I. Polarisations des milieux matériels : aspect macroscopique en régime stationnaire A. Polarisation des milieux matériels 1. Mise en évidence Etude de la polarisation d’un matériau placé dans un champ électrique extérieur. Du fait de la polarisation due au champ extérieur le matériau va lui même créer un champ, qui va s’ajouter au champ appliqué 2. Charges intérieures et charges extérieures On distingue dans la distribution spatiale de charges deux contributions: l’une est constituée des charges situées à l’extérieur de l’échantillon, soit une charge volumique ex nulle à l’intérieur du matériau l ’autre est constituée de l’ensemble des charges de l’échantillon, soit une charge volumique in nulle à l’extérieur du matériau =ex+in B. Vecteur polarisation volumique 1. Définition Prenons le cas d’un échantillon globalement neutre: V in dV 0 Cette distribution de charges est caractérisée par son moment dipolaire rin dV V Toute distribution vérifiant cette condition de neutralité est le siège d’un champ de vecteur P tel que div P in à l' inté rieur P 0 à l' exté rieur 2. Moment dipolaire électrique On montre que PdV V Le vecteur polarisation électrique n’est autre que le moment dipolaire volumique de la distribution. La charge volumique n’est défini que par une grandeur moyenne locale. Cette valeur est relative à des éléments de volume, petits devant un volume caractèristique du problème étudié et grands devant celui de la structure élémentaire du milieu. Toutes les gr ndeurs physiques reliées à cette charge volumique sont alors moyennées à la même échelle. On les qualifie de macroscopiques par opposition aux grandeurs microscopiques qui sont celles que l’on pourrait mesurer à des échelles inférieures. 3. Distinction entre les charges a) Charges étrangères et charges structurelles P est directement lié à la neutralité globale du milieu. Un corps ne peut être chargé que par l’apport de charges étrangères à sa structure. V etr dV Q ex etr div E in 0 b) Charges libres et charges liées On peut distinguer localement aussi les charges de polarisation et les charges libres La polarisation est essentiellement un phénomène globallié au caractère fini du volume du matériau défini par une surface unfranchissable aux charges. Elle ne doit pas être analysée comme un phénomène local. C. Vecteur D. Equation de Maxwell-Gauss dans un milieu 1. Définition du champ D On définit l’excitation électrique par la relation D 0 E P . div D ex L’intérêt de D est de n’être relié qu’aux charges extérieurs controlées par l’expérimentateur (il controle en fait le potentiel appliqué au matériau donc le champ extérieur). Théorème de Gauss en présence d’un milieu matériel 2. div D ex a) Forme locale b) Forme globale Intégrons la forme locale précédente dans un volume V quelconque limité par la surface S S D ndS Qex Qex est la charge extérieure au matériau et située à l’intérieur de la surface fermée S Cas d’un milieu globalement chargé Quand le milieu est globalement chargé, on a div D ex etr et D ndS Qex Qetr 3. S Qex+Qetr etant la somme des charges extérieures au matériau et des charges étrangères présentes dans l’échantillon. 4. Relation de passage pour D On rappelle que n12 E 2 E1 0 . En l’absence de charges étrangères, on a n12 D2 D1 0 En présence de charges superficielles surfaciques n12 D2 D1 etr D. Potentiel et Champ créés par un milieu polarisé 1. Potentiel électrostatique scalaire créé par un milieu polarisé L’état de polarisation d’un milieu matériel peut être décrit de façon équivalente: soit par une distribution volumique de charges de polarisation in soit par un champ de polarisation volumique r r ' 1 1 r Vm r P r ' 3 dV 4 0 V 4 0 r 3 r r' 2. Cas des milieux uniformément polarisés Première polarisé a) description d’un milieu uniformément Considérons un milieu matériel de volume V, simplement connexe, présentant une polarisation volumique uniforme; on déduit que PV . Le potentiel électrostatique créé par ce matériau a