Bac Blanc 2008-2009

Lycée PARDAILHAN
Chemin du Baron
32000 AUCH
TS1
BACCALAUREAT GENERAL
BAC BLANC FEVRIER 2009
MATHEMATIQUES
Série : S
DUREE DE L’EPREUVE : 4 heures. COEFFICIENT : 7(ou 9)
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
La clarté des raisonnements, la qualité de la rédaction et la présentation interviendront
pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Ce document comporte 5 pages.
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EXERCICE 1 :
5 points
Partie A : Restitution organisée de connaissances.
Dans cette partie, on demande au candidat d’exposer des connaissances
On suppose connu le résultat suivant :
La fonction x  ex est l’unique fonction  dérivable sur IR telle que ’= , et ( 0 ) = 1 .
Soit a un réel donné.
1. Montrer que la fonction f définie sur IR par f(x) = eax est solution de l’équation différentielle
y’ = ay.
2. Soit g une fonction dérivable sur IR solution de l’équation différentielle y’ = ay sur IR.
Soit h la fonction définie sur IR par h(x) = g(x)e-ax.
Montrer que h est une fonction constante.
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation y’= ay.
Partie B
On considère l’équation différentielle (E) : y’ = 2y + cos x.
1. Déterminer deux nombres réels  et  tels que la fonction f0 définie sur IR par :
f0(x) =  cos x +  sin x soit une solution de (E) sur IR.
2. Résoudre l’équation différentielle (E0) : y’ = 2y.
3. Démontrer que f est solution de (E) sur IR si et seulement si f – f0 est solution de (E0) sur IR.
4. En déduire l’ensemble des solutions de (E) sur IR.
5. Déterminer la solution de (E) s’annulant en Error!.
.
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EXERCICE 2 :
4 points
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la
copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune
justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de
réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.
1. Une solution de l’équation 2z + Error! = 9 + i
a. 3
est :
b. i
c. 3 + i
2. Soit z un nombre complexe ; z  i est égal à :
a. z + 1
b. z  1
c. i z  1
3. Soit z un nombre complexe non nul d’argument  . Un argument de
a. - Error! + 
b. Error! + 
 1 i 3
est :
z
c. Error! - 
4. Soit n un entier naturel. Le complexe ( 3+i )n est un imaginaire pur si et seulement si :
a. n = 3
b. n = 6k + 3, avec k relatif
c. n = 6k avec k relatif
5. Soient A et B deux points d’affixe respective i et −1. L’ensemble des points M d’affixe z
vérifiant
z  i  z  1 est :
a. la droite (AB)
b. le cercle de diamètre [AB]
c. la droite perpendiculaire
à (AB) passant par O
6. L’ensemble des points M d’affixe z= x+ iy vérifiant
a. y= -x+1
b. (x-1)²+y²=
z  1  i  3  4i a pour équation :
5
c. (x-1)² + (y+1)²= 25
7. Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i. L’affixe du point C tel que le triangle ABC
soit isocèle avec (Error!,Error!)= Error! est :
a. 1-4i
b. -3i
c. 7+4i
8. L’ensemble des solutions dans I;C de l’équation Error! = z est :
a. {1 - i}
b. L’ensemble vide
c. {1 - i ; 1 + i}
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EXERCICE 3 :
Spécialité
5 points
On rappelle que 2003 est un nombre premier.
On admet que si p est un nombre premier, alors tout entier a compris entre 1 et p −1 est
premier avec p.
1. (a) Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que : 123u +2003v = 1.
(b) En déduire un entier relatif k0 tel que : 123k0  1 [2003].
(c) Montrer que, pour tout entier relatif x :
123x  456 [2003] si, et seulement si, x  456k0 [2003].
(d) Déterminer l’ensemble des entiers relatifs x tels que : 123x  456 [2003].
(e) Montrer qu’il existe un unique entier n tel que : 1  n  2002 et 123n  456 [2003].
2. Soit a un entier tel que : 1  a  2002.
(a) Déterminer : PGCD (a, 2003).
En déduire qu’il existe un entier m tel que : am  1 [2003].
(b) Montrer que, pour tout entier b, il existe un unique entier x tel que : 0  x  2002
et ax  b [2003].
EXERCICE 3 :
Obligatoire
5 points
On considère la suite numérique (un) définie sur I; N par : u0 = Error! et, pour tout entier n,
un+1 = un (2−un)
1. Soit la fonction f définie sur I; R par f (x) = x(2−x).
(a) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur I; R.
(b) Justifier que, pour tout x ∈]0 ; 1[, f (x) ∈]0 ; 1[.
2.
(a) Calculer u1 et u2.
(b) Montrer par récurrence que, pour tout entier n : 0 < un < 1.
(c) Montrer que la suite (un) est croissante.
3. On considère la suite numérique (vn) définie sur I; N par : vn = 1−un.
(a) Exprimer, pour tout entier n, vn+1 en fonction de vn.
7
(b) En déduire, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier n : vn =  
8
2n
(c) En déduire, pour tout entier n une expression de un en fonction de n.
(d) Déterminer le plus petit entier n tel que un > 1−10-20.
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EXERCICE 4 :
6 points
On considère la fonction f définie sur I; R+ par : f (x) = Error!
On note (C) la courbe représentative de f .
1. Etudier les variations de f . Déterminer la limite de f ( x ) en +∞.
2. On définit la fonction h sur I; R+ par : h ( x ) = f ( x )– x .
a. Résoudre l’équation ex − e-x − 2 = 0 ( on pourra poser X = ex)
b. En déduire que ex − e-x − 2 = Error!
c. Etudier les variations de h.
d. Montrer que h admet un minimum m, qui est strictement positif.
Calculer m et en donner une valeur approchée à 10-2 près.
3. On définit une suite (Un) de la façon suivante :
U0 = 1 et Un+1 = f(Un) pour n entier naturel.
a. Montrer que la différence Un+1 – Un peut être minorée par m (calculé en 2.d.).
b. Démontrer par récurrence que Un – U0 ≥ n.m
c. En déduire la limite de (Un).
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