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Mathématiques – cours renforcé
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EXERCICE 01     
Dans cet exercice, n est un nombre naturel. Vrai ou faux ? Expliquer si c’est faux !
a) Zéro est un nombre pair.
b) Le successeur d’un nombre pair est impair.
c) Tout nombre pair peut s’écrire sous la forme 2n.
d) Tout nombre pair peut s’écrire sous la forme 4n.
e) Tout nombre impair peut s’écrire sous la forme 2n + 1.
f) Le successeur de 4n est 4n + 1.
g) Le prédécesseur de n + 1 est n – 1.
h) n + 4 est un nombre pair.
i) 2n + 3 est un nombre impair.
j) 3n + 3 est un multiple de 3.
k) 10n + 3 se termine par 3.
l) 1000n + 56 est un multiple de 8.
m) n2 + 1 est un nombre impair.
n) 2n – 1, 2n et 2n + 1 sont trois nombres consécutifs.
o) 2n(2n + 2) est un multiple de 8.
EXERCICE 02     
Exprimer les nombres suivants en utilisant n pour représenter un nombre entier naturel :
a) un nombre pair
b) un nombre impair
c) deux nombres consécutifs
d) trois nombres consécutifs
e) deux nombres impairs consécutifs
f) un nombe qui se termine par 3
g) un nombre qui se termine par 23
h) un multiple de 3
i) un multiple de 5
j) un nombre carré
k) un nombre carré pair
l) un nombre carré impair
m) un nombre qui laisse un reste de 4 lorsqu’on le divise par 5
n) un nombre qui laisse un reste de 7 lorsqu’on le divise par 9
o) trois multiples de 17 consécutifs
EXERCICE 03     
1° Calculer : a) S2 = 1 + 2 e) S6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
b) S3 = 1 + 2 + 3 f) S7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
c) S4 = 1 + 2 + 3 + 4 g) S8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
d) S5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 h) S9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
2° Diviser chacune des sommes de 1° par le dernier terme de la somme. Que remarque-t-on ?
3° Donner sans calculer la somme le résultat de a) S100 = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100
b) S1000 = 1 + 2 + 3 + … + 999 + 1000
c) Sn = 1 + 2 + 3 + … + n , n est un entier naturel > 3
4° Démontrer la formule trouvée en 3°c).
EXERCICE 04     
1° a) Calculer plusieurs fois la somme de trois nombres entiers consécutifs.
b) De quel nombre toutes ces sommes sont-elles des multiples ?
c) Démontrer ce résultat.
2° Démontrer que la somme de cinq nombres entiers consécutifs est un multiple de 5 ?
3° Est-ce que la somme de quatre nombres entiers consécutifs est un multiple de 4 ?
4° Est-ce que le somme de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4 ?

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RAPPEL (multiple, diviseur)
a et b sont des nombres et n est un nombre entier.
Les propositions suivantes sont équivalentes (c.-à-d. les phrases suivantes veulent dire la même chose) :
 a = n·b
 a est un multiple de b.
 b est un diviseur de a.
 a est divisible par b.
EXERCICE 05     
1°a) Quand est-ce qu’un nombre est divisible par 3 ?
b) Démontrer cette propriété pour tous les nombres à 5 chiffres.
2° a) Quand est-ce qu’un nombre est divisible par 4 ?
b) Démontrer cette propriété.
EXERCICE 06     
Dans tout l’exercices, n est un nombre entier plus grand que 2.
1° Voici les figures 3, 4 et 5 d’une suite de figures :
a) On note bn le nombre de carrés blancs dans la figure n.
Ainsi p.ex. b3 = 4 car il y a 4 carrés blancs dans la figure 3.
Trouver b4, b5, b6, b10 et bn.
b) On note fn le nombre de carrés foncés dans la figure n.
Ainsi p.ex. f3 = 5 car il y a 5 carrés foncés dans la figure 3. fig. 3 fig. 4 fig. 5
Trouver f4, f5, f6, f10 et fn.
c) Calculer bn + fn.
2° Voici maintenant les figures 6 de six autres suites. Pour chaque suite :
a) Trouver bn et fn.
b) Calculer bn + fn.
