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9ST
Mathématiques – cours renforcé
1
EXERCICE 01
Dans cet exercice, n est un nombre naturel. Vrai ou faux ? Expliquer si c’est faux !
a) Zéro est un nombre pair.
b) Le successeur d’un nombre pair est impair.
c) Tout nombre pair peut s’écrire sous la forme 2n.
d) Tout nombre pair peut s’écrire sous la forme 4n.
e) Tout nombre impair peut s’écrire sous la forme 2n + 1.
f) Le successeur de 4n est 4n + 1.
g) Le prédécesseur de n + 1 est n – 1.
h) n + 4 est un nombre pair.
i) 2n + 3 est un nombre impair.
j) 3n + 3 est un multiple de 3.
k) 10n + 3 se termine par 3.
l) 1000n + 56 est un multiple de 8.
m) n2 + 1 est un nombre impair.
n) 2n – 1, 2n et 2n + 1 sont trois nombres consécutifs.
o) 2n(2n + 2) est un multiple de 8.

EXERCICE 02
Exprimer les nombres suivants en utilisant n pour représenter un nombre entier naturel :
a) un nombre pair
b) un nombre impair
c) deux nombres consécutifs
d) trois nombres consécutifs
e) deux nombres impairs consécutifs
f) un nombe qui se termine par 3
g) un nombre qui se termine par 23
h) un multiple de 3
i) un multiple de 5
j) un nombre carré
k) un nombre carré pair
l) un nombre carré impair
m) un nombre qui laisse un reste de 4 lorsqu’on le divise par 5
n) un nombre qui laisse un reste de 7 lorsqu’on le divise par 9
o) trois multiples de 17 consécutifs

EXERCICE 03
1° Calculer :

a) S2 = 1 + 2
b) S3 = 1 + 2 + 3
c) S4 = 1 + 2 + 3 + 4
d) S5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
e) S6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
f) S7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
g) S8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
h) S9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
2° Diviser chacune des sommes de 1° par le dernier terme de la somme. Que remarque-t-on ?
3° Donner sans calculer la somme le résultat de
4° Démontrer la formule trouvée en 3°c).
a) S100 = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100
b) S1000 = 1 + 2 + 3 + … + 999 + 1000
c) Sn = 1 + 2 + 3 + … + n , n est un entier naturel > 3
EXERCICE 04
1° a) Calculer plusieurs fois la somme de trois nombres entiers consécutifs.
b) De quel nombre toutes ces sommes sont-elles des multiples ?
c) Démontrer ce résultat.
2° Démontrer que la somme de cinq nombres entiers consécutifs est un multiple de 5 ?
3° Est-ce que la somme de quatre nombres entiers consécutifs est un multiple de 4 ?
4° Est-ce que le somme de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4 ?

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2
RAPPEL
(multiple, diviseur)
a et b sont des nombres et n est un nombre entier.
Les propositions suivantes sont équivalentes (c.-à-d. les phrases suivantes veulent dire la même chose) :
 a = n·b
 a est un multiple de b.
 b est un diviseur de a.
 a est divisible par b.
EXERCICE 05
1°a) Quand est-ce qu’un nombre est divisible par 3 ?
b) Démontrer cette propriété pour tous les nombres à 5 chiffres.
2° a) Quand est-ce qu’un nombre est divisible par 4 ?
b) Démontrer cette propriété.

EXERCICE 06
Dans tout l’exercices, n est un nombre entier plus grand que 2.
1° Voici les figures 3, 4 et 5 d’une suite de figures :
a) On note bn le nombre de carrés blancs dans la figure n.
Ainsi p.ex. b3 = 4 car il y a 4 carrés blancs dans la figure 3.
Trouver b4, b5, b6, b10 et bn.
b) On note fn le nombre de carrés foncés dans la figure n.
Ainsi p.ex. f3 = 5 car il y a 5 carrés foncés dans la figure 3.
Trouver f4, f5, f6, f10 et fn.
c) Calculer bn + fn.

