II.7. Champ des vecteurs accélérations des points d`un solide.

MECANIQUE
Cours
Cinématique du solide indéformable
Objectif : Etudier les mouvements des parties opératives indépendamment des causes qui les produisent.
I.
Rappels de cinématique du point.
I.1.Vecteur position d’un point d’un solide.
  
Soit (S) un solide en mouvement par rapport à un repère R(O; x , y, z ) orthonormé direct, le vecteur
position du point P, du solide (S), dans le repère R, à la date t est le vecteur : OP .
z
P
O
Trajectoire de P dans R
y
x
(S)
Unité de la norme du vecteur position : m.
Remarque : Au cours du mouvement, le point P du solide (S) décrit dans le repère R une courbe appelée
trajectoire du point P dans le repère R.
I.2.Vecteur vitesse du point d’un solide.
Le vecteur vitesse du point P du solide (S) en mouvement par rapport à R, à la date t, est la dérivée par
rapport au temps du vecteur position pour un observateur lié à R.
V ( P / R) 
 
d
OP
dt
R
Unité de la norme du vecteur vitesse : m.s-1
Remarque : Le vecteur vitesse V P / R  a même direction que la tangente à la trajectoire du point P dans
le repère R.
V(P/R)
z
P
O
x
Trajectoire de P dans R
y
(S)
Cinématique : Cinématique du solide indéformable
1/13
MECANIQUE
Cours
I.3.Vecteur accélération du point d’un solide.
Le vecteur accélération du point P du solide (S) en mouvement par rapport à R, à la date t, est la dérivée
par rapport au temps du vecteur vitesse pour un observateur lié à R.
( P / R ) 


d
V P / R  R
dt
Unité de la norme du vecteur : m.s-2
I.4.Méthodes de calcul d’une dérivée vectorielle.
Dans les définitions des vecteurs vitesse et accélération, un terme du type

d 
U
dt
R
apparaît. Son calcul
nécessite de distinguer deux cas :

  
Le vecteur U est exprimé dans la base associée au repère R(O; x , y, z ) .



d 

Soient x, y, z les composantes de U dans cette base. Alors U R  x.x  y. y  z.z .
dt

  
 Le vecteur U n’est pas exprimé dans la base associée au repère R(O; x , y, z ) .

d 
Pour calculer U R , on peut soit projeter U dans la base associée à R, soit utiliser un changement de
dt
repère de dérivation. Cette dernière méthode donne un résultat plus condensé.



I.5.Changement de repère de dérivation.
 x
 x1 

  
 
Soit U   y    y1  un vecteur, il existe un vecteur R1 / R  tel que :
 z
 
  R  z1  R1

d 
U
dt
II.
R

d 
 U
dt
R1


 R1 / R   U
Champ des vecteurs vitesses des points d’un solide.
II.1.Solide indéformable.
Une pièce mécanique (S) peut être considérée comme un solide indéformable si quels que soient les
points A et B de (S), la distance AB reste constante au cours du temps.
Cinématique : Cinématique du solide indéformable
2/13
MECANIQUE
Cours
A
AB
B
 A et B  (S), t , AB  cste
Remarque : les solides dont la fonction est de se déformer (ressorts, barres de torsion, …) sont exclus.
II.2.Equivalence solide – repère.
Dans un repère la position relative des axes est invariante. Donc un repère est équivalent à un solide.
Conséquence :
Etudier le mouvement de (S2) par rapport à (S1) est équivalent à étudier le mouvement de R2 lié à (S2)
par rapport à R1 lié à (S1).
On pourra étudier le mouvement d’un point C lié à R2, donc à (S2), bien qu’il ne soit pas dans la pièce.
II.3.Relation entre les vecteurs vitesses de 2 points d’un solide.
Soit un solide (S) en mouvement par rapport à un repère R.
(S)
R
A
O
AB  cste
B
 
d
AB R
en calculant dt
Soient A et B deux points de (S). On exploite
d
d
AB R 
AB S   S / R  AB
dt
On a dt
avec :

d
AB S  0
 AB fixe dans S donc dt
d
d
d
AB R 
OB R  OA R  V B / R   V  A / R 
dt
dt
 AB  OB  OA donc dt
 
 
 
 
 
