Chapitre 1 : Système linéaire - E

CM Algèbre linéaire
Chapitre 1 : Système linéaire
Considérons le système linéaire d’équation suivante :
x, y et z sont les inconnues
L’ordre des équations n’a pas d’importance.
Résoudre le système c’est obtenir toutes les solutions si elles existent.
Notons que :
 On ne change pas le système si on multiplie une équation par une constante non nulle.
 On ne change pas le système si on ajoute à une équation une autre (et même le multiple
d’une autre). 1er pivot
x y z
1ere colonne
L2←L2 –L1
L3←L3 +L1
2eme colonne
2eme pivot = -1, un bon pivot doit être égal à 1.
On divise L2 par (-1)
L2←L2/(-1)
3eme colonne

3eme pivot = -3
L3← L3/(-3)
L1←L1-(3) L3
L2←L2-(2) L3
Le système admet une solution unique :
Exemple 2
On sort l’«utile»
Matrice du système matrice du second nombre
1ère colonne
L2←L2-(2)L1
L3←L3-(1)L1
2eme colonne : pivot nul
on cherche en dessous
On change L2 et L3 L2↔L3
L2←L2 /(-1)

L1←L1-(1) L2
L3←L3-(0) L2
3eme colonne
-1L3←L3/(2)
Solution unique :
Exemple 3
1ère colonne
L2←L2-(2)L1
L3←L3-(3)L1+
2ème colonne
L2← L2/ (-1)
L1←L1-(1)L2
L3←L3-(1)L2
Pivot nul sans remplacement
Discussion:
 Si , alors la 3eme équation ne peut être satisfaite, 0=m-3 est impossible
Il n’y a pas de solution , le système est impossible
 Si m-3=0 ( m=3 ), l’équation donne toujours 0=0 ce qui est toujours vrai
Il reste

On écrit :
Il y a donc une infinité de solutions, le système est indéterminé d’ordre 1 (1seule inconnue
libre)
Exemple 4
1ere colonne :
L2←L2-(1)L1
L3←L3-(2)L1
2eme colonne : pivot nul, en dessous aussi, donc on passe à la colonne suivante
3èmecolonne :
L1←L1-(2)L2
L3←L3-(3)L2
Discussion :
0=(c-2a)+3(b-a)
, il n’y a pas de solution
si c-5a+3b=0 , le système est indéterminé d’ordre 1
→si possible→ →
Ligne “0”
Si dans une ligne 0→impossible, il n’y a pas de solution.
Si C=0 pour toutes les lignes 0, le système est indéterminé.
indéterminé d’ordre 1

indéterminé d’ordre 2
Si B=0 et C=0→indéterminé d’ordre 2
Si →impossible