fig. 3
fig. 4
fig. 5
2° Voici maintenant les figures 6 de six autres suites. Pour chaque suite :
a) Trouver bn et fn.
b) Calculer bn + fn.
EXERCICE 07
Démontrer les égalités suivantes :
a) (x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3
b) (x - y)(x2 + xy + y2) = x3 - y3
c) (x + y)2 – 4xy = (x – y)2
d) (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

petit tuyau :
d) (x + y)3 = (x + y)(x + y)2
ensuite développer d’abord le carré
EXERCICE 08
Compléter les égalités avec des nombres entiers positifs. Donner tous les cas possibles.
a) (x + …)(x + …) = x2 + 6x + …
d) (x + …)(x + …) = x2 + 7x + …
2
b) (x - …)(x - …) = x – 4x + …
e) (x - …)(x - …) = x2 - 8x + …
2
c) (x - …)(x + …) = x + x - …
f) (x + …)(x - …) = x2 - 2x + …

EXERCICE 09
Une seule des ces formules est fausse. Laquelle ?
n(n  1)(n  2)
a) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + … + n · (n+1) =
3
n(2n

1)(2n

1)
b) 12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2 =
3
5n3  10n  6
c) 1 · 3 + 3 · 5 + 5 · 7 + … + (2n – 1)(2n + 1) =
3
n(n  1)(n  2)(n  3)
d) 1 · 1 · 2 + 2 · 2 · 3 + 3 · 3 · 4 + … + n · n· (n + 1) =
12

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3
EXERCICE 10
Factoriser les expressions suivantes le plus possible.
1° Exercices en classe
a) 3a + 3b – 3c
e) (2x – 1)(x + 2) + (3x – 4)(2x – 1)
b) 3x2y + 5xy
f) (x + 3)2 + (x + 2)(x + 3)
c) 3(x + 1) + 5(x + 1)
g) (2x + 5)(x – 4) – (3x + 1)(x – 4)
d) x(x – 2) + 3(x – 2)
h) 4(3x - 4) + x(4 – 3x)
i) x2 - 9
j) a2 + 2ab + b2
k) x2 + 4x + 4
l) 4x2 - 12x + 9
2°Exercices d’entraînement pour s’auto-corriger
a) 4a – 8b + 16c
f) x2(3x – 1) – 2(3x – 1)
3
2
b) 12x + 48x + 36x
g) (2x - 7)2 + 2(2x - 7)
3 2
2 2
c) 4x y + 8x y – 2xy
h) (-x – 1)(2x + 2) + (3x – 5)(-x -1)
d) x30 + x20 + x10
i) (3x + 2)(5x + 3) – (5x + 3)(6x - 3)
e) 5(2x + 3) + 8(2x + 3)
j) (1 - 4x)(2x – 9) + (4x – 1)(3x + 7)
k) (3x + 1)(2x – 5) – (5 – 2x)(7x – 2)
l) 4x2 - 25
m) 49 – 36x2
n) 9x2 + 6x + 1
o) x2 + 12x + 36
3° Exercices d’entraînement mélangés pour s’auto-corriger
a) x2 + 10x + 25
h) 4x4 + 3x3 + 2x2
2
b) 5x + 10x + 25
i) x2 – 14x + 49
3
2
c) x + 15x + 25x
j) 2(2x + 1)(x – 7) + (x – 7)(3x + 1)
d) 4(x + 5) + 6(x + 5) – 15(x + 5) k) (3x + 4)2 - (2x + 5)(3x + 4)
e) (2x + 3)2 – (5x – 7)(2x + 3)
l) 39x + 52y – 13xy
f) 49x4 – 1
m) (3x – 1)(2x + 2) – (1 – 3x)(5x + 7)
g) (5x + 1)(2x – 3) + (2x – 3)
n) (1 – 7x)(1 – 6x) + (6x + 1)(7x – 1)
o) x4 - 16
p) 7(x + 1)(x + 3) – (7x + 7)(2x + 5)
q) 10x10 + 20x20
r) (3x + 7)(-x – 4) + (x + 4)(3x – 7)
s) (5x + 1)2 + (6x – 1)(5x + 1)
t) (4x – 3)(2x + 4) + (3 – 4x)2
u) (8x + 8)(4x + 1) + (4x – 1)(7x + 7)