 
On obtient : V B / R  V  A / R  S / R  AB
Il peut exister une ambiguïté dans la notation lorsque l’on a plusieurs solides. On préfère écrire :
V B  S / R  V  A  S / R  S / R  AB
Remarque : Si le solide S est en liaison pivot d'axe ( P, x) avec comme paramètre de position l'angle ,

alors, S / R   x .
Cinématique : Cinématique du solide indéformable
3/13
MECANIQUE
Cours
z
A

P
y
II.4.Equiprojectivité du champ des vecteurs vitesses.
Soient A et B deux points d’un solide indéformable (S) en mouvement par rapport à un repère R.
On a alors : AB 2  AB. AB
d
AB R
Dérivons cette expression (AB étant constant) : 0  AB.
dt
d
d
Ainsi, si le point O est fixe dans R, on a : AB. OA R  AB. OB R
dt
dt
On en déduit :
 
 
 
V B  S / R.AB  V  A  S / R.AB .
Cette relation traduit l’équiprojectivité du champ des vecteurs vitesses.
Reprenons l'expression définie précédemment : V B  S / R  V  A  S / R  S / R  AB . Si on multiplie
par AB chaque membre de l’égalité, on retrouve la relation d'équiprojectivité.
Interprétation graphique :
Lieu de l'extrémité de V ( B  S / R)
(S)
B
A
R
V ( A  S / R)
II.5.Représentation par un torseur.
Pour connaître les vecteurs vitesses de tous les points d’un solide en mouvement par rapport à un repère
R, ce que l’on appelle le champ des vecteurs vitesses des points d’un solide, il suffit d’avoir :
Le vecteur rotation du mouvement :  S / R
Le vecteur vitesse d’un point du solide (par exemple V ( A  S / R) ).
Le champ des vecteurs vitesses est représenté par un torseur dans lequel on indique ces deux éléments :
Cinématique : Cinématique du solide indéformable
4/13
MECANIQUE
Cours
Terminologie associée à cette notation
 S / R et V ( A  S / R) sont les éléments de réduction du
torseur au point A.
  S / R est la résultante du torseur, indépendante du
point choisi pour écrire les éléments de réduction.
 V ( A  S / R) est le moment du torseur au point A.
Torseur cinématique :
V 
S/R

 S / R



V  A  S / R  A
V 

est appelé torseur cinématique du
mouvement de S/R ou torseur distributeur des
vitesses.
S/R
Remarque : la notation sous forme de torseur ne sert à décrire que les champs de vecteurs équiprojectifs.
II.6.Mouvements particuliers.
II.6.1.Mouvements de translation.



0
S
/
R
Tous les points du solide ont même vecteur vitesse. Donc
.



 
 
 
VS / R   0    0    0 
V  A V  B V P .
Le torseur cinématique s’écrit :
Terminologie :
 Les torseurs à résultante nulle sont appelés torseurs couples.
 La translation est dite rectiligne si la trajectoire de A dans R est une droite, elle est dite circulaire
si la trajectoire de A dans R est un cercle (exemple : parallélogramme déformable).


II.6.2.Mouvements de rotation.


.
A
,
u
Soit un solide (S) en mouvement de rotation par rapport à R autour de l’axe

u
R
A
(S)
O
V 
S/R

 S / R 
  
 
 0  A avec  S / R  u  0 .
Le torseur cinématique s’écrit :
Terminologie :
 Les torseurs dont le moment est nul en un point sont appelés torseurs à résultante ou glisseurs.
Remarques :
 Les éléments de réduction sont les mêmes en tous points de l’axe de rotation.


 S / R 
 S / R 
VS / R        

 0  A  0  P P   A, u .

 L’axe de rotation  A, u  peut se déplacer au cours du temps par rapport à R et à (S).


Cinématique : Cinématique du solide indéformable
5/13
MECANIQUE
Cours
II.7.Champ des vecteurs accélérations des points d’un solide.
Soient A et B deux points d’un solide (S) en mouvement par rapport à un repère R.




