Chapitre 1 : Système linéaire - E

CM Algèbre linéaire
Chapitre 1 : Système linéaire
Considérons le système linéaire d’équation suivante :
x, y et z sont les inconnues
L’ordre des équations n’a pas d’importance.
Résoudre le système c’est obtenir toutes les solutions si elles existent.
Notons que :

On ne change pas le système si on multiplie une équation par une constante non nulle.

On ne change pas le système si on ajoute à une équation une autre (et même le multiple
d’une autre).
1er pivot
x
y
z
1ere colonne
L2←L2 –L1
L3←L3 +L1
2eme colonne
2eme pivot = -1, un bon pivot doit être égal à 1.
On divise L2 par (-1)
L2←L2/(-1)
3eme colonne
3eme pivot = -3
L3← L3/(-3)
L1←L1-(3) L3
L2←L2-(2) L3
Le système admet une solution unique :
Exemple 2
On sort l’«utile»
Matrice du système
1ère colonne
L2←L2-(2)L1
L3←L3-(1)L1
2eme colonne : pivot nul
on cherche en dessous
On change L2 et L3
L2↔L3
L2←L2 /(-1)
matrice du second nombre
L1←L1-(1) L2
L3←L3-(0) L2
3eme colonne
-1L3←L3/(2)
Solution unique :
Exemple 3
1ère colonne
L2←L2-(2)L1
L3←L3-(3)L1+
2ème colonne
L2← L2/ (-1)
L1←L1-(1)L2
L3←L3-(1)L2
Pivot nul sans remplacement
Discussion:
 Si
, alors la 3eme équation ne peut être satisfaite, 0=m-3 est impossible
Il n’y a pas de solution, le système est impossible
 Si m-3=0 (m=3), l’équation donne toujours 0=0 ce qui est toujours vrai
Il reste
On écrit :
Il y a donc une infinité de solutions, le système est indéterminé d’ordre 1 (1seule inconnue
libre)
Exemple 4
1ere colonne :
L2←L2-(1)L1
L3←L3-(2)L1
2eme colonne : pivot nul, en dessous aussi, donc on passe à la colonne suivante
3èmecolonne :
L1←L1-(2)L2
L3←L3-(3)L2
Discussion :
0=(c-2a)+3(b-a)
, il n’y a pas de solution
si c-5a+3b=0,
le système est indéterminé d’ordre 1
→si possible→
→
Ligne “0”
Si
dans une ligne 0→impossible, il n’y a pas de solution.
Si C=0 pour toutes les lignes 0, le système est indéterminé.
indéterminé d’ordre 1
indéterminé d’ordre 2
Si B=0 et C=0→indéterminé d’ordre 2
Si
→impossible
Chapitre 2 : matrices
Définition 1 : On appelle matrice réelle à m lignes et n colonnes tout tableau de nombres réels
délimités par des parenthèses.
, l’élément est en ligne i et en colonne j.
On écrit aussi A= (aij)
m éléments de A sera noté aij
On notera
l’ensemble des matrices à m lignes et n colonnes.
Si m=n on parlera de matrice carré
c’est une matrice carré d’ordre 3 (ou 3 lignes et 3 colonnes).
Une matrice carrée possède une diagonale.
Si m=1 on parlera de matrice ligne
Si n=1 on parlera de matrice colonne
Dans le cas de matrices carrés d’ordre n, on dira que
est une matrice “diagonale”
Cette matrice est nulle en dehors de sa diagonale.
On distingue une matrice diagonale particulière :
C’est al matrice identitaire d’ordre n.
Définition 2 : Etant donné 2 matrices A et B appartenant au même format
On définit la matrice
.
par
Exemple :
Propriété1 : L’addition des matrices possède les propriétés usuelles de l’addition de nombres.
A+B=B+A → commutativité
(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C → associativité
A+(0)=A
Matrice nulle
Toute matrice A possède une matrice –A
Tout A possède une opposé –A
A+-A=(0)
A+(-A)=(0)
Remarque :
Définition 3 : Etant donné une matrice
définit par
concrètement :
Le produit A X B est possible et se calcul par :
A
C
C
1X1=1 1X2=2
2X1=2
1+2+2=5
C à autant de lignes que A et autant de colonnes que B.
Remarque 1 : Dans notre exemple A X B était possible et calculable mais B X A ne l’est pas.
Remarque 2 : le produit des matrices n’est pas commutatif en général
même si les 2
produits sont calculables.
par contre on a toujours A (B+C)=A X B+A X C et A X (B X C)=(A X B)X C
c’est la distributivité
Exemple :
A X B existe :
B X A aussi :
(13)
La matrice identité de “bonne taille”, “joue le rôle du 1” pour le produit des matrices.
Si
:
A
Il n’y a que les matrices carrées que l’on peut additionner et multiplier.
I3
A
Remarque : Dans l’avenir in se limitera aux matrices carrées d’ordre n (2 ou 3). On pourra toujours
calculer B+A=A+B et A X B et B X A. Le résultat sera toujours carré d’ordre n.
Définition 4 : Soit A une matrice carrée d’ordre n, on dira que A est inversible ssi il existe une matrice
carré d’ordre n, notée A-1 telle que A X A-1= A-1 X A=In.
Remarques :
Toutes les matrices carrées ne sont pas inversibles.
L’inverse, si elle existe, est unique.
Calcul pratique de A-1
On va utiliser la méthode du pivot.
On part de
A In
“pivote”
In A-1
si possible
Exemple : Calculer, si elle existe, l’inverse de
Posons :
L2←L2-L1
L3←L3-2L1
L2←L2/(-1)
L1←L1-2L2
L3←L3+3L2
On a les pivots donc A est inversible.
L1←L1-L3
L2←L2-0L3
On vérifie : A X A-1
A est inversible si l’on trouve tout les pivots non-nuls nécessaires.
Si il manque un pivot ou une colonne, on arrête car A n’est pas inversible.
Chapitre 3 : Espaces vectoriels
Définition 1 : Soit
v’’, w’, w’’.
On dira que
un ensemble dont les éléments sont appelés vecteurs et notés v1, v2, v3, … ou v’,
possède une structure d’espace vectoriel si :
 On définir sur
une addition notée + telle que :
v1+v2 = v2+v1
(v1+v2)+v3 = v1+(v2+v3)
il existe un vecteur particulier tel que v+0E=v
tout
possède un opposé noté –v tel que v+(-v)=0E
 E est également doté d’une multiplication par un scalaire
R X E→
(λ,v)→λ.v
Telle que :
 λ.(v1+v2)=λ.v1+λ.v2
 (λ1+λ2).v=λ1v+λ2v
 λ.(μ.v)=(λμ).v
 1.v=v
= vecteur
nul
Remarque : Les propriétés ont été tirés des propriétés des vecteurs de la géométrie.
On montre que si λ.v=0E => λ=0 ou v=0E.
Exemples :

