Impédance opérationnelle

Impédance opérationnelle – Transformation de laplace
La méthode de Laplace permet de transformer la résolution d’une équation
différentielle en équation algébrique. Lorsqu’un élément de circuit ou un composant
est excité par un courant ou une tension quelconque, il entre en régime transitoire.
Sa réponse est alors facilement calculée par la transformation de Laplace.
La définition de la transformée de Laplace est moins importante que ses propriétés,
car on utilisera le plus souvent un tableau des transformées usuelles, permettant de
transformer l’équation différentielle temporelle en équation de Laplace algébrique,
que l’on résout, avant de revenir à la solution de l’équation différentielle de base.
1 – Exemple : Charge d’un condensateur initialement déchargé par un
générateur de tension
i(t)
R
EE
u(t)
C
C
Equations temporelles : Equation différentielle régie par u.
E  Ri  u
iC
E  RC
du
dt
du
u
dt
Solution particulière de l’équation: u=E, c’est la valeur de u au bout d’un temps « très
long »
t
)
Solution générale de l’équation sans second membre : u  K exp( 
RC
Conditions initiales : u(0)=0.
  R.C
t
u( t )  E(1  exp(  ))

Equations algébriques de Laplace
La tension d’excitation passe brutalement à t=0 de 0 à E. ceci est physiquement
improbable, mais on suppose le temps de montée très court.
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1
On dit que l’excitation est un échelon de tension.
A t=0-, ce qui signifie immédiatement avant t=0, u=0.
A t=0+, ce qui signifie immédiatement après t=0,u=E
On applique la transformée de Laplace à l’équation différentielle selon les règles
vues plus loin :
E
A E on associe la fonction de la variable p :
p
A la variable u on associe la transformée U(p)
A la dérivée temporelle de u, on associe sa transformée p.U(p)
E
L’équation temporelle devient : p  U(p)  RCpU(p)
E
p(1  RCp)
Le retour à u(t) donne la même solution que l’équation différentielle.
U(p) 
Soit:
1
.
Cp
On obtient alors un schéma équivalent du circuit en opérationnel, avec en majuscule,
les transformées de Laplace des variables électriques. Le traitement du circuit se
traite alors comme avec les impédances complexes en régime sinusoïdal en
remplaçant j par la variable p.
De plus on appelle impédance opérationnelle du condensateur, l’expression
I(p)
R
EE
p
E
U(p)
1
Cp
En appliquant la loi d’Ohm au circuit avec les grandeurs opérationnelles, on retrouve
l’équation algébrique de Laplace, image de l’équation différentielle.
2 – La transformée de Laplace et et ses propriétés
a - Définition
L( f ( t )  F(p) 

0  f (t) exp( pt)dt
Exemple : L’échelon de tension : A t=0, u(t) passe de la valeur E 1 à la valeur E2.
Ensuite pour un temps « très long », u= E2.
A t=0-, u(t) =E1=0
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2
u
E2
E1=0
t
t=0



1
L(u( t ))  U(p)  E 2 exp( pt )   E 2 exp( pt )
p


0



0
E2
p
b) Propriétés algébriques
L( f1  f 2)  L( f1)  L( f 2)
L(f )  L( f )
Exemple : Lois d’addition des tensions dans une branche
u( t )  u1( t )  u 2 ( t )
U(p)  U1(p)  U2 (p)
Exemple : Lois d’Ohm appliqué à une résistance pure
u( t )  Ri( t )
U(p)  R.I(p)
c) Dérivation et intégration
L( f ' ( t ))  p.L( f )  f (0  )
t 0
L(
 f (t )dt 
0
L( f )
p
Dans une inductance  , l’intensité à t=0- est I0. Exprimer la transformée de Laplace
de la tension.
u( t )  
di
dt
di
)  pI(p)  I0
dt
U(p)  pI(p)  I0
L(
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3
Dans une capacité, exprimer la transformée de Laplace du courant.
t
u

t 0 
U(p) 
i
dt
C
I(p)
Cp
d) Théorèmes de la valeur finale et de la valeur initiale
Ce théorème permet de connaître directement les limites de la fonction f en
travaillant sur la fonction F.
Théorème de la valeur finale :
lim f (t )t   limpF(p)p 0
Exemple : Condensateur précédent U(p) 
E
p(1  RCp)
u()  limp  0 pU(p)  limp  0
Ep
E
p(1  RCp)
Théorème de la valeur initiale
lim f ( t ) t 0   f (0  )  lim pF(p)p  
di 0
dt

i (0 )  I 0
u(t)  
U(p)  pI(p)  I 0
I( p ) 
U ( p )  I 0
p
i(0  )  lim p p
U ( p )  I 0
U ( p)
 lim p p
 I0
p
p
Or lim p pU(p)  U(0  )  0
U ( p)
0
p
U ( p)
lim p p
 I0  I0
p
lim p p
i (0  )  i (0  )
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4
On retrouve ainsi la non-discontinuité du courant dans une inductance.
3 – Transmittance de Laplace – Impédance opérationnelle
a) Transmittance opérationnelle
Soit un système soumis à une grandeur d’entrée u(t) et répondant à cette entrée par
y(t).
L’équation différentielle du temps entre les u et y s’écrit par exemple :
ay"by'cy  du' ' 'eu" fu'gu
Toutes les variables et leurs dérivées sont nulles à t=0.
Traduite en transformée de Laplace, cette équation s’écrit :
ap 2 Y  bpY  cY  dp 3U  ep 2U  fpU  gU
La transmittance opérationnelle du système est T(p) 
Y
ap 2  bp  c

U dp 3  ep 2  fp  g
b) Impédance opérationnelle
L’impédance opérationnelle Z(p) est la transmittance U/I d’un composant.
U(p)  Z(p)I(p)
Tableau des impédances opérationnelles. On rappelle à côté de chaque composant
l’impédance complexe.
composant
Résistance
Inductance
Capacité
Impédance
opérationnelle
R
Lp
1/Cp
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Impédance complexe
R
jL
1/jC
5
4 – Quelques transformées usuelles
Fonction temporelle
Echelon : E
Transformée de Laplace
E
p
A
Rampe : A.t
p2
K
pa
1
1  Tp
1
p(1  Tp )
1
(1  T1p)(1  T2p)
K.exp(-at)
1
t
exp(  )
T
T
t
1  exp(  )
T
1
t
t
(exp(  )  exp( 
))
T1  T2
T1
T2
5 – Exemple : Atténuateurs
I(p)
EE
p
E
R1
U(p)
1
Cp
R2
Le traitement du montage ci-dessus avec les impédances opérationnelles conduit à
R2
E
1
U (
)
R RC
p R1  R 2
1 2 1
R1  R 2
ER2
(R  R 2 )t
Soit u( t )  (
)(1  exp  ( 1
)
R1  R 2
R1R 2C
La tension u(t) suit l’évolution de l’entrée avec une constante de temps  
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R1R 2C
R1  R 2
6
6 – Exercice
On reprend le problème précédent, en ajoutant un autre condensateur en parallèle
sur R1.
1
C2p
I(p)
EE
p
E
R1
U(p)
1
C1 p
R2
a) Exprimer la sortie U(p)
b) Exprimer la réponse u(t)
c) Montrer que si R1C1  R2C2 , l’atténuateur est compensé en temps u 
ER 2
R1  R 2
Pour la correction, cliquer sur : correction
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