 A  S / R  S / R  AB
V
B

S
/
R

V
Nous avons établi :
Dérivons cette expression par rapport au temps dans R.

d 
d 
d 
d
V B  S / R  R 
V A  S / R R 
S / R  R  AB  S / R  
AB R
dt
dt
dt
dt




d 
d

S / R  R  AB  S / R   
AB S  S / R   AB 
Soit B  S / R    A  S / R  
dt
 dt







 

 

AB est fixe dans S.




d 
S / R  R  AB  S / R   S / R   AB
D’où B  S / R    A  S / R  
dt




Le champ des vecteurs accélération des points d’un solide ne peut pas être décrit par un torseur car ce
n’est pas un champ de moment (le double produit vectoriel du dernier terme l'en empêche). La propriété
d’équiprojectivité n’est pas respectée.
II.8.Composition des mouvements.
II.8.1.Composition des vecteurs vitesses.
  
  
Soit un solide (S) en mouvement par rapport à deux repères R1 (O1 ; x1 , y1 , z1 ) et R2 (O2 ; x2 , y2 , z2 ) euxmêmes en mouvement l’un par rapport à l’autre.
Soit un point P de (S), cherchons une relation entre les vecteurs V P / R1  et V P / R2  .
 
 
 
 

d
d
O2 P R1  V O2  R2 / R1   O2 P R2  ( R2 / R1 )  O2 P
dt
dt
soit

V P / R1   V P / R2   V O2  R2 / R1   ( R2 / R1 )  O2 P
V P / R1  
d
d
O1 P R1  O1O2
dt
dt
R1

d’où V P / R1   V P / R2   V P  R2 / R1 
Pour éviter les ambiguïtés, on préfère écrire :
V P  S / R1   V P  S / R2   V P  R2 / R1 
Remarque : le calcul de V P  R2 / R1  ne peut se faire qu’en utilisant le champ des vecteurs vitesses des
points de R2 en mouvement par rapport à R1, car le point P R2 est un point coïncidant avec le point
P S . Pour ce point P R2 , il n’existe pas de vecteur position que l’on puisse dériver pour obtenir
V P  R2 / R1  .
II.8.2.Composition des vecteurs rotations.
Soit un solide (S) en mouvement par rapport à deux repères R1 et R2 .
Cherchons une relation entre les vecteurs (S / R1 ) , (S / R2 ) et ( R2 / R1 ) .

Soit U un vecteur quelconque.
Cinématique : Cinématique du solide indéformable
6/13
MECANIQUE

Cours



d 
d 
U R1  U R2  ( R2 / R1 )  U
dt
dt



d
d 
U R2  U S  ( S / R2 )  U
dt
dt



d
d 
U R1  U S  ( S / R1 )  U
dt
or dt




donc
(S / R1 )  (S / R2 )  ( R2 / R1 )
II.8.3.Composition des torseurs cinématiques.
Soit un solide (S) en mouvement par rapport à deux repères R1 et R2 .

 ( S / R1 )  ( S / R2 )  ( R2 / R1 )

V P  S / R1   V P  S / R2   V P  R2 / R1 
Nous avons établi : 
.
Nous traduisons ces relations par :
V  V  V .
S / R1
S / R2
R2 / R1
Remarques :
 pour sommer des torseurs, les éléments de réduction doivent être exprimés au même point.
 la composition de mouvement peut faire intervenir n repères intermédiaires :
VS / R1  VS / Rn  ...  VR2 / R1 .

 



II.8.4.Composition des accélérations.
  
  
Soit un solide (S) en mouvement par rapport à deux repères R1 (O1 ; x1 , y1 , z1 ) et R2 (O2 ; x2 , y2 , z2 ) euxmêmes en mouvement l’un par rapport à l’autre.
Soit un point P de (S), cherchons une relation entre les vecteurs P S / R1  et P  S / R2  .
P  S / R 2  






d
d
V  P  S / R 2  R2 
V P  S / R1   V P  R1 / R2  R2
dt
dt
d
d
 V P  S / R1  R1  ( R1 / R2 )  V ( P  S / R1 )  V O1  R1 / R2   PO1  ( R1 / R2 ) R2
dt
dt
d
 P  S / R1   ( R1 / R2 )  V ( P  S / R1 )  O1  R1 / R2  
PO1  ( R1 / R2 ) R2
dt
d
 P  S / R1   O1  R1 / R2  
( R1 / R2 ) R2  O1 P  ( R1 / R2 )  V ( P  S / R1 )
dt
d