EXERCICE 07     
Démontrer les égalités suivantes :
a) (x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3
b) (x - y)(x2 + xy + y2) = x3 - y3
c) (x + y)2 – 4xy = (x – y)2
d) (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
EXERCICE 08     
Compléter les égalités avec des nombres entiers positifs. Donner tous les cas possibles.
a) (x + …)(x + …) = x2 + 6x + … d) (x + …)(x + …) = x2 + 7x + …
b) (x - …)(x - …) = x2 – 4x + … e) (x - …)(x - …) = x2 - 8x + …
c) (x - …)(x + …) = x2 + x - … f) (x + …)(x - …) = x2 - 2x + …
EXERCICE 09     
Une seule des ces formules est fausse. Laquelle ?
a) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + … + n · (n+1) =
n(n 1)(n 2)
3
b) 12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2 =
n(2n 1)(2n 1)
3
c) 1 · 3 + 3 · 5 + 5 · 7 + … + (2n – 1)(2n + 1) =
3
5n 10n 6
3
d) 1 · 1 · 2 + 2 · 2 · 3 + 3 · 3 · 4 + … + n · n· (n + 1) =
n(n 1)(n 2)(n 3)
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petit tuyau :
d) (x + y)3 = (x + y)(x + y)2
ensuite développer d’abord le carré

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EXERCICE 10     
Factoriser les expressions suivantes le plus possible.
1° Exercices en classe
a) 3a + 3b – 3c e) (2x – 1)(x + 2) + (3x – 4)(2x – 1) i) x2 - 9
b) 3x2y + 5xy f) (x + 3)2 + (x + 2)(x + 3) j) a2 + 2ab + b2
c) 3(x + 1) + 5(x + 1) g) (2x + 5)(x – 4) – (3x + 1)(x – 4) k) x2 + 4x + 4
d) x(x – 2) + 3(x – 2) h) 4(3x - 4) + x(4 – 3x) l) 4x2 - 12x + 9
2°Exercices d’entraînement pour s’auto-corriger
a) 4a – 8b + 16c f) x2(3x – 1) – 2(3x – 1) k) (3x + 1)(2x – 5) – (5 – 2x)(7x – 2)
b) 12x3 + 48x2 + 36x g) (2x - 7)2 + 2(2x - 7) l) 4x2 - 25
c) 4x3y2 + 8x2y2 – 2xy h) (-x – 1)(2x + 2) + (3x – 5)(-x -1) m) 49 – 36x2
d) x30 + x20 + x10 i) (3x + 2)(5x + 3) – (5x + 3)(6x - 3) n) 9x2 + 6x + 1
e) 5(2x + 3) + 8(2x + 3) j) (1 - 4x)(2x – 9) + (4x – 1)(3x + 7) o) x2 + 12x + 36
3° Exercices d’entraînement mélangés pour s’auto-corriger
a) x2 + 10x + 25 h) 4x4 + 3x3 + 2x2 o) x4 - 16
b) 5x2 + 10x + 25 i) x2 – 14x + 49 p) 7(x + 1)(x + 3) – (7x + 7)(2x + 5)
c) x3 + 15x2 + 25x j) 2(2x + 1)(x – 7) + (x – 7)(3x + 1) q) 10x10 + 20x20
d) 4(x + 5) + 6(x + 5) – 15(x + 5) k) (3x + 4)2 - (2x + 5)(3x + 4) r) (3x + 7)(-x – 4) + (x + 4)(3x – 7)
e) (2x + 3)2 – (5x – 7)(2x + 3) l) 39x + 52y – 13xy s) (5x + 1)2 + (6x – 1)(5x + 1)
f) 49x4 – 1 m) (3x – 1)(2x + 2) – (1 – 3x)(5x + 7) t) (4x – 3)(2x + 4) + (3 – 4x)2
g) (5x + 1)(2x – 3) + (2x – 3) n) (1 – 7x)(1 – 6x) + (6x + 1)(7x – 1) u) (8x + 8)(4x + 1) + (4x – 1)(7x + 7)
corrigé
2°a) 4(a – 2b + 4c) f) (3x – 1)(x2 – 2) k) (2x – 5)(4x + 3)
b) 12x(x2 + 4x + 3) g) (2x – 7)(2x – 5) l) (2x – 5)(2x + 5)
c) 2xy(2x2y + 4xy – 1) h) (-x - 1)(5x – 3) m) (7 – 6x)(7 + 6x)
d) x10(x20 + x10 + 1) i) (5x + 3)(-3x + 5) n) (3x + 1)2
e) 13(2x + 3) j) (1 – 4x)(-x – 16) o) (x + 6)2
3°a) (x + 5)2 h) x2(4x2 + 3x + 2) o) (x - 2)(x + 2)(x2 + 4)
b) 5(x2 + 2x + 5) i) (x – 7)2 p) 7(x + 1)(-x – 2)
c) x(x2 + 15x + 25) j) (x – 7)(7x + 3) q) 10x10(1 + 2x10)
d) -5(x + 5) k) (3x + 4)(x – 1) r) 14(-x – 4)
e) (2x + 3)(-3x + 10) l) 13(3x + 4y –xy) s) (5x + 1)(11x)
f) (7x2 – 1)(7x2 + 1) m) (3x – 1)(7x + 9) t) (4x – 3)(6x + 7)
g) (2x – 3)(5x + 2) n) (1 – 7x)(-12x) u) (x + 1)(60x + 1)
EXERCICE 11     
Développer, puis réduire les expressions suivantes. Ordonner le résultat selon les puissances décroissantes (donc
d’abord les termes en x4, puis les termes en x3, en x2, en x et finalement les termes constants).