corrigé
2°a) 4(a – 2b + 4c)
b) 12x(x2 + 4x + 3)
c) 2xy(2x2y + 4xy – 1)
d) x10(x20 + x10 + 1)
e) 13(2x + 3)
f) (3x – 1)(x2 – 2)
g) (2x – 7)(2x – 5)
h) (-x - 1)(5x – 3)
i) (5x + 3)(-3x + 5)
j) (1 – 4x)(-x – 16)
k) (2x – 5)(4x + 3)
l) (2x – 5)(2x + 5)
m) (7 – 6x)(7 + 6x)
n) (3x + 1)2
o) (x + 6)2
3°a) (x + 5)2
b) 5(x2 + 2x + 5)
c) x(x2 + 15x + 25)
d) -5(x + 5)
e) (2x + 3)(-3x + 10)
f) (7x2 – 1)(7x2 + 1)
g) (2x – 3)(5x + 2)
h) x2(4x2 + 3x + 2)
i) (x – 7)2
j) (x – 7)(7x + 3)
k) (3x + 4)(x – 1)
l) 13(3x + 4y –xy)
m) (3x – 1)(7x + 9)
n) (1 – 7x)(-12x)
o) (x - 2)(x + 2)(x2 + 4)
p) 7(x + 1)(-x – 2)
q) 10x10(1 + 2x10)
r) 14(-x – 4)
s) (5x + 1)(11x)
t) (4x – 3)(6x + 7)
u) (x + 1)(60x + 1)
EXERCICE 11

Développer, puis réduire les expressions suivantes. Ordonner le résultat selon les puissances décroissantes (donc
d’abord les termes en x4, puis les termes en x3, en x2, en x et finalement les termes constants).
a) x(2x – 3) + 5x(7x - 1)
l) (-1 – x)(2x + 5)(-4x - 1)
b) (3x - 1)2 + (2x + 1)(2x – 1)
m) x(7x – 3) – [3x(5 – x) – (3 + x)4]
c) (-x – 7)(3x + 2) + (1 – 2x)(3x + 4)
n) (5x + 4)(5x – 4) – (3x + 1)(x – 3)
d) (x + 2)(x2 – 4x + 5)
o) (2x + 1)(3x2 + 4x – 7)
2
2
3
e) –x (-3x + 1)-(5x – x )
p) (-x – 3)2 + (-4x + 1)2 – 17x2
f) (2x + 1)(x + 5)(x – 4)
q) -2x(x + 5) – [3x2 – (5x2 + 4x – 1)] + 8x2
g) (3x – 4)(7x + 2) – (-5x + 1)(1 + x)
r) (x2 + 3x – 1)(x2 – 7x + 5)
2
2
2
h) (x + 5) – (3x – 2) + (7x + 1)
s) (2x2 + x – 3)(-x – 4) – (x2 – 1)(3x + 2)
2
2
2
3
i) 3x + [2x (2x +1) – x(x – 1)] – 4x
t) (x2 – 3)(2x – 1)(-x - 7) + 3x4
j) –(x + 5)(x + 6)
u) (2x2 – 4x - 5)(-x2 + 3x + 6)
k) 25x2 – (3x + 1)(-2x + 4)
v) (x + 2)(x – 2)(x2 + 4)(x4 + 16) + 256
corrigé
a) 37x2 – 8x
b) 13x2 – 6x
c) -9x2 – 28x – 10
d) x3 – 2x2 – 3x + 10
e) 4x3 – 6x2
f) 2x3 + 3x2 – 39x – 20
g) 26x2 – 18x – 9
h) 41x2 + 36x + 22
i) –x3 + 5x2 + x
j) –x2 – 11x – 30
k) 31x2 – 10x – 4
l) 8x3 + 30x2 + 27x + 5
m) 10x2 – 14x + 12
n) 22x2 + 8x – 13
o) 6x3 + 11x2 – 10x - 7
p) -2x +10
q) 8x2 – 6x - 1
r) x4 – 10x3 – 17x2 + 22x - 5
s) -5x3 – 11x2 + 2x + 14
t) x4 – 13x3 + 13x2 + 39x - 21
u) -2x4 + 10x3 + 5x2 – 39x - 30
v) x8
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EXERCICE 12

Un rectangle a une aire de 29,52 cm² et un côté de 8cm de long. Calculer la longueur de ses diagonales.
EXERCICE 13
ZER est un triangle rectangle en Z dont l’aire est 2520 mm² et tel que ZE= 90mm.
Calculer le périmètre de ce triangle.

EXERCICE 14
Construire un trapèze ABCD de bases [AB] et [DC] avec les dimensions suivantes :
AB = 4,5cm ; AD = 2,8cm ; DB = 5,3cm ; DC = 6,5 cm.
Calculer AC. Justifier.

