Modèle mathématique. - Lycée Henri BECQUEREL

TS1-TS2
DEVOIR SURVEILLE N°4
M 19/01/11
Chaque élève aura cinq exercices à traiter suivant sa spécialité.
Pour tous les élèves de spécialité mathématiques, l’exercice IV est à traiter sur une feuille séparée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l’appréciation des copies. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même
incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. L’usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice 1 commun à tous les élèves ( 6 points):
Partie A- Restitution organisée de connaissances
Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
(i)
Si z est un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante :
Error!
 Error!
(ii)
Pour tous nombres réels a et b:
{ cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a
Soient z1 et z2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations :
z1z2 = z1z2 et arg (z1z2) = arg (z1) + arg (z2) à 2 près.
Partie B
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la
réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contreexemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point.
On rappelle que si z est un nombre complexe, Error! désigne le conjugué de z et z désigne le module de
z.
1) Si z = – Error! + Error! i, alors z4 est un nombre réel.
2) Si z + Error! = 0, alors z = 0.
3) Si z + Error! = 0, alors z = i ou z = – i.
4) Si z = 1 et si z + z’ = 1, alors z’ = 0.
Exercice 2 commun à tous les élèves ( 5 points):
 
Le plan complexe est rapporté dans un repère orthonormé direct (O; u ; v ).
A tout point M d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe Z où Z =
z3
2 z
3
.
On note z = r (cos  + i sin  ) et Z =  (cos  + i sin  )
1) Exprimer  et  en fonction de r et  .
2) On note C le cercle de centre O et de rayon 1.
Quel est l’ensemble des points M’ lorsque M décrit le cercle C ?
3) On note f la fonction définie sur [0 ; +  [ par f(x) =
x3
.
2  x3
a/ Dresser le tableau de variations complet de f .
b/ Déduisez-en que, lorsque M est un point quelconque du plan complexe, le point M’ est un point
d’un disque que vous préciserez.
Exercice 3 commun à tous les élèves ( 5 points):
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la
copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte des points, chaque réponse fausse enlève des points. Une absence de
réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Aucune justification n’est demandée.
1. Soit z le nombre complexe de module
A : z14 = −128 3 – 128i
C : z14 = – 64 + 64i 3
2 et d’argument

. On a alors :
3
B : z14 = 64 – 64i
D : z14 = – 128 + 128i 3
2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé,
le point S d’affixe 3 et le point T d’affixe 4i.
Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z tels que |z – 3| = |3 – 4i|.
A : (E) est la médiatrice du segment [ST] ;
B : (E) est la droite (ST) ;
C : (E) est le cercle de centre  d’affixe 3 – 4i, et de rayon 3 ;
D : (E) est le cercle de centre S et de rayon 5.
3. Une fonction g est définie sur l’intervalle ] – ∞ ; 0] par g (x) =
soit  sa courbe représentative dans un repère du plan.
A:
B:
C:
D:




x²  2 x
;
x 3
admet une asymptote d’équation y = −1.
n’admet pas d’asymptote.
admet une asymptote d’équation y = x.
admet une asymptote d’équation y = 1.
Exercice 4 pour les élèves n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ( 10 points):
On injecte une dose d’une substance médicamenteuse dans le sang à l’instant t = 0 (t est exprimé en
heures). On note Q(t) la quantité de substance présente dans le sang à l’instant t, exprimée en unités
adaptées.
Pour les graphiques, le plan P sera rapporté à un repère orthonormé, l’unité graphique étant 2 cm.
A l’instant t = 0, on injecte par piqûre intraveineuse une dose de 1,8 unité.
On suppose que la substance se répartit instantanément dans le sang et qu’elle est ensuite progressivement
éliminée. On admet que le processus d’élimination peut se présenter mathématiquement par l’équation
différentielle : Q’(t) = –  Q(t) où  est un nombre qui sera déterminé expérimentalement.
1) Montrer que Q(t) = 1,8 e t est solution de l’équation différentielle
et vérifie la condition initiale pour t = 0.
2) On considère la fonction auxiliaire f définie sur IR par f(  ) = e  .
a/ Dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur IR.
b/ Montrer que l’équation e  = 0,7 admet une unique solution sur IR,
puis donner une valeur approchée à 10 – 4 près.
c/ Expliquer pourquoi cette solution est la valeur de  pour laquelle, au bout d’une heure, la quantité
de substance présente dans le sang a diminué de 30 %.
3) On décide de réinjecter une dose analogue de 1,8 unité à l’instant t = 1 (au bout d’une heure), puis
aux instants t = 2, t = 3, etc…
On note Rn la quantité de substance présente dans le sang à l’instant t = n, dès que la nouvelle
injection est faite.
a/ Expliquer que R1 = 1,8 + 0,7 × 1,8.
En déduire une expression de Rn + 1 en fonction de Rn.
b/ Soit (un) la suite définie pour tout n  IN par un = Rn – 6.
Montrer que (un) est une suite géométrique.
En déduire un en fonction de n, puis établir que pour tout n  IN, on a : Rn = 6(1 – 0,7 n + 1).
c/ Déterminer la limite de Rn quand n tend vers l’infini.
Expliquer concrètement ce résultat.
Exercice 5 commun à tous les élèves ( 14 points):
Le but de l’exercice est de montrer que l’équation (E) ex = Error! , admet une unique solution dans
l’ensemble I; R des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution.
Partie A- Existence et unicité de la solution
On note f la fonction définie sur I; R par f(x) = x – e – x.
1) Démontrer que x est solution de l’équation (E) si, et seulement si, f(x) = 0.
2) Etude du signe de la fonction f :
a/ Etudier le sens de variation de la fonction f sur I; R.
b/ En déduire que l’équation (E) possède une unique solution sur I; R, notée .
c/ Démontrer que  appartient à l’intervalle Error!.
d/ Etudier le signe de f sur l’intervalle [0 ; ].
Partie B- Deuxième approche
On note g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par : g(x) = Error!.
1) Démontrer que l’équation f(x) = 0 est équivalente à l’équation g(x) = x.
2) En déduire que  est l’unique réel vérifiant g() = .
3) Calculer g’(x) et en déduire que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0 ; ].
Partie C- Construction d’une suite de réels ayant pour limite 
On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, par un + 1 = g(un).
1) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 0  un  un + 1  .
2) En déduire que la suite (un) est convergente. On note l sa limite.
3) Justifier l’égalité g(l) = l. En déduire la valeur de l.
4) A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u4 arrondie à la sixième décimale.