Exercice 4

Exercice 1
1. Linéariser sin6x, x désignant un nombre réel.
2. On pose
dx tcostdtsin
4
0
x
0
5
.
Démontrer que I =
1152
44 - 15
.
(Exercice – Limoges- juin 1981)

Exercice 1
1. Pour tout x réel,
.cos2x -cos6x -6cos4x 14cos2x - 10
32
1
cos2x x 6cos
2
1
-3cos4x 7cos2x - 5
16
1
2
cos2xcos4x
-
2
cos2x
-
2
3cos4x
2
3
3cos2x - 1
8
1
2
cos4x 1
(cos2x) -
2
cos4x 1
3 3cos2x - 1
8
1
8xcos -x 23cos 3cos2x - 1
2
cos2x - 1
xsin x sin
32
3
3
26
En conclusion, pour tout x réel,
2. La fonction : t
tcostsin 5
est définie et continue sur . Donc l’intégrale J =
 x
0
5tcostdtsin
existe pour
tout x réel et,
J =
X
0
6tsin
6
1
ou J =
xsin
6
16
.
De plus, la fonction : x
x sin
6
1
6
est définie et continue sur . Donc l’intégrale I =
4
0
6xdxsin
6
1
existe.
De la question 1. on déduit que :
2
5
-
2
15
6
1
192
1
-
2
5
-
2
sin
2
15
sin
2
3
-
2
3
sin
6
1
192
1
-
10x -sin2x
2
15
sin4x
2
3
-sin6x
6
1
192
1
-
dx 10 -15cos2x 6cos4x -cos6x
192
1
- I
4
0
4
0
En conclusion,
10 -15cos2x 6cos4x -cos6x
32
1
- x sin 6
I =
1152
44 - 15
.

Exercice 2
Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale :
 2
1
0
2 x)dx- ln(11 6x - 3x I
.
On notera que, pour tout x différent de 1,
x- 11
- 1 2x x-
x- 1 x 3x - x 2
23 
.
Exercice 2
Les fonctions
x)- ln(1 x : v
x 3x - x x :u 23
sont définies et dérivables sur l’intervalle
2
1
,0
et à fonctions dérivées :
x- 1 1-
x : v'
1 6x - 3x x : u' 2
continues sur ce même intervalle.
On note alors que : I =
2
1
0 (x)v(x)dxu'
donc cette intégrale existe et on peut lui appliquer la formule de
l’intégration par parties :
.
2
1
ln
2
1
4
1
24
1
- 2ln
8
1
x)- ln(1 x x
3
x
- ln2
8
1
dx
x- 11
- 1 2x x-
2
1
ln
2
1
4
3
-
8
1
dx
x- 1 x 3x - x
- - x)- ln(1 x 3x - x I
2
1
0
2
3
2
1
0
2
2
1
0
23
2
1
0
23
En conclusion,
I =
2ln
8
7
-
24
17
.

Exercice 3
1. a. Montrer qu’il existe deux nombres réels a et b tels que, pour tout x de ]0, 1[, on ait :
x- 1b x 1 a x- 1 1
2
.
b. Soit  un nombre réel vérifiant 0 <  <
2
1
.
Déduire du a. la valeur de l’intégrale :
J() =
2
1
2dx
x- 1 2
.
2. a. En utilisant une intégration par parties, calculer l’intégrale :
2
1
2
2dx
x) x- ln(1
)I(
en fonction de .
b. Déterminer la limite de I() quand le nombre réel positif  tend vers 0.
Exercice 3
1. a. Sachant que, pour tout x de l’intervalle ]0,1[,
2
x- 1 2 x- 11 x 1 1
, on en déduit que :
b. L’intégrale J() =
2
1
2dx
x- 1 2
existe car la fonction fraction rationnelle x
2
x- 1
2
est définie et
continue sur tout intervalle de bornes  et
2
1
,  étant élément de l’intervalle ]0,1[. De plus, la question
précédente permet d’écrire
- 1 1
ln - ln3
x- 1 x 1
ln
x- 1ln x 1ln
dx
x- 1 1- x 1 1
)J(
2
1
2
1
2
1
En conclusion,
x)- 2(1
1
x) 2(11
x- 1
1
2
.
1 - 1
ln3 )J( 

2. a. Les fonctions
) x- ln(1 x : v x
1
- x :u
2
sont définies et dérivables sur tout intervalle de bornes  et
2
1
, 
décrivant l’intervalle ]0,1[, et à fonctions dérivées
2
2
x- 1 2x -
x : v'
x
1
x : u'
continues sur le même intervalle. En
remarquant que
2
1
(x)v(x)dxu' )I(
cette intégrale existe et on peut lui appliquer la formule de
l’intégration par parties :
).J( -
) - ln(1
4
3
2ln -
dx
x- 1 2
-
x) x- ln(1
- )I(
2
2
1
2
2
1
2
En conclusion,
b.
1.
) 1ln(
limcar 0
) - ln(1
) 1ln(
lim
) 1ln(
lim
ln3
1 - 1
ln3lim donc 3
1 - 1
3lim
0
0
2
0
00
Par conséquent,
.
1 - 1
ln3 -
) - ln(1
4
3
2ln- )I( 2
ln3. -
4
3
2ln - )I(lim0