EXERCICE 15

En utilisant les données de la figure ci dessous, démontrer que les droites (MI) et (IK) sont perpendiculaires.
(Les dimensions sont données en mm ; et le dessin n’est pas tracé à l’échelle)
ML=143
LJ=39
KJ=15
IJ=8
MI=144
EXERCICE 16
Voici un cube ABCDEFGH de longueur d’arête 4 cm.
a) Calculer la longueur de la diagonale d’une face.
b) Calculer la longueur de la diagonale du cube.

Refaire le même exercices si la longueur d’arête vaut a.
EXERCICE 17
Le périmètre d’un triangle équilatéral vaut 15 cm.
Que vaut son aire ?

EXERCICE 18
Un triangle ABC rectangle en B est tel que AB = 2, BC = x et AC = x + 1.
Déterminer x.

EXERCICE 19

Si on double les dimensions des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle, double-t-on son hypoténuse ?
Son périmètre ? Son aire ?
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5
EXERCICE 20
Résoudre les équations suivantes (voir le cours sur les équations à la page 5) :
a) x2 = 25
b) x(x + 5) = 0
c) (2x + 1)(3x – 4) = 0
d) x2 – 5 = 0
Dans quels exemples a-t-on utilisé la règle du produit nul ?
Ne pourrait-on pas utiliser cette règle dans tous les exemples ?

e) x2 + 4x = 0
MÉTHODE
(résolution d’équations d’un degré supérieur à 1)
Pour résoudre des équations du deuxième degré, on peut utiliser la règle du produit nul. Mais souvent on n’est
pas en présence d’un produit. Il faut d’abord rendre nul un des membres de l’équation transformer
l’expression dans l’autre membre en un produit, c.-à-d. factoriser.
Quelques exemples :
 factorisation par mise en évidence :
x2 + 3x = 0
 x(x + 3) = 0
 x = 0 ou x + 3 = 0
 x = 0 ou x = -3
2x – 6x2 = 0
 2x(1 – 3x) = 0
 2x = 0 ou 1 – 3x = 0
 x = 0 ou 3x = 1
(2x + 1)(x + 5) + (-3 + 4x)(x + 5) = 0
 (x + 5)[(2x + 1) + (-3 + 4x)] = 0
 (x + 5)(2x + 1 – 3 + 4x) = 0
 (x + 5)(6x – 2) = 0
1
 x = 0 ou x = 3
 x + 5 = 0 ou 6x – 2 = 0
 x = -5 ou 6x = 2
1
 x = -5 ou x = 3
 factorisation en utilisant les identités remarquables :
x2 – 49 = 0
 (x + 7)(x – 7) = 0
 x + 7 = 0 ou x – 7 = 0
 x = -7 ou x = 7
x2 + 6x + 9 = 0
 (x + 3)2 = 0
x+3=0
 x = -3
4x2 = 25
 4x2 – 25 = 0
 (2x + 5)(2x - 5) = 0
 2x + 5 = 0 ou 2x – 5 = 0
 2x = -5 ou 2x = 5
5
5
 x = - 2 ou x = 2
 factorisation en utilisant la méthode « somme – produit » :
On a : (x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab = x2 + sx + p avec s = a + b et p = ab
Il s’agit donc de trouver deux nombres a et b tout en connaissant leur somme et leur produit.
x2 + 5x + 6 = 0
 (x + 2)(x + 3) = 0
 x + 2 = 0 ou x + 3 = 0
 x = -2 ou x = -3
x2 – 2x – 24 = 0
 (x + 4)(x – 6) = 0
 x + 4 = 0 ou x – 6 = 0
 x = -4 ou x = 6
x2 – 13x = -40
 x2 - 13x + 40 = 0
 (x – 8)(x – 5) = 0
 x – 8 = 0 ou x – 5 = 0
 x = 8 ou x = 5
Attention !
Cette dernière méthode ne fonctionne que si le coefficient de x2 est 1. (Donc il ne faut pas avoir 2x2, -3x2,…)
EXERCICE 21
Résoudre les équations suivantes :
a) (2x – 3)(1 + 5x) = 0
h) x2 + 36 = 0
2
b) x + 4x + 4 = 0
i) (x + 3)(x + 4) – (x + 3)(2x – 1) = 0
c) x2 + 7x + 12 = 0
j) x2 + 49 = 14x
2
d) 9x – 36 = 0
k) (3x + 1)(3x + 2)(3x + 3) = 0
e) x2 – x – 12 = 0
l) x3 + 2x2 = 0
2
f) 4x - 12x + 9 = 0
m) x2 – 10x + 9 = 0
2
g) 2x = 162
n) x2 = 5x + 14 = 0

