J`ai fait quelques calculs autour du problème de la mise à l

J’ai fait quelques calculs autour du problème de la mise à l’échelle des modèles réduits
d’avions, ici en prenant le cas du Yak-3.
Pour la comparaison entre le réduit et le grandeur j’ai isolé quelques points qui définirais le
comportement d’un avion :
- la vitesse de décrochage (Vdec), soit la vitesse minimale de vol.
- le rapport poussée/traînée à différentes vitesses définies comme multiple de la vitesse
de décrochage (xVdec).
- Le rapport poussée/poids à différentes xVdec.
- La vitesse maximale.
- Le rayon de virage pour une inclinaison donnée.
- Le temps mis pour effectuer un tel virage.
- L’accélération plein gaz à partir de Vdec et la vitesse atteinte au bout de 10 s.
Pour être plus complet il faudrait probablement ajouter des paramètres sur la stabilité,
l’inertie, le taux de roulis en °/s, etc… mais je ne sais pas trop comment calculer tout ça.
Pour tout ces calculs il faut considérer les principaux paramètres suivant :
- S la surface alaire en m².
- M la masse de l’avion en kg.
- P son poids défini par P = M.g
- W la puissance du moteur.
- Fp la force de poussée, soit en considérant une hélice à pas variable, toujours à
l’efficience max de 0,85, Fp = W * 0,85 / V
- Fz la force de portance, Fz = 0,5 * rho * Cz * S * V²
- Fx la force de traînée, Fx = 0,5 * rho * Cx * S * V²
Les autres paramètres :
- L’accélération gravitationnelle g = 9,81 m/s²
-  l’allongement de l’aile (envergure/corde), qui n’est pas influencé par les changement
d’échelle.
- Le coefficient d’oswald e spécifique pour une aile, environ 0,8.
- Cz le coefficient de portance, dépendant de l’angle d’attaque, avec un Cz max de 1,3.
- Cx le coefficient de traînée, Cx = Cxp + Cxi.
- Cxp, le coefficient de traînée parasite, Cxp = 0,025.
- Cxi, le coefficient de traînée induite, Cxi = Cz² / ( .e.).
- Rho, la masse volumique de l’air, en kg/m3 , considérée ( à tord ?) comme insensible
aux changement d’échelle.
Pour la mise à l’échelle, on considèrera le facteur de réduction r et donc l’échelle 1/r.
Logiquement une maquette aura des dimensions à l’échelle (longueur et envergure…) selon
1/r1.
Envergure = envergure grandeur / r1.

Et une surface alaire réduite selon 1/r² :
S = S grandeur / r².
Les seuls paramètres ajustables seront le poids et la puissance du modèle.
La question est de savoir quel exposant appliquer au facteur de réduction.
Réduire la masse selon 1/r3 ?
Pour le poids on pourrait logiquement considérer que la réduction s’opère en fonction du
volume et de la masse, soit selon 1/r3.
La première chose que l’on remarque alors est un poids particulièrement élevé quand le
facteur de réduction augmente. Un Yak au 1/12e devrait par exemple peser presque 1,4 kg,
soit une charge alaire de près de 140g/dm², ce qui serait considéré comme particulièrement
élevé pour un modèle réduit de cette taille et limiterait son utilisation à des pilotes ayant des
réflexes très affutés.
De plus, mon modèle au 1/12e affiche un poids de 530g, il faudrait donc que je l’alourdisse
considérablement pour avoir un poids à l’échelle, ce qui serait le comble pour un
constructeur !
Logiquement la vitesse de décrochage serait particulièrement élevée, avec une réduction selon
1/r0,5. La vitesse de décrochage ne serait alors pas à l’échelle.
Par contre, on constate que dans ce cas, le rayon de virage à 60° d’inclinaison, pour une
vitesse de 2*Vdec serait réduit selon 1/r. On pourrait donc le considérer à l’échelle, mais
comme la vitesse ne serait pas à l’échelle, le temps mis pour effectuer un virage à 360° serait
trop court au fur et à mesure que l’on augmenterai le facteur de réduction.
Quelle réduction pour la puissance dans ce cas ?
On peut considérer qu’une puissance à l’échelle serait celle qui fournirai une poussée de sorte
que le rapport poussée/poids, qui conditionne le taux de monté et l’accélération, reste constant
à l’échelle.
Une telle puissance est alors obtenue en admettant une réduction selon 1/r3,5.
Dans ce cas cependant, l’accélération initiale, a partir de la vitesse de décrochage, ou d’un
multiple de Vdec, est la même quelque soit l’échelle, ce qui conduit à des accélérations
fulgurantes pour un avion à l’échelle.
Une puissance réduite selon 1/r3 conduit logiquement à un rapport puissance/poids constant,
de l’ordre des 400 W/kg, valeur qui est signe d’un avion surpuissant selon les critères des
modélistes. C’est pourtant un rapport de réduction considéré comme plausible pour beaucoup
compte tenu de la corrélation entre le poids d’un moteur et sa puissance.
Une puissance réduit selon 1/r4 pourrait sembler logique si l’on considère le poids comme
étant réduit selon 1/r3. Mais bien sur dans ce cas l’avion à l’échelle sera sous motorisé, avec

