Exercice 1 - MATHSIUFM

Exercices sur les triangles
Exercices :
Ex 27 – 2004
Un abreuvoir est formé d’un demi-cylindre métallique posé dans un réceptacle en bois de forme
parallélépipédique.
Pour renforcer l’édifice, l’éleveur pose des cales à section triangulaire (demi carré) dans les
angles du réceptacle comme indiqué sur le schéma en coupe ci-contre :
Le diamètre extérieur de la partie métallique est de 1 m.
On veut connaître la mesure, en centimètres, du petit côté de la section de la cale.
Parmi les réponses suivantes, laquelle/lesquelles est/sont vraie(s) ?
27 (20004) A
B
C
D
(2-V2)/2*100
25V2
50/V2
100-50V2
E
impossible à
déterminer
(il manque des
données)
Voici un carré dont on connaît le centre et dont les côtés ont été partagés en cinq segments
isométriques.
Les figures grisées découpées sur la surface du carré ont un sommet commun (le centre du
carré) et une partie de leur périmètre est formée de deux des segments déterminés sur le
périmètre du carré.
Parmi les assertions suivantes, laquelle/lesquelles est/sont vraie(s).
Ex 24 - 2004
A
Les deux triangles grisés ont la même aire.
B
Les deux triangles grisés ont le même périmètre.
C
Chacune des figures grisées représente un dixième de l’aire
du carré.
D
Chacune des figures grisées a un côté de même longueur
que l’un des côtés de l’une des deux autres.
E
Les trois figures grisées ont la même aire, mais des
périmètres différents.
Réponses :
Ex 27 – 2004(AD)
O est le milieu du cylindre, OI = OE = 50.
AO² = OI² + AI²
Comme OI=AI,
AO²=2(AI²)
AO²=2x50
AO=50V2
AE = AO-EO
AE = 50V2 – 50
AE est la hauteur du triangle ADE qui est rectangle en E.
AE = 50V2-50
ED = 50V2-50
On cherche donc AD le troisième côté du triangle rectangle AED
On prend donc la formule AD²=AE²+ED²
AD² = (50V2-50)² + (50V2-50)²
AD² = 2 (50V2-50)²
AD = V2 (50V2-50)
AD = V2 x 50V2 – 50V2
AD = 50x2 – 50V2 = 100 -50V2
Donc AD = 100 – 50V2 (réponse D)
Mais, attention la réponse A est aussi exacte car :
(2-V2)/2*100 =
(2-V2)x100/2 = (2-V2) x 50 = 50(2-V2)= 100 – 50V2 !
Ex 24 – 2004(ACDE)
A : Les deux triangles grisés ont la même aire.
Ce qui signifie que DOF a la même aire que NOY.
C’est vrai car ces 2 triangles ont une base et une hauteur identique.
La hauteur est la moitié du diamètre du carré (h), la base est égale à 2 intervalles de côté.
A = vrai
B : Les deux triangles grisés ont le même périmètre
Périmètre de DOF :
DF + DO + OF
Périmètre de NOY :
DO + NY + OY
On sait que DF=NY, il faut donc vérifier si DO+FO = NO + OY
NO est DO ont la même longueur car ils sont placés tous deux à 2 intervalles d’un angles.
Par contre, FO est plus grand que YO car F est un angle et Y est à 1 intervalle.
C’est donc faux : le périmètre de DOF est plus grand.
B= faux
C : Chacune des figures grisées représente un dixième de l’aire du carré.
Pour calculer l’aire d’une figure, on se sert de sa base (nombre d’intervalles) car la hauteur (h) est
constante.
Dans le carré, il y a 20 intervalles, ce qui correspond à 10 figures de 2 intervalles.
C’est donc vrai : 10 figures = 1 carré donc 1 figure = 1/10 carré
C=Vrai
D : Chacune des figures grisées a un côté de même longueur que l’un des côtés de l’une des
deux autres
Cela signifie que
1) NOY a un côté de même longueur que DOF. C’est vrai car DF=NY
2) NOY a un côté de même longueur que KOT. C’est vrai car YO=KO=TO (intervalle espacé
de 1 d’un angle)
D=vrai
E : Les trois figures grisées ont la même aire, mais des périmètres différents.
On sait que NOY a la même aire que DOF.
L’aire de KOT se compose en 2 aires de 2 triangles : LOK et LOT.
LOK et LOT ont la même aire car ils ont la même base (un intervalle) et la même hauteur (h).
KOT a donc comme aire : 2 intervalles x hauteur (h).
C’est l’aire des autres triangles.
Les trois figures grisés ont donc la même aire.
Et, comme on l’a vu dans B, ils ont des périmètres différents.
E=vrai