o) (2x + 1)2 + (3x – 4)(2x + 1) = 0
p) x3 + 2x2 + x = 0
q) (3x – 1)(x + 5) – (3x – 1)(2x – 7) = 0
r) (2x + 4)(2x + 5) = (2x + 5)(2x + 6)
s) (5x – 4)(x + 3) – (5x – 4)2 = 0
t) 3x2 + x + 12 = 2x2 – 2x + 10
u) (5x + 1)2 – (7x + 4)2 = 0
MÉTHODE
(résolution d’équations où l’inconnue figure au dénominateur)
Pour résoudre des équations où l’inconnue figure au dénominateur, il faut d’abord déterminer les conditions
d’existence des expressionsm c.-à-d. écarter les valeurs pour lesquelles un dénominateur s’annule.
 Exemples :
1
1
x  x 1  0
x 1
conditions: x  0 et x  1
x
 x(x 1)  x(x 1)  0
x 1 x
 x(x 1)  0
2x 1
2x
5x 1  3
condition: 5x + 1  0
2x
 5x 1  3  0
2x
 5x 1

3(5x 1)
5x 1  0
2x 15x  3
 0
5x 1
 x(x 1)  0

 2x  1  0
 17 x  3  0
1
 x  2
3
 x   17
1
 x  5
9ST
Mathématiques – cours renforcé
6
EXERCICE 22
Résoudre les équations suivantes. Écrire d’abord les conditions.
5
2
5
x 5
x2 1
2
a)  3  5 
d)  2 
g)
 
x  2 x x 2  2x
x
x
x
x
x4
x 5
x4
x 1
x
5
b)
e)
h)


9  0
5 
x 8
3x
x
x
x2
x  x  2
c)
3
2

x 3 x 2
Solutions:
7
17
a) ; b) ;
2
2
f)
c) 0;
2x  1 4x  1

x2
2x
d) imp.;
e) 1;
2
f) ;
9
i)
g)  1;
h)
7
;
3

j)
1
2

1
x 1 x  2
2x  1
1 0
x 3
i)
4
;
3
j)  2; 2
EXERCICE 23

a) Jean-Luc a 38 ans et son fils 7 ans. Dans combien d’années l’âge du fils sera-t-il la moitié de celui de son
père ?
b) Au bord d’une rue, on peint des emplacements de parking de 5 m de long. Si on avait peint des emplacements
de 6 m de long, on en aurait six de moins. Quelle est la longueur de rue ?
c) Une voiture consomme 9 l sur 100 km es conditions normales. A le fin de l’hiver, on constate qu’ell a parcouru
deux tiers de la distance totale sur des routes enneigées. Sur l’ensemble de la saison, la consommation a été de
9,8 l pour 100 km. Quelle est la consommation sur les routes enneigées ?
d) Une pièce de laiton de 700 kg est composée de 75% de cuivre et 25% de zinc. Quelle est la masse de zinc ?
e) Un bijou, alliage d’or (90%) et de cuivre (10%) contient 17 g de cuivre. Quelle est la masse d’or pur ?
f) Une pompe met 90 minutes pour remplir un camion-citerne. Une autre pompe n’a besoin que de 1 heure. Quel
temps leur faudrait-il ensemble pour remplir le camion-citerne ?
g) Riri partage son argent de poche qu’il reçoit chaque mois en quatre parties. Il utilise
7
50
3
20
de son argent pour
1
4
aller au cinéma,
pour diverses dépenses et pour son hobby. Avec le reste, il peut s’acheter après 15 mois
un vélo de 690 €. Combien d’argent de poche reçoit-il chaque mois ?
h) Un marchand de tomates achète 90kg de tomates à 1,10 € le kilo. Il vend 65 des tomates à 2,50 €,
à 1,30 € le kilo. Les tomates restantes sont pourries et ne peuvent être vendues.
Combien de tomates sont pourries ? Quel est le bénéfice du marchand ?
i) Un vigneron remplit des bouteilles avec le contenu d’un tonneau de vin :
2
3
3
4
1
4
7
15
du reste
du contenu dans des bouteilles à 1
litre, dans des bouteilles à
de litre. Il reste 60 litres dans le tonneau qu’il met dans des carafes à 5 litres.
Quel est le contenu du tonneau ?