L’ensemble de vecteurs de la géométrie

Notre membre sera :
En particulier on utilisera
On définira l’addition par v+w=(x, y, z)+(x’, y’, z’)=(x+x’, y+y’, z+z’)
On peut vérifier que la propriété des membres sont vérifiés avec
par :λ.v=λ.(x, y, z)=(λx, λy, λz)
Ces définitions se généralisent facilement à
Exemple : Dans
v1 = (1, 2, 3)
v2 = (2, 1, 0)
Calcul de :
3v1+v2
=3.(1, 2, 3) + (2, 1, 0)
=(3, 6, 9) + (2, 1 ,0)
= (5, 7, 9)
Définition 2 :
Soit
: Quelque
soit
un espace vectoriel (e.v) et soit
un sous ensemble de
On dira que F est un sous espace vectoriel de
scalaire, c’est-à-dire
ssi
.
est stable pour l’addition et le produit
Donc F à lui tout seul est un espace vectoriel et dans ce cas :
Dans
soit :
Soit
v = (x, x, 0)
w = (y, y, 0)
v+w =(x+y, x+y, 0) de la forme
Si
, λ.v=λ(x, x, 0)= (λx, λx,0) de la forme
Définition 3 : Soit
un e.v et v1, v2,… vn une famille de vecteurs neutres de
On combinaison linéaire de ces vecteurs tout vecteur de
.
de la forme : λ1v1+ λ2v2+…+λnvn
Définition 4 : Une famille {v1,…vn} de vecteurs E sera dite libre ssi on a λ1.v1+λn.v=0E
λ1=λ2=…=λn=0
Dans le cas contraire on dira que la famille est liée.
Autre expression : {v1…vn} est libre ↔ les vecteurs v1…vn sont linéairement indépendants.
Exemple : Dans
v1= (1, 0, 2) et v2= (2, 1, 0)
La famille {v1, v2} est-elle libre ?
On pose
Ce système possède-t-il une solution unique qui sera forcement
Ici on trouve bien :
La famille est libre
Prenons v3= (7, 2, 6)
La famille {v1, v2, v3} est-elle libre ?
On pose
On peut même dire que
est la seule solution ?
Système indéterminé d’ordre 1 :
On ne peut donc pas affirmer
seule solution, donc la famille est liée
Remarques :
 Une famille d’un vecteur {v2} est libre si
 Une famille de 2 vecteurs {v1, v2} est liée si v1 et v2 sont proportionnels ou nuls
Exemple :
v1= (1, 1, 0)
v2= (2, 2, 0)
?
 Au delas de 2 vecteurs il faut résoudre le système, mais la famille sera liée si :
-un des 2 vecteurs et nul
OU
-2vecteurs sont proportionnels
 Dans une famille liée, il y a au moins un des vecteurs qui est une combinaison linéaire des
autres. En effet : si les familles sont liées on a :
Avec un des
par exemple
Combinaison linéaire des autres
Propriété 1 : Soit {v1…vn} une famille de vecteurs. L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires
de ces vecteurs est un sous espace vectoriel de E. Le sous espace est appelé sous espage engendré
par la famille {v1…vn}. On peut noter [{v1, v2 … vn}].
Idée de la démonstration : w1 et w2 combinaisons linéaires de {v1…vn} alors w1+w2 est encore une
combinaison linéaire de {v1…vn}.
Exemple :
Combinaison linéaire de {v1…vn}
Définition 5 : Soit E un espace vectoriel et une famille {v1…vn}, une famille de vecteur
On dira que cette famille constitue une base de
.
ssi elle est libre et elle est géneratrice de
Exemple : Dans
, on dispose de la base canonique
B= {e1, e2, e3} avec e1= (1,0,0)
e2=(0,1,0)
e3=(0,0,1)
Génératrice : (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0)+ c(0, 0, 1)
Dans
=ae1, be2, ce3

