Corrections - XMaths

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Exercice 01
1°) Les triangles AA
1
D
1
, BB
1
A
1
, CC
1
B
1
et DD
1
C
1
sont des triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit
ont pour longueurs respectives 1 et 3. On en déduit que leurs hypothénuses ont la même longueur, donc
A
1
B
1
= B
1
C
1
= C
1
D
1
= D
1
A
1
A
1
B
1
C
1
D
1
est donc un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur, c'est un losange.
La somme AA
1
D
1
+ D
1
A
1
B
1
+ B
1
A
1
B correspond à AA
1
B c'est-à-dire 180°.
D'autre part AA
1
D
1
+ D
1
AA
1
+ A
1
D
1
A est la somme des angles du triangle AA
1
D
1
, donc 180°.
Sachant que B
1
A
1
B et A
1
D
1
A sont égaux (car les triangles rectangles AA
1
D
1
et A
1
B
1
B ayant les
mêmes longueurs de côtés, ils sont superposables et ont les mêmes angles).
On en déduit alors que D
1
A
1
B
1
= D
1
AA
1
donc D
1
A
1
B
1
est un angle droit.
A
1
B
1
C
1
D
1
est un losange ayant un angle droit, donc A
1
B
1
C
1
D
1
est un carré .
2°) On construit les points A
2
, B
2
, C
2
et D
2
.
NB : De même que dans la question précédente, les
triangles A
1
A
2
D
2
, B
1
B
2
A
2
, C
1
C
2
B
2
et D
1
D
2
C
2
sont des
triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit ont les
mêmes longueurs. Donc il ont les des hypothénuses de
même longueur.
On en déduit que A
2
B
2
= B
2
C
2
= C
2
D
2
= D
2
A
2
A
2
B
2
C
2
D
2
est donc un quadrilatère ayant quatre côtés de
même longueur, c'est un losange.
En utilisant le même raisonnement que dans la question
précédente on peut démontrer que D
2
A
2
B
2
est un angle
droit.
Donc A
2
B
2
C
2
D
2
est un carré .
3°) On construit de la même façon les carrés A
3
B
3
C
3
D
3
, A
4
B
4
C
4
D
4
et A
5
B
5
C
5
D
5
.
4°) Le carré A
5
B
5
C
5
D
5
est contenu dans le carré A
4
B
4
C
4
D
4
, lui même contenu dans le carré A
3
B
3
C
3
D
3
, lui-
même contenu dans le carré A
2
B
2
C
2
D
2
, lui-même contenu dans le carré A
1
B
1
C
1
D
1
, lui-même contenu
dans le carré ABCD.
On a donc a
5
£ a
4
£ a
3
£ a
2
£ a
1
£ a
0
.
On sait de plus que le côté d'un carré est égal à la racine carrée de son aire.
La fonction racine carrée étant croissante sur [0 ; +∞[, on en déduit que c
5
£ c
4
£ c
3
£ c
2
£ c
1
£ c
0
.
Donc : les suites de nombres a
0
, a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
et c
0
, c
1
, c
2
, c
3
, c
4
, c
5
sont décroissantes.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A2
B2
C2
D2

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5°) On sait que c
0
= 4 , donc a
0
= 16
L'utilisation du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle A
1
BB
1
permet d'obtenir :
(A
1
B
1
)
2
= A
1
B
2
+ BB
12
= 3
2
+ 1
2
= 10 donc a
1
= 10 et c
1
= 10 ≈ 3,162
L'utilisation du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle A
2
B
1
B
2
permet d'obtenir :
(A
2
B
2
)
2
= A
2
B
12
+ B
1
B
22
= ( 10 - 1)
2
+ 1
2
= 12 - 2 10
donc a
2
= 12 - 2 10 ≈ 5,675 et c
2
= 12 - 2 10 ≈ 2,382
En réitérant les calculs on obtient finalement
a
0
= 16 ; a
1
= 10 ; a
2
= 12 - 2 10 ≈ 5,675 ; a
3
≈ 2,911 ; a
4
≈ 1,499 ; a
5
≈ 1,050
et c
0
= 4 ; c
1
= 10 ≈ 3,162 ; c
2
= 12 - 2 10 ≈ 2,382 ; c
3
≈ 1,706 ; c
4
≈ 1,224 ; c
5
≈ 1,025
L'aire A d'un carré peut s'obtenir à partir de l'aire a du carré précédent par le calcul
A = ( a - 1)
2
+ 1
On peut ainsi obtenir avec une calculatrice les aires successives des carrés.
Exemple : avec une calculatrice TI82, on pourra faire
16 STO► A ENTER (on stocke la valeur initiale de l'aire dans la mémoire A)
( A - 1)
2
+ 1 STO► A ENTER (on fait le calcul de l'aire suivante et on le stocke dans A)
Il suffit ensuite de rappuyer sur la touche ENTER pour
obtenir les valeurs approchées successives de l'aire :
Le côté C d'un carré peut s'obtenir à partir de l'aire c du carré précédent par le calcul
C = (c - 1)
2
+ 1
2
On peut ainsi obtenir avec une calculatrice les côtés successifs des carrés.
Exemple : avec une calculatrice Casio Graph 35, on pourra faire
4 ֏ C EXE (on stocke la valeur initiale du côté dans la mémoire C)
((C - 1)
2
+ 1) ֏ C EXE (on fait le calcul du côté suivant et on le stocke dans C)
Il suffit ensuite de rappuyer sur la touche EXE pour obtenir
les valeurs approchées successives du côté :
6°)
Algorithme réalisé avec le logiciel AlgoBox
Programme
s
sur calculatrice
Code Casio Code TI
?
֏
N ↵ Input N
4
֏
C ↵ 4
֏
C
While N > 0
↵
While N > 0
((C-1)
2
+1)
֏
C↵ ((C-1)
2
+1)
֏
C↵
N - 1
֏
N↵ N - 1
֏
N↵
WhileEnd↵ End
"COTE " : C Disp "COTE ",C
Si on réitère le procédé, il semble que l'on se rapproche de plus en plus d'un carré "fixe" de côté 1.