
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O; u ; v ) .
L'unité graphique est 4 cm. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives

i
3
3
3  i 6
i et d 
e .
a=1; be 3 ; c 
2 2
2
1.
a. Donner la forme exponentielle de c et la forme algébrique de d.
b. Représenter les points A, B, C et D.
c. Montrer que le quadrilatère OACB est un losange
2.
3.
4.
5.
6.
Montrer que les points D, A et C sont alignés.
Déterminer l'angle θ et le rapport k de la similitude directe s de centre O qui transforme A en C.
On note F et G les images par la similitude directe s des points D et C respectivement.
Montrer que les points F, C et G sont alignés.
Déterminer l'affixe f du point F.
On considère la transformation φ qui à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle
2
i
3
3
que z '  e 3 z   i
2
2
Pour toute droite (δ) du plan, on notera σδ la symétrie orthogonale d'axe (δ).
a. Soit r la transformation qui à tout point M1 d'affixe z1 associe le point M'1 d'affixe z'1 telle que
2
i
3
3
z '1  e 3 z1   i
2
2
Déterminer la nature de r et donner ses éléments caractéristiques.


b. En utilisant les nombres complexes, donner une mesure de l'angle ( AO; AB) , puis déterminer
la droite (Δ) telle que r = σΔ o σ(AO).
c. Montrer que φ = r o σ(AO). En déduire la nature de φ.
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Exercice 3. (Pour tous les candidats)
(toutes les questions sont indépendantes)
1.
2.
3.
Résoudre dans IR l'équation : e2x + ex – 2 = 0
Démontrer que la fonction f : x
f ( x)  ln(1  e x ) est telle que f(x) = x + f(–x) et en déduire que
la courbe représentative de f admet une asymptote que l'on déterminera.
eh  1
a. Justifier le résultat du cours : lim
1
h 0
h
 1x 
b. En déduire lim x  e  1
x 


Exercice 4. (Pour tous les candidats)
Un parachutiste tombe à la vitesse de 55 m/s-1 au moment où son parachute s'ouvre.
On fixe l'origine du temps (t = 0 en secondes) à ce moment là.
Pour tout t appartenant à IR+, on note v(t) la vitesse en m/s-1 et z(t) la distance en mètres à l'instant t.
 v ²(t ) 
On admet que v est solution de l'équation différentielle (E), v '(t )  g 1 
 , mais on ne sait pas résoudre
25 

une telle équation car elle n'est pas du premier degré.
1
On suppose que la distance parcourue à l'instant t est : z (t ) 
v(t)  5
On se propose de trouver une équation différentielle vérifiée par z et de la résoudre pour déterminer la vitesse
maximale atteinte par le parachutiste lors de sa chute.
1.
Questions de cours :
a. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' – my = 0.
b. Déterminer une fonction constante α solution de l'équation y' – my = b
c. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' – my = b.
2.
a.
b.
c.
d.
3.
Calculer v(0) puis z(0)
4.
Résoudre l'équation différentielle z ' 
5.
Exprimer v(t) en fonction de z(t).
Exprimer v²(t) en fonction de z(t).
Exprimer v'(t) en fonction de z(t) et de z'(t).
Remplacer les valeurs ainsi trouvées dans l'équation (E) et donner une équation différentielle
d'inconnue z équivalente à (E).
g
10 z  1
25
Exprimer alors v(t) en fonction de t et calculer sa limite quand t tend vers +.
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