Exercice 2

Exercice 2
Le vecteur v1 + v2 est linéairement dépendant car ce vecteur est une combinaison
linéaire de v1 et v2.
Les vecteurs v1 et v2 définissent un plan (ils sont linéairement indépendants); le
vecteur v3 perpendiculaire à v1 et v2 est linéairement indépendant à v1 et v2. Par
1 
exemple le vecteur v3 = 0  est perpendiculaire à v1 et v2
 
1
Exercice 3
( x1  y1 ) 2 
;
( x 2  y 2 ) 2 
a- v  w = 
La loi  est une loi interne car v  w a deux composantes comme le vecteur v et
w.
N 
Soit N =  1  , l’élément neutre de  s’il existe.
N 2 
Par définition de l’élément neutre : v  N = v;
( x1  N1 ) 2 
;
Par définition de  , v  N = 
( x 2  N 2 ) 2 
On en déduit qu’il faut que (x1+N1)2 = x1 et (x2+N2)2 = x2, pour tout x1 et x2 . Il
n’existe pas de nombres N1 et N2 qui vérifient ces 2 équations. Donc la loi  n’a
pas d’élément neutre. L’ensemble des éléments v n’est pas un espace vectoriel
par rapport à cette loi .
x  y 
b- v  w =  1 1 
0

La loi  est une loi interne car v  w a deux composantes comme le vecteur v et
w.
N 
Soit N =  1  , l’élément neutre de  s’il existe.
N 2 
Par définition de l’élément neutre : v  N = v;
( x  N1 )
Par définition de  , v  N =  1
;
0

On en déduit qu’il faut que (x1+N1) = x1 et (x2+N2) = 0 , pour tout x1 et x2 . Il
faut que le nombre N1 soit égal à 0 et il n’existe pas de N2 qui vérifie l’équation 2.
Donc la loi  n’a pas d’élément neutre. L’ensemble n’est pas un espace
vectoriel par rapport à cette loi .
Exercice 4
Pour démontrer qu’un sous-espace V est un sous-espace vectoriel, il faut vérifier
les 3 propriétés définies dans les notes de cours
x 
4-a V ensemble des vecteurs v =  1  et x1= 3 x2
 x2 
v est un vecteur de R2;
0 
propriété 1 : l’élément neutre de R2 est   , c’est aussi un élément de V.
0 
x 
y 
z 
propriété 2 : posons v =  1  et w =  1  et u = v + w =  1  ;
 x2 
 y2 
z2 
il s’ensuit que z1=x1 + y1, z2 = x2 + y2;
comme x1= 3 x2 et y1= 3 y2 , alors
z1 = x1 + y1 = 3 x2 + 3 y2 = 3 ( x2 + y2 ) = 3 z2
donc u = v + w est un élément de V.
x 
z 
propriété 3 : posons v =  1  et u =  v =  1  ;
 x2 
z2 
il s’ensuit que z1=  x1, z2 =  x2 ;
comme x1= 3 x2, alors
z1 =  x1 = 3 x2 = 3 ( x2) = 3 z2
donc u =  v est un élément de V.
Il s’ensuit que V est un espace vectoriel.
x 
4-b V ensemble des vecteurs v =  1  et x1= 1+ 2 x2
 x2 
v est un vecteur de R2;
0 
propriété 1 : l’élément neutre de R2 est   , ce n’est pas un élément de V.
0 
Il s’ensuit que V n’est pas un espace vectoriel.
x 
4-c V ensemble des vecteurs v =  1  et x12+ x22 = 1
 x2 
v est un vecteur de R2;
0 
propriété 1 : l’élément neutre de R2 est   , ce n’est pas un élément de V.
0 
Il s’ensuit que V n’est pas un espace vectoriel.
 x1 
a- 4-d V ensemble des vecteurs v avec v =  x 2  et x1 + x2 + x3 = 1
 x 3 
v est un vecteur de R3;
0 
3
propriété 1 : l’élément neutre de R est 0  , ce n’est pas un élément de V.
 