libre :
Propriété 2 :
On montre que toutes les bases de
appelés dimension de
, noté Dim(
Remarque : on a donc dim (
dim(
possèdent la même nombre de vecteurs
)
)=3
)=n
Propriété 3 : Soit
et un vecteur muni d’une base B = {f1, f2, f3, … fn} alors tout vecteur
peut s’écrire de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base B.
.
La famille est génératrice donc on peut trouver les coeff a1, a2, a3,… an tel que
écriture unique ?
Supposons
Comme f1 …fn est libre, on en déduit
a1- a’1=0
an- a’n=0
↘ ai= a’i
On pourra définir la matrice du vecteur v dans la base B.
Exemple : Dans
munis de B = {e1, e2, e3} canonique
On peut montrer que {e’1, e’2, e’3} avec
et une autre base de
On constate que
Propriété 4 : Soit E un espace vectoriel de dimension n
Prouver qu’une famille {v1, v2,…,vn} est une base
Il suffit de prouver qu’elle est libre
, B’ ?
Chapitre 4 : Application linéaire
Définition 1 : Soit E et F deux espaces vectoriels
Une application
sera dite linéaire ssi :
Pour nous, on aura toujours E=F
On dira que f est un endomorphisme de E.
F linéaire
Remarque : Si f est un endomorphisme de E,
on a toujours
or,
Exemple d’application linéaire :
Dans
soit f définie par
=(x+y, x-y)
Soient
X
Y
Exemple d’applications non linéaires :
↘
Définition 2 : Soit f un endomorphisme de
On appelle :
.
 Noyau de f, noté Ker(f), étant l’ensemble des vecteurs de E tels que
 Image de f, noté
ou
, étant l’ensemble de toutes les valeurs prises par
Remarque : On a toujours
Propriété 1 :
sont des sous-espaces vectoriels de E. On appelle rang de f la
dimension de
.
Démonstration :
- Stable pour + ?
sous-espaces vectoriels de
?
Soient
est-il dans
?
on calcule
Donc
-Stable pour . ?
sous-espace vectoriel de
Stable pour +
Soient
?
Schéma classique :
Im(f)
0E
Ker(f)
0E
Propriété 2 : on a toujours dim(ker(f))+dim(Im(f))=dim(
Exemple : Dans
)
, soit f définie par
Caractériser Ker(f)
Résultat :
ei
{ei} est génératrice et libre or
Base de ker(f) {ei}
dans ker(f)=1
Définition 3 : Soit f endomorphisme de
E étant muni d’une base B=(ev, en)
On “connait” f si on connait :
)
On appelle matrice
Exemple : Dans
muni de sa base canonique {e1, e2}=B
Soit
f(e1)
f(e2
Remarque : il existe une application linéaire particulière sur
: l’application identité
par
M(
, B)=In si dim(
Propriété 3 : Soit
)=n
muni de sa base B.
Soit f un endomorphisme de
.
On aura
Exemple : dans
, même f,
A.V :
Définition 4 : Soit L (
) l’ensemble des endomorphismes de E. On définit sur L (