a) x(2x – 3) + 5x(7x - 1) l) (-1 – x)(2x + 5)(-4x - 1)
b) (3x - 1)2 + (2x + 1)(2x – 1) m) x(7x – 3) – [3x(5 – x) – (3 + x)4]
c) (-x – 7)(3x + 2) + (1 – 2x)(3x + 4) n) (5x + 4)(5x – 4) – (3x + 1)(x – 3)
d) (x + 2)(x2 – 4x + 5) o) (2x + 1)(3x2 + 4x – 7)
e) –x2(-3x + 1)-(5x2 – x3) p) (-x – 3)2 + (-4x + 1)2 – 17x2
f) (2x + 1)(x + 5)(x – 4) q) -2x(x + 5) – [3x2 – (5x2 + 4x – 1)] + 8x2
g) (3x – 4)(7x + 2) – (-5x + 1)(1 + x) r) (x2 + 3x – 1)(x2 – 7x + 5)
h) (x + 5)2 – (3x – 2)2 + (7x + 1)2 s) (2x2 + x – 3)(-x – 4) – (x2 – 1)(3x + 2)
i) 3x2 + [2x2(2x +1) – x(x2 – 1)] – 4x3 t) (x2 – 3)(2x – 1)(-x - 7) + 3x4
j) –(x + 5)(x + 6) u) (2x2 – 4x - 5)(-x2 + 3x + 6)
k) 25x2 – (3x + 1)(-2x + 4) v) (x + 2)(x – 2)(x2 + 4)(x4 + 16) + 256
corrigé
a) 37x2 – 8x h) 41x2 + 36x + 22 o) 6x3 + 11x2 – 10x - 7
b) 13x2 – 6x i) –x3 + 5x2 + x p) -2x +10
c) -9x2 – 28x – 10 j) –x2 – 11x – 30 q) 8x2 – 6x - 1
d) x3 – 2x2 – 3x + 10 k) 31x2 – 10x – 4 r) x4 – 10x3 – 17x2 + 22x - 5
e) 4x3 – 6x2 l) 8x3 + 30x2 + 27x + 5 s) -5x3 – 11x2 + 2x + 14
f) 2x3 + 3x2 – 39x – 20 m) 10x2 – 14x + 12 t) x4 – 13x3 + 13x2 + 39x - 21
g) 26x2 – 18x – 9 n) 22x2 + 8x – 13 u) -2x4 + 10x3 + 5x2 – 39x - 30
v) x8

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EXERCICE 12     
Un rectangle a une aire de 29,52 cm² et un côté de 8cm de long. Calculer la longueur de ses diagonales.
EXERCICE 13     
ZER est un triangle rectangle en Z dont l’aire est 2520 mm² et tel que ZE= 90mm.
Calculer le périmètre de ce triangle.
EXERCICE 14     
Construire un trapèze ABCD de bases [AB] et [DC] avec les dimensions suivantes :
AB = 4,5cm ; AD = 2,8cm ; DB = 5,3cm ; DC = 6,5 cm.
Calculer AC. Justifier.
EXERCICE 15     
En utilisant les données de la figure ci dessous, démontrer que les droites (MI) et (IK) sont perpendiculaires.
(Les dimensions sont données en mm ; et le dessin n’est pas tracé à l’échelle)
EXERCICE 16     
Voici un cube ABCDEFGH de longueur d’arête 4 cm.
a) Calculer la longueur de la diagonale d’une face.
b) Calculer la longueur de la diagonale du cube.
Refaire le même exercices si la longueur d’arête vaut a.
EXERCICE 17     
Le périmètre d’un triangle équilatéral vaut 15 cm.
Que vaut son aire ?
EXERCICE 18     
Un triangle ABC rectangle en B est tel que AB = 2, BC = x et AC = x + 1.
Déterminer x.
EXERCICE 19     
Si on double les dimensions des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle, double-t-on son hypoténuse ?
Son périmètre ? Son aire ?
ML=143
LJ=39
KJ=15
IJ=8
MI=144

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EXERCICE 20     
Résoudre les équations suivantes (voir le cours sur les équations à la page 5) :
a) x2 = 25 b) x(x + 5) = 0 c) (2x + 1)(3x – 4) = 0 d) x2 – 5 = 0 e) x2 + 4x = 0
Dans quels exemples a-t-on utilisé la règle du produit nul ?