0 
Il s’ensuit que V n’est pas un espace vectoriel.
Exercice 5
U V sous-espace vectoriel ?
Il faut vérifier les trois propriétés
1- N  U  V
2- Si x et y  U  V  x+y  U  V
3- Si x  U  V  x  U  V
1- Comme U et V sont des sous-espaces vectoriels NU et N V donc N  U  V
2- Si x et y  U  V , alors x et y  U; Comme U est un sous-espaces vectoriel, si x
et y  U, alors x+y  U; de même x+y  V; donc x+y  U  V .
3- Même démonstration pour la propriété 3
Donc U V est un sous-espace vectoriel.
U  V sous-espace vectoriel ?
Nous allons chercher un contre exemple pour montrer que la propriété 2 n’est pas
vérifiée. Si on choisit R2 et U = axe horizontal et V = axe vertical, il s’ensuit que si on
choisit x  U et y  V et x et y non nuls, x + y est un vecteur qui ni horizontal ni
vertical; donc x et y  U et x et y  V donc x et y  U  V
U  V n’est pas un sous-espace vectoriel.
Exercice 6
Les fonctions de variable réelle comme 1, x, sin(x) et cos(x) sont aussi des
vecteurs d’un espace vectoriel (de dimension infinie); on peut donc se poser la
question de savoir si ces 3 vecteurs sont linéairement indépendants.
Trois vecteurs sont linéairement indépendants si et seulement si l’équation
1 v1 + 2 v2 + 3 v3 = 0
a une solution unique
1 = 2 = 3 = 0
Ceci se traduit pour les 3 fonctions par la relation qui doit être vraie pour tout x
1 * 1 + 2 sin(x) + 3 cos(x) = 0;
Si on choisit certaines valeurs de x, on obtient les équations
x = 0 : 1 + 3 = 0;
x =  ; 1 - 3 = 0;
Il s’ensuit que la seule solution possible est :
1 = 3 = 0; et par suite 2 = 0;
Les 3 fonctions 1, sin(x) et cos(x) sont donc linéairement indépendantes.
Les 5 fonctions 1, sin(x), cos(x), cos(2x) et cos2(x) sont linéairement
indépendantes si et seulement si pour toutes les valeurs de x,
1*1 + 2 sin(x) + 3 cos(x) + 4 cos(2x) + 5 cos2(x) = 0
implique que
1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 0.
Or 2 cos2(x) = cos(2x) + 1.
Il s’ensuit que l’on a , pour tout x,
1*1 + 0*sin(x) + 0*cos(x) + 1* cos(2x) - 2 cos2(x) = 0.
On a donc trouvé des valeurs de i qui ne sont pas toutes nulles pour cette
équation. Il s’ensuit que les 5 fonctions ne sont pas indépendantes.
Exercice 7
L’ensemble V est la droite axe des x; c’est une droite qui passe par l’origine; c’est
donc un espace vectoriel de dimension 1 qui a pour base n’importe quel vecteur
1 
de l’axe des x comme 0  .
 
0 
Exercice 8
On peut remarquer que v1 et v2 sont linéairement indépendants et que v1 et v3 sont
linéairement dépendants car v3 = 2 v1. La dimension de l’espace vectoriel obtenu
par combinaison linéaire de v1 et v2 est 2 car v1 et v2 sont linéairement
indépendants. La dimension de l’espace vectoriel obtenu par combinaison linéaire
de v1 et v3 est 1 car v1 et v3 sont linéairement dépendants. La dimension de
l’espace vectoriel obtenu par combinaison linéaire de v2 et v3 est 2 car v2 et v3
sont linéairement indépendants.
Exercice 9
L’ensemble des polynômes de degré 2 a pour base les polynômes 1, x et x 2. Ceci
signifie que tout polynôme P peut se mettre sous la forme
P(x) = a1 x2 + a2 x + a3 = a1 e1(x) + a2 e2 (x) + a3 e3 (x)
En nommant :
f1(x) = (x – α )2
f2 (x) = (x – α )
f3 (x) = 1
On doit montrer que P se met sous la forme :
P(x) = b1 f1(x) + b2 f2 (x) + b3 f3 (x)
= b1 (x – α )2 + b2 (x – α ) + b3
En développant cette expression, on trouve
= b1 (x2 –2αx +α2 )+ b2 (x – α ) + b3
= b1 x2 + (- 2 b1α + b2 ) x + b1 α2 - b2 α + b3
Dans la première base P a pour expression
P(x) = a1 x2 + a2 x + a3
En comparant les deux expressions du polynôme, il faut que les coefficients des
termes en x soient égaux :
b1= a1
(- 2 b1α + b2 ) = a2
b1 α2 - b2 α + b3 = a3
Ce système de 3 équations est linéaire en b et a une solution et une seule. Tout polynôme
P est donc une combinaison linéaire de (x – α )2 , (x – α ) et 1; ces 3 vecteurs sont donc
une base.