une accélération lente, bien que la vitesse imposée par le poids élevé sera plus importante que
ce qu’elle serait supposée être à l’échelle.
En conclusion sur une réduction de la masse à 1/r3.
Une telle réduction semble d’un premier abord imposer un poids particulièrement élevé pour
un modèle réduit et consécutivement une vitesse élevée, rendant le pilotage problématique.
Le rayon de virage serait à l’échelle. C’est cependant bien la seule chose qui serait à l’échelle.
L’accélération serait phénoménale. En partant de la vitesse de décrochage, le modèle grandeur
mettrait un peu plus de 10s pour doubler cette vitesse, en plein gaz. Le modèle réduit au 1/12e
mettrait un peu moins de 3s pour doubler la vitesse de décrochage, avec la puissance réduite
selon 1/r3,5. Avec la puissance réduite selon 1/r3, la vitesse serait doublée en moins d’une
seconde. Avec la puissance réduite selon 1/r4 il faudrait 27s pour doubler la vitesse de
décrochage.
Réduire la masse selon 1/r4 et la puissance selon 1/r5 ?
Une telle réduction permet une conservation de la vitesse de décrochage à l’échelle, idem
pour la vitesse max. De même, les rapports entre les différentes forces, poussée/poids,
poussée/traînée, aux différentes vitesses restent inchangés selon l’échelle. A condition de
prendre une puissance à l’échelle selon 1/r5.
Evidemment, cette réduction impose une construction particulièrement légère, quasiment
inatteignable. De plus l’avion serait tellement léger qu’il aurait tendance à se comporter en
feuille morte dans le vent.
Contrairement à une réduction de la masse selon 1/r3, le rayon de virage serait moindre que ce
qu’il devrait être à l’échelle. Le temps mis pour faire un 360° resterait trop court, beaucoup
plus que pour une réduction selon 1/r3 ( 33 secondes pour le grandeur, 10 secondes avec le
poids réduit à 1/r3, 3 secondes avec le poids réduit à 1/r4 ).
De même, l’accélération serait beaucoup trop rapide à l’échelle, malgré une puissance très
faible.
Alors ?
En fait tout semble indiquer qu’il faut bien distinguer la masse du poids et qu’une mise à
l’échelle devrait affecter l’une et l’autre différemment. Cela suppose qu’une mise à l’échelle
correcte ne peut se faire qu’en changeant de planète !
Logiquement, la masse devrait suivre une mise à l’échelle équivalente au volume, donc selon
1/r3.
Or le poids dépend de la gravité : P = M.L.T-2.
De ce point de vue, on pourrait considérer que L doit aussi être mis à l’échelle, selon 1/r. Le
poids devrait donc être réduit selon 1/r4 et la masse selon 1/r3.
Et effectivement, si l’on applique une telle mise à l’échelle, en incluant l’accélération
gravitationnelle, tout coïncide.
Les rapports entre les forces restent inchangés selon l’échelle, de même que le temps mis pour
faire un 360° ou le temps mis pour passer de Vdec à 2*Vdec. Les vitesses et le rayon de
virage sont à l’échelle, selon 1/r.