Ne pourrait-on pas utiliser cette règle dans tous les exemples ?
MÉTHODE (résolution d’équations d’un degré supérieur à 1)
Pour résoudre des équations du deuxième degré, on peut utiliser la règle du produit nul. Mais souvent on n’est
pas en présence d’un produit. Il faut d’abord rendre nul un des membres de l’équation transformer
l’expression dans l’autre membre en un produit, c.-à-d. factoriser.
Quelques exemples :
 factorisation par mise en évidence :
x2 + 3x = 0 2x – 6x2 = 0 (2x + 1)(x + 5) + (-3 + 4x)(x + 5) = 0
 x(x + 3) = 0  2x(1 – 3x) = 0  (x + 5)[(2x + 1) + (-3 + 4x)] = 0
 x = 0 ou x + 3 = 0  2x = 0 ou 1 – 3x = 0  (x + 5)(2x + 1 – 3 + 4x) = 0
 x = 0 ou x = -3  x = 0 ou 3x = 1  (x + 5)(6x – 2) = 0
 x = 0 ou x =
1
3
 x + 5 = 0 ou 6x – 2 = 0
 x = -5 ou 6x = 2
 x = -5 ou x =
1
3
 factorisation en utilisant les identités remarquables :
x2 – 49 = 0 x2 + 6x + 9 = 0 4x2 = 25
 (x + 7)(x – 7) = 0  (x + 3)2 = 0  4x2 – 25 = 0
 x + 7 = 0 ou x – 7 = 0  x + 3 = 0  (2x + 5)(2x - 5) = 0
 x = -7 ou x = 7  x = -3  2x + 5 = 0 ou 2x – 5 = 0
 2x = -5 ou 2x = 5
 x = -
5
2
ou x =
5
2
 factorisation en utilisant la méthode « somme – produit » :
On a : (x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab = x2 + sx + p avec s = a + b et p = ab
Il s’agit donc de trouver deux nombres a et b tout en connaissant leur somme et leur produit.
x2 + 5x + 6 = 0 x2 – 2x – 24 = 0 x2 – 13x = -40
 (x + 2)(x + 3) = 0  (x + 4)(x – 6) = 0  x2 - 13x + 40 = 0
 x + 2 = 0 ou x + 3 = 0  x + 4 = 0 ou x – 6 = 0  (x – 8)(x – 5) = 0
 x = -2 ou x = -3  x = -4 ou x = 6  x – 8 = 0 ou x – 5 = 0
 x = 8 ou x = 5
Attention !
Cette dernière méthode ne fonctionne que si le coefficient de x2 est 1. (Donc il ne faut pas avoir 2x2, -3x2,…)
EXERCICE 21     
Résoudre les équations suivantes :
a) (2x – 3)(1 + 5x) = 0 h) x2 + 36 = 0 o) (2x + 1)2 + (3x – 4)(2x + 1) = 0
b) x2 + 4x + 4 = 0 i) (x + 3)(x + 4) – (x + 3)(2x – 1) = 0 p) x3 + 2x2 + x = 0
c) x2 + 7x + 12 = 0 j) x2 + 49 = 14x q) (3x – 1)(x + 5) – (3x – 1)(2x – 7) = 0
d) 9x2 – 36 = 0 k) (3x + 1)(3x + 2)(3x + 3) = 0 r) (2x + 4)(2x + 5) = (2x + 5)(2x + 6)
e) x2 – x – 12 = 0 l) x3 + 2x2 = 0 s) (5x – 4)(x + 3) – (5x – 4)2 = 0
f) 4x2 - 12x + 9 = 0 m) x2 – 10x + 9 = 0 t) 3x2 + x + 12 = 2x2 – 2x + 10
g) 2x2 = 162 n) x2 = 5x + 14 = 0 u) (5x + 1)2 – (7x + 4)2 = 0
MÉTHODE (résolution d’équations où l’inconnue figure au dénominateur)
Pour résoudre des équations où l’inconnue figure au dénominateur, il faut d’abord déterminer les conditions
d’existence des expressionsm c.-à-d. écarter les valeurs pour lesquelles un dénominateur s’annule.
 Exemples :
11
x x 1
x 1 x
x(x 1) x(x 1)
x 1 x
x(x 1)
2x 1
x(x 1)
1
2
0 conditions: x 0 et x 1
0
0
0
2x 1 0
x
2x 1
5x 1 5
2x
5x 1
3(5x 1)
2x
5x 1 5x 1
2x 15x 3
5x 1
3
17
3 condition: 5x + 1 0 x
30
0
0
17x 3 0
x