2) Même genre de démonstration mais à partir d`une autre

Limite de sinx / x 1
Recherche de la limite lorsque x tend vers 0
de la fonction f(x) =
xxsin
Par Frank Bongongui, Samuël Lin, Ioan T’Kint et Babak Zohrevand.
Centre scolaire de Ma Campagne à Ixelles
Première approche : Recherche par essais
Un premier réflexe lorsqu’on recherche une limite peut être de remplacer x par
différentes valeurs de plus en plus proche de 0.
 Recherche de la limite à droite.
Si x = 0,1 alors
xxsin
= 0,99
x = 0,01
xxsin
= 0,9999
x = 0,001
xxsin
= 0,999999833
x = 0,0001
xxsin
= 0,999999998
x = 0,00001
xxsin
= 1
1
0 xxsin
limx
 Recherche de la limite à gauche.
Si x = -0,1 alors
xxsin
= 0,99
x = -0,01
xxsin
= 0,9999
x = -0,001
xxsin
= 0,999999833
x = -0,0001
xxsin
= 0,999999998
x = -0,00001
xxsin
= 1
1
0 xxsin
limx
 La limite recherchée est donc 1.
Nous connaissons la limite mais ceci n’est pas une démonstration !

Limite de sinx / x 2
Deuxième approche : par la règle de l’Hospital
Avant de procéder à cette recherche, il est peut-être nécessaire de vous rappeler les
conditions d’application de la règle de l’HOSPITAL:
En analyse, la règle de l’Hospital (également appelée règle de Bernoulli) utilise les
dérivées dans le but de déterminer certaines limites de quotients lorsqu’on rencontre
une indétermination.
Si f et g sont 2 fonctions numériques d’une variable réelle telles que
)x(g )x(f
lim ax
présente un cas d’indétermination du type
0
0
ou ,
 il existe un intervalle ouvert centré en a sur lequel
* f et g sont dérivables (sauf éventuellement en a)
* f
'
et g
'
ne sont ni simultanément nulles, ni simultanément infinies,
sauf éventuellement en a,
* lim
)x(g )x(f'
'
ax
existe
Alors lim
)x(g )x(f
ax
= lim
)x(g )x(f'
'
ax
Revenons au calcul de la limite recherchée :
lim
0x
xxsin
=
0
0
On lève l’indétermination en utilisant le théorème de
l’Hospital car les conditions d’application sont vérifiées.
lim
0x
xxsin
= lim
0x
1xcos
=
1
1
= 1
Attention !
Ce procédé est tentant mais scabreux puisqu’on utilise ici la dérivée de sin x, or pour
rechercher cette dérivée on a utilisé la lim
0x
xxsin
.
Cette démonstration est donc difficilement acceptable.

Limite de sinx / x 3
Troisième approche : à partir de longueurs
1)
Il est intéressant de travailler dans le cercle trigonométrique car le rayon est 1 et on y
observe 3 longueurs : sin , et tan .
Nous remarquons très vite que
 tansin
en divisant par sin 
sin tan
sinsin
sin
en simplifiant
cossin 1 1
en inversant et prenant la limite
 coslim
sin
limlim 000 1
1
 sin
lim 0
1
Le théorème du sandwich peut être appliqué. Donc, la limite de
sin
quand tend
vers 0 vaut 1.
Attention !
Nous rejetons cette démonstration car nous n’avons pas pu démontrer que
< tan .

Limite de sinx / x 4
2) Même genre de démonstration mais à partir d’une autre représentation de la
tangente
La longueur du segment
de droite [AM] représente
la tangente de puisque
tan =
AM
AM
OA
AM  1
On observe que
sin tan , ce qui
est le même point de
départ que la
démonstration précédente.
Quatrième approche : à partir d’aires
Cette démonstration s’établira dans un cercle trigonométrique.
La fonction sin / apparaît lorsque nous utilisons les aires des triangles se trouvant
sur le schéma ci-dessous.
sin
tan
O

Limite de sinx / x 5
L’aire du triangle OAD est (cos . sin )/2 ; celle du secteur OAC est /2 et enfin
l’aire du triangle OBC est (1 . tan )/2.
Nous remarquons que
l’aire du triangle OAD < l’aire du secteur OAC < l’aire du triangle OBC.
En remplaçant les aires par celles calculées ci-dessus cela donne :
(cos . sin )/2 < /2 < (tan )/2.
On multiplie par 2 et on remplace tan par sin /cos , on obtient :
cos . sin < <
cos
sin
Pour faire apparaître
sin
on divise tout par sin , ce qui nous donne :
cos <
sin
<
cos
1
.
On inverse chaque membre de l’inéquation. L’inéquation devient :
cos
1
>
sin
> cos
Prenons la limite de tous les termes de l’inéquation lorsque tend vers 0 par des
valeurs positives.
lim
 cos
1
0
lim
sin
0
lim
 cos 0
1 lim
sin
0
1
Le théorème du sandwich peut être appliqué. Donc, lim
sin
0
=1
Le même type de démonstration à partir d’un dessin symétrique à celui ci-dessus
peut être fait pour la limite à gauche.
On a donc : la limite de
sin
quand tend vers 0 vaut 1.
Cinquième approche : à partir de l’aire du disque et du périmètre du
cercle
1) En utilisant la notion d’aire
Soit un cercle de rayon 1.
Nous exprimons son aire de 2 manières :
 Aire d’un cercle de manière générale est
²r
sachant qu’ici r = 1, l’aire du cercle est .
 On découpe le cercle en une multitude de triangles
isocèles avec un angle au centre . Nous constatons
qu’il reste un triangle isocèle d’angle au centre plus
petit : .
Sachant que
0
et = 2 - n , on peut dire que
lim
 o
= 0 (théorème du sandwich)
………