pour expression Vm 1 P Eaux avec Eaux, champ 0 électrostatique auxiliaire que créerait une distribution uniforme de charges répaties dans le même volume V avec une charge volumique . Eaux r r ' 1 0 3 dV 4 0 V r r' On en déduit le champ électrostatique créé par le milieu polarisé: 1 1 Em gradVm grad P Eaux P grad Eaux 0 0 Le potentiel et le champ électrostatiques créés par un matériau uniformément polarisé s’obtiennent à l’aide du champ électrostatique auxiliaire. Application à la sphère uniformément polarisée b) Seconde polarisé description d’un milieu uniformément l’hypothèse d’une polarisation uniforme d’un milieu matériel implique une discontinuitédu vecteur polarisation volumique à la traversée de la surface le limitant. La définition div P in à l'inté rieuret P 0 à l'exté rieur conduit à localiser les charges sur la surface avec une densité surfacique in. Ainsi un milieu uniformément polarisé peut être décrit de ddeux façons équivalentes 1. soit par un champ de vecteur de polarisation uniforme 2. soit par une distribution surfacique de charges de polarisation c) in P n Feuille plane polarisée Cette distribution de charges est analogue à celle d’un condensateur plan P E m,in eZ et E m,ex = 0 0 0 E. Milieux diélectriques linéaires 1. Définition des milieux diélectriques linéaires Pour un grand nombre de corps, la réaction du milieu à un champ électrique appliqué est caractérisée macroscopiquement par une relation linéaire entre polarisation volumique et champ électrique E dans le matériau (somme du champ appliqué et du champ E m,in produit par le matériau polarisé): P e 0 E e est appelée susceptibilité diélectrique. Dans les milieux non homogènes la susceptibilité est représenté par un tenseur dont la matrice est diagonalisable. 2. Relation entre D et E a) Permittivité diélectrique d’un matériau D 0 E P et P e 0 E On pose r 1 e et 0 r b) Conditions aux diélectriques limites à l’interface de deux E1, t E 2 , t D1, n D2 , n 1E1, n 2 E 2 , n 3. Condensateur à lame diélectrique Influence d’une lame diélectrique sur a capacité d’un condensateur S Pour un condensateur plan à air C 0 0 e a) Si on introduit un diélectrique, alors on observa que C=rC0 b) Champs dans le diélectrique d’un condensateur On observe une augmentation de charge de l’armature positive en présence de diélectrique. Par contre si l’on opère à charge extérieure constante et non plus à tension constante, l’introduction du diélectrique provoque une diminution du champ E et donc de la tension. E Ea U0 et U 1 e 1 e 4. cf Sphère diélectrique dans un champ appliqué fiche II. Etude microscopique de la polarisation en régime stationnaire On cherchera dans ce chapître à donner une interprétation microscopiquede la polarisation à partir des moments dipolaires associés aux éléments microscopiques du diélectrique A. Mécanismes microscopiques de polarisation 1. Les différents mécanismes de polarisation la polarisation électronique est liée à la modificationde la répartition des charges internes à chaque interne ou ion; elle est toujours présente quel que soit l’état du matériau considéré la polarisation atomique ou ionique: elle concerne le déplacement des atomes ou des ions par rappopt à leur position d’équilibre dans l’édifice auquel ils appartiennent la polarisation d’orientation: le moment dipolaire d’un édifice rigide, atomique ou moléculaire, s’oriente sous l’action d’un champ électrique la polarisation par déplacement macroscopique: l’application d’un champ électrique stationnaire induit des déplacements macroscopiques à l’échelle du matériau. C’est le cas de la polarisation des conducteurs ou de la jonction P-N 2. Définition de la polarisabilité Lorsque le champ électrique stationnaire El , qui agit localement sur un édifice, est suffisament faible, la relation entre le moment dipolaire induit et El est linéaire. p 0E l est la polarisabilité de l’édifice: il s’agit d’une quantité positive homogène à un volume. 