Addition par

Multiplication par un scalaire

Composition
Remarque : on montre que
Exemple sur la composition :
dans
soient f et g é endomorphismes
?
On constate que
sont encadrés dans L (
):
).
définie
Propriété 4 : on a
Exemple :
De même
Propriété/définition 5 : soit f un endomorphisme de E
-on dira que f est injective ssi
-on dira que f est sujective ssi
On montre que est injective
Hypothèse :
posons
Proposition/définition 6 : on dira que f est bijective si elle est à la fois injective et subjective. Dans ce
cas f admet une réciproque
, linéaire telle que
Dans le cas des endomorphismes
f injective f bijective
Raison :
f injective
f sujective
f injective: on résout
seule solution
Donc
f injective et donc bijective
Par définition, on a
Propriété 7 : Soit f bijective sur E, alors toutes les matrices possibles de f sont inversibles
si
alors
Chapitre 5 : Déterminants
Approche : si une matrice est carrée d’ordre n et inversible
sera inversible ssi
pivot (en supposant
)
sera inversible ssi
Définition 1 : -étant donné
carré
étant donné
d’ordre 1, on appel déterminant de A noté
carrée d’ordre 2, on appel déterminant de A le
nombre noté
Propriété 1 : Proposition des déterminants
-
si une des colonnes de A est nulle
si 2 colonnes de A sont proportionnelles
-On ne modifie pas le déterminant si on ajoute à une colonne de A λ fois une autre
colonne.
-
ne change pas si on échange 2 colonnes
-
est multiplié par α si on multiplie une autre colonne par α
=
Tout reste valable si on remplace “colonne” par “ligne”
Exemple :
Définition 2 : Soit A une matrice carrée d’ordre n. On veut définir
où
de manière récursive.
est la matrice obtenue d’ordre n-1 en enlevant à A la
ligne 1
colonne j.
On parle de développement par rapport à la 1ère ligne.
Remarque : On peut développer
par rapport à n’importe quelle ligne ou colonne
Propriété 2: La propriété 1 reste valide pour les déterminants d’ordre n.
Remarque : Les équations de “type pivot” du genre
le déterminant et ce de même avec les colonnes
, sont utilisables sans changer
et “plus librement”.
Exemple : Calculer
En taille 3, on peut intégrer le calcul direct “sans traitement”
En taille
, il faut traiter avant. Si on ne fait rien, on a 4 déterminants de taille 3 à calculer.
Propriété 3 : Soient A et B 2 matrices carrés d’ordre n.
On a
Remarque : par contre
en général
Propriété 4 : Soit A une ùmatrice carrée d’ordre n. A sera inversible ssi
Exemple : Par quelles valeurs de n la matrice
est elle inversible ?
Calcul de
, A non inversible
Remarque : Si A est la matrice d’un endomorphisme f, f sera bijective ssi
Propriété 5 : Soit E un espace vectoriel muni d’une base canonique
une famille de
vecteurs de E. Elle sera une abse de E ssi
Propriété 6 : Soit un système de n équations à n inconues. Soit A la matrice du système. Il y aurra
solution unique ssi
Chapitre 6 : valeurs propres - vecteurs propres
Définition 1 : Soit f un endomorphisme de E. On dira qu’un vecteur v de E non-nul est un vecteur
propre de f ssi il existe un nombre λ tel que
. Ce λ est appelé valeur propre de f associé à
.
Propriété 1 : L’ensemble
espace propre associé à la valeur propre de λ.
est un sous espace vectoriel de E appelé sous
Démonstration :Soit
donc
Idem pour
.
Propriété 2 : Si
sont 2 valeurs propres de f avec
On a
Démonstration : Soit
Propriété 3 : Soient
des valeurs propres de f toutes distinctes et soient
vecteurs propres associés, alors
Donc par récurrence (sur p) :
1. Vrai pour
? On a
,
est libre.
de famille {
2. On suppose que la propriété est vraie alors
pour prouver la propriété à l’ordre .
Notre hypothèse :
donc
est encore libre.
Raisonnement par l’absurde :
Supposons par
Signifie que
On fait
des
} est libre car
(c’est un vecteur propre !)
(hypothèse de récurrence) et “on s’en sert”
Combinaison linéaire de
est égale à
 famille libre donc coef=0
Cela nous conduit à
ce qui est absurde car est un vecteur propre.
Notre hypothèse famille liée est donc fausse, la famille est libre.
Propriété 4 : Les valeurs propres d’un endomorphisme f sont les racines de polynômes
caractéristiques de f :
est matrice de
On aura :
Remarque : Si
; on appelle
car on peut préciser que, si on a toujours
Résumons : au début
valeur propre associé à 1
Avec
Donc
non bijective
Toute matrice de
est on inversible (son
Or M(
Remarque :
Marche à suivre :
-Trouver
-Poser
matrice de
-Calculer
-Résoudre
-caractériser les sous espaces propres
Exemple 1 : Dans
soit
définie pas sa matrice
0)
2 valeurs propres :
Sous-espace propre ?

