II. Etude microscopique de la polarisation en régime

I. Polarisations des milieux matériels : aspect macroscopique en
régime stationnaire
A. Polarisation des milieux matériels
1. Mise en évidence
Etude de la polarisation d’un matériau placé dans un champ électrique extérieur.
Du fait de la polarisation due au champ extérieur le matériau va lui même créer un champ, qui va s’ajouter au
champ appliqué
2. Charges intérieures et charges extérieures
On distingue dans la distribution spatiale de charges deux contributions:
 l’une est constituée des charges situées à l’extérieur de l’échantillon, soit une charge volumique ex nulle à
l’intérieur du matériau
 l ’autre est constituée de l’ensemble des charges de l’échantillon, soit une charge volumique in nulle à
l’extérieur du matériau
B. Vecteur polarisation volumique
1. Définition
Prenons le cas d’un échantillon globalement neutre:
in
VdV 
0
Cette distribution de charges est caractérisée par son moment dipolaire
 rdV
in
V
Toute distribution vérifiant cette condition de neutralité est le siège d’un champ de vecteur P tel que
divP
P
in
 à l'inté rieur
à l'exté rieur0
2. Moment dipolaire électrique
On montre que
 PdV
V
Le vecteur polarisation électrique n’est autre que le moment dipolaire volumique de la distribution.
La charge volumique n’est défini que par une grandeur moyenne locale. Cette valeur est relative à des éléments
de volume, petits devant un volume caractèristique du problème étudié et grands devant celui de la structure
élémentaire du milieu. Toutes les gr ndeurs physiques reliées à cette charge volumique sont alors
moyennées à la même échelle. On les qualifie de macroscopiques par opposition aux grandeurs microscopiques
qui sont celles que l’on pourrait mesurer à des échelles inférieures.
3. Distinction entre les charges
a) Charges étrangères et charges structurelles
P est directement lié à la neutralité globale du milieu. Un corps ne peut être chargé que par l’apport de charges
étrangères à sa structure.
etr
VdV Q
=ex+in

divE in ex etr
0
b) Charges libres et charges liées
On peut distinguer localement aussi les charges de polarisation et les charges libres
La polarisation est essentiellement un phénomène globallié au caractère fini du volume du matériau défini par
une surface unfranchissable aux charges. Elle ne doit pas être analysée comme un phénomène local.
C. Vecteur D. Equation de Maxwell-Gauss dans un milieu
1. Définition du champ D
On définit l’excitation électrique par la relation
D E P 0
.
divD ex
L’intérêt de D est de n’être relié qu’aux charges extérieurs controlées par l’expérimentateur (il controle en fait le
potentiel appliqué au matériau donc le champ extérieur).
2. Théorème de Gauss en présence d’un milieu matériel
a) Forme locale
divD ex
b) Forme globale
Intégrons la forme locale précédente dans un volume V quelconque limité par la surface S
D ndS Q
Sex
Qex est la charge extérieure au matériau et située à l’intérieur de la surface fermée S
3. Cas d’un milieu globalement chargé
Quand le milieu est globalement chargé, on a
divD ex etr
et
D ndS Q Q
Sex etr
Qex+Qetr etant la somme des charges extérieures au matériau et des charges étrangères présentes dans
l’échantillon.
4. Relation de passage pour D
On rappelle que
n E E
12 2 1 0  
.
En l’absence de charges étrangères, on a
n D D
12 2 1 0  
En présence de charges superficielles surfaciques
n D D etr12 2 1
D. Potentiel et Champ créés par un milieu polarisé
1. Potentiel électrostatique scalaire créé par un milieu polarisé
L’état de polarisation d’un milieu matériel peut être décrit de façon équivalente:
 soit par une distribution volumique de charges de polarisation in
 soit par un champ de polarisation volumique
V r P r r r
r r dV r
r
mV
1
41 4
0303
''
'

2. Cas des milieux uniformément polarisés
a) Première description d’un milieu uniformément
polarisé
Considérons un milieu matériel de volume V, simplement connexe, présentant une polarisation volumique
uniforme; on déduit que
  PV
.
Le potentiel électrostatique créé par ce matériau a pour expression
V P Eaux
m 
1
0
avec Eaux, champ
électrostatique auxiliaire que créerait une distribution uniforme de charges répaties dans le même volume V avec
une charge volumique .
Eaux r r
r r dV
V
1
4003  '
'
On en déduit le champ électrostatique créé par le milieu polarisé:
Em gradVm grad P Eaux P grad Eaux       
1 1
0 0
Le potentiel et le champ électrostatiques créés par un matériau uniformément polarisé s’obtiennent à l’aide du
champ électrostatique auxiliaire.
Application à la sphère uniformément polarisée
b) Seconde description d’un milieu uniformément
polarisé
l’hypothèse d’une polarisation uniforme d’un milieu matériel implique une discontinuitédu vecteur polarisation
volumique à la traversée de la surface le limitant. La définition
divP P
in
   à l'inté rieuret à l'exté rieur0
conduit à localiser les charges sur la surface avec une
densité surfacique in.
Ainsi un milieu uniformément polarisé peut être décrit de ddeux façons équivalentes
1. soit par un champ de vecteur de polarisation uniforme
2. soit par une distribution surfacique de charges de polarisation
c) Feuille plane polarisée
in P n 
Cette distribution de charges est analogue à celle d’un condensateur plan
E e P
min Z,    
0 0
et E = 0
m,ex
E. Milieux diélectriques linéaires
1. Définition des milieux diélectriques linéaires
Pour un grand nombre de corps, la réaction du milieu à un champ électrique appliqué est caractérisée
macroscopiquement par une relation linéaire entre polarisation volumique et champ électrique E dans le matériau
(somme du champ appliqué et du champ Em,in produit par le matériau polarisé):
P E
e
  0
e est appelée susceptibilité diélectrique. Dans les milieux non homogènes la susceptibilité est représenté par un
tenseur dont la matrice est diagonalisable.

2. Relation entre D et E
a) Permittivité diélectrique d’un matériau
D E P 0
et
P E
e
  0
On pose
r e r
  10 et
b) Conditions aux limites à l’interface de deux
diélectriques
E E
D D E E
t t
n n n n
1 2
1 2 1 1 2 2
, ,
, , , ,
3. Condensateur à lame diélectrique
a) Influence d’une lame diélectrique sur a capacité d’un
condensateur
Pour un condensateur plan à air
CS
e
00
Si on introduit un diélectrique, alors on observa que C=rC0
b) Champs dans le diélectrique d’un condensateur
On observe une augmentation de charge de l’armature positive en présence de diélectrique.
Par contre si l’on opère à charge extérieure constante et non plus à tension constante, l’introduction du
diélectrique provoque une diminution du champ E et donc de la tension.
EEa
e
1
et
UU
e
0
1
4. Sphère diélectrique dans un champ appliqué
cf fiche