3. Polarisabilité électronique a) Définition Les atomes et ions ne possèdent pas de moment dipolaire. L’action d’un champ local E l déforme la distribution de charges. On définit de ce fait un moment dipolaire induit p e 0 E l . L’approximationlinéaire est justifiée quand quand le champ local est faible devant le champ existant dans l’atome. b) polarisabilité électronique des atomes : modèle de Mosotti Ce modèle permet de relier la polarisabilité de l’atome à son volume. Z2 e 2 Z2 e 2 e 4a 3 0 K 0 me 20, e 3 Le modéle de Mosotti fournit un ordre de grandeur. La mécanique quantique permet de déterminer plus proche de e 18a 3 c) Polarisabilité électronique des ions Le modèle de Mosotti ne fournit qu’un ordre de grandeur. La polarisabilité augmente avec la taille. 4. Polarisabilité atomique ou ionique a) Définition Sous l’action d’un champ élestrique stationnaire, un atome, un ion peuvent se déplacer par rapport à l’édifice moléculaire ou cristallin. Il apparaît alors un dipôle induit d’autant plus important que la précédente a un caractère ionique marqué. Cette polarisation est absente dans les molécules à liaisons covalentes. p 0 E l e a 0 E l b) Polarisabilité atomique des molécules On distingue les molécules polaires des molécules non polaires q2 q2 q2 p q rA rB El El a K 20, i 20, i est la masse réduite de ce problème à deux corps. On notera que la polarisabilité atomique est plus faible que la polarisabilité ionique, en raison de l’inertie plus importante des ions et atomes c) La Polarisabilité ionique des solides polarisabilité totale pour soit p e e i 0 E l 5. une liaison est la somme de polarisabilité partielles, Polarisabilité d’orientation Soit p0 le moment dipolaire permanent d’une molécule polaire 2 p0 ar 3 0k BT B. Champ local et champ macroscopique Dans un milieu matériel, le champ local El qui agit sur un élément polarisable diffère généralement du champ macroscopique E. Rappelons que ce champ est la résultante du champ appliqué controlé par l’expérimentateur et du champ produit par la matière polarisée 1. Modèle de Lorentz Ce modèle est principalement dans l’étude molécule non polaire On fait l’approximatio que la présence ou non de l’élément polarisable, au point où l’on veut calculer El ne modifie pas sa valeur. Le calcul du champ El résulte des contributions de deux champs: le champ produit par les sources extérieures et la matière relativement éloignée le champ produit par les éléments proches Application: cavité sphérique de centre M et de rayon R ou l’on veut calculer le champ local (1) P P El E E l E E s et E s 3 0 3 0 P Comme E l est négligeable, on en déduit l’expression du champ local de Lorentz E L E 3 0 (2) 2. Relation entre les vecteurs polarisation et champ électrique Le vecteur polarisation volumique P est relié au moment dipolaire p par l’équation P=npdans laquelle n désigne le nombre d’éléments polarisables par unité de volume P np n 0E l Plusieurs cas se présentent alors: 1. dans les gaz très dilués: El=E n 0 P 2. dans les gaz denses et les liquides: E l E . On en déduit P E 3 0 1 n 3 3. dans les milieux denses avec moment dipolaire permanent, on utilise le modèle d’Onsager C. Polarisation des fluides 1. Gaz dilués a) Champ local E=El: on néglige le champ créé par les molécules voisines b) Formule de Langevin Debye Considérons le moment dipolaire moyen d’une molécule p e a or 0 E l avec Par ailleurs P np n 0E . Or P e 0 E 0 E r 1 0 E Comme, enfin n 2. 2 ar p0 . 3 0k BT M N A* , on en conclut r 1 * N A M Gaz denses et liquides a) Cas des molécules non polaires n 0 n P E r 1 1 n 3 1 n 3 r 1 n avec e a r 2 3 b) Cas des molécules polaires r 1 n avec e a or r 2 3 Une température TC, issu de la polarisabilité d’orientation donne une valeur très importante d’ r , ce qui est faux dans certains milieux, comme l’eau par exemple Modèle d’Onsager D. Polarisation des solides 1. Cristaux moléculaires 2. Cristaux ioniques 3. Cristaux seignetto-électriques ou ferroélectriques 4. Cristaux piézo-électriques