Pour
Trouver v tel que f(v)=1.v en matrice
système indéterminé d’ordre 1
Tout

def par
Pour
système indéterminé d’ordre 1
Idem avec
Racine apparente ?
λ=0 non
λ=1 (-1)3-4(1)²-5(1)-2=-12
λ=-1 -(-1)3-4(-1)²-5(-1)-2
1-4+5-2=0 !!
λ=-1 est racine
On peut mettre
en facteur
3 valeurs propres :
Synthèse : valeurs propres
racine double
Astuce :
Pour
indéterminé d’ordre 1
Il reste une équation
Indéterminé d’ordre 2
Base constituée de 2 vecteurs propres indépendants
Condition supplémentaire : si
il reste
Pas de V3
Définition 2 : Soit
On dira que
un endomorphisme de
.
admet une base de vecteurs propres ssi on peut trouver une base
de
constituée de vecteurs propres de
.
Remarque : Quel intérêt ?
Si une telle base B’ existe, on aura
=D(diagonale)
Proposition 5 : une condition suffisante pour que
que
admette
admette une base de vecteurs propres et
valeurs propres distinctes (racines simples).
Démonstration : Propriété 3
Proposition 6 : Si
On a toujours
admet n racines réelles on peut l’écrire sous la forme
(
multiplicité de la racine
admettra une base de vecteur propre ssi
admettra une base de vecteur propre ssi
(
)
multiplicité de la racine
)
Chapitre 7 : Réduction des matrices
I. Problèmes de changement de base
Soit
muni d’une base canonique
base de
et soit
une autre
.
Définition 1 : On appelle matrice de passage de la base B à la base B’, la matrice
Propriété 1 : Une matrice de passage est toujours inversible
Démonstration : par exemple
libre
Propriété 2 : changement de base pour un vecteur
Soit
Soit
On a alors
ou
Propriété 3 : Changement de base pour un endomorphisme
Soit f un endomorphisme E
Soit
On a
ou
II. Réduction de matrice
Définition 2 : Deux matrices carrées A et B de même ordre seront dites semblables ssi il existe une
matrice carrée inversible P tel que
Réduire la matrice A consiste à chercher une matrice B “la plus simple possible” (par exemple
diagonnale) semblable à A.
Propriété 4 : Deux matrices semblables ont même déterminant et même polynôme caractéristique.
Nombres
Remarque : On peut considérer 2 matrices semblables
endomorphisme
et
comme étant 2 matrices d’un même
.
Remarque : 2 matrices semblables auront les mêmes valeurs propres, mais pas les mêmes vecteurs
propres.
Elles ont également la même la même trace (somme des éléments de la diagonale)
Définition 3 : Une matrice carrée A sera dite diagonalisable ssi elle est semblable à une matrice
diagonale
via la formule
est une forme réduite de A.
D’où le processus de réduction des matrices carrées.
Réduction des matrices :
Soit A matrice carrée “à réduire” :

On calcul et factorise son polynôme caractéristique pour trouver les valeurs propres

On cherche s’il est possible d’obtenir une base de vecteurs propres. (
leurs matrices)
-les valeurs propres sont toutes simples
-les racines doubles amènent “bien” 2 vecteurs

Si on dispose de cette base de vecteurs propres, on peut dire que A est diagonalisable.
Dans ce cas, on aura
représentés par
Remarque : Si on ne dispose pas de cette base de vecteurs propres, il existe des solutions autres
donnant une forme réduite “presque diagonale” (pas au programme)
Exemple :
Application : calcul de
Si a est semblables à A par la formule
Exercice type :
1. Montrer que A est diagonalisable
2. Préciser sa forme réduite D et la matrice de passage
3. Calculer Am
1.
A diagonalisable ?
donc
A est diagonalisable
2.
,
x=0
y=0
3. Calculer Am
P-1
(on change le signe)
-4=a et -1=b