 ( R1 / R2 )   O1 P R1  ( R1 / R2 )  O1 P 
 dt







 
 P  S / R1   P  R1 / R2   2( R1 / R2 )  V ( P  S / R1 )

Le deuxième terme est appelé accélération d'entraînement du repère R1 par rapport au repère R2
( P  R1 / R2   O1  R1 / R2  





d
( R1 / R2 ) R2  O1 P  ( R1 / R2 )  ( R1 / R2 )  O1 P ).
dt
Le dernier terme 2( R1 / R2 )  V ( P  S / R1 ) est appelé accélération de Coriolis.
Cinématique : Cinématique du solide indéformable
7/13
MECANIQUE
III.
Cours
Vecteur vitesse de glissement en un point de contact entre
deux solides.
Définition :
Soient deux solides (S1) et (S2) en contact en
un point P (le contact est dit ponctuel). Le
vecteur vitesse de glissement au point P du
solide (S2) par rapport au solide (S1) est le
vecteur :
(S2)
V  P  S 2 / S 1
P
V P  S 2 / S1
(S1)
Propriété.
Le vecteur vitesse de glissement V P  S 2 / S1 est parallèle au plan tangent commun en P à (S1) et (S2).
Remarques :
 le plan tangent en un point P à un solide (S) peut être obtenu à partir des tangentes en P à deux
courbes tracées sur (S) et passant par P.
P
(S)
C1

C2
pour que deux solides (S1) et (S2) soient en contact en un point P, il faut que les plans tangents en
P à (S1) et (S2) soient confondus. On parle alors d’un plan tangent commun ().
Définition :
On dira que (S2) roule sans glisser sur (S1) en P si la vitesse de glissement est nulle :

V P  S 2 / S 1  0
III.1.Vecteurs rotation de roulement et rotation de pivotement en un point de
contact entre deux solides.
Soient deux solides (S1) et (S2) en contact ponctuel en un point P. Soit () le plan tangent commun en P
à (S1) et (S2).
Cinématique : Cinématique du solide indéformable
8/13
MECANIQUE
Cours
n ( S 2 / S1 )
( S 2 / S 1 )
(S2)
t ( S 2 / S1 )
P

(S1)
Soit ( S 2 / S 1 ) le vecteur rotation du mouvement de (S2) par rapport à (S1).
On peut alors écrire : ( S 2 / S 1 )  n ( S 2 / S 1 )  t ( S 2 / S 1 )
Avec
n ( S 2 / S 1 ) perpendiculaire au plan ()
t ( S 2 / S 1 ) parallèle au plan ()
n ( S 2 / S 1 ) est appelé vecteur rotation de pivotement en P du mouvement de (S2) par rapport à (S1)
et t ( S 2 / S 1 ) est vecteur rotation de roulement en P du mouvement de (S2) par rapport à (S1).
Remarque : les composantes de pivotement et de roulement du vecteur rotation dépendent du point de
contact contrairement au vecteur rotation qui est indépendant du point considéré.
Autre notation utilisée : n ( S 2 / S1 )   p ( S 2 / S1 ) et t ( S 2 / S 1 )  r ( S 2 / S 1 )
III.2.Mouvements plan sur plan.
Définition :
Soient deux solides (S1) et (S2) en mouvement l’un par rapport à l’autre. Le mouvement de (S2) par
rapport à (S1) est dit plan, ou plan sur plan, s’il existe un plan (2) lié à (S2) qui reste constamment en
coïncidence avec un plan (1) lié à (S1).
Exemples : caméra, robot à parallélogramme déformable, suspension de moto, ouvre portail, etc.
III.2.1.Torseur cinématique d’un mouvement plan sur plan.
On a un des vecteurs de base qui est commun aux deux repères donc le paramétrage de la position de (S2)
par rapport à (S1) nécessite d’introduire 3 paramètres. On retient x, y,  .
Cinématique : Cinématique du solide indéformable
9/13
MECANIQUE
Cours

y2

y1

x2

O2
O1
y

x1
x
Le torseur cinématique du mouvement de (S2) par rapport à (S1) s’écrit :




 S 2 / S1  .z1
VS 2 / S1   


V O2  S 2 / S1  x.x1  y. y1  O2


Conclusions :
 le vecteur rotation est perpendiculaire aux plans (1) et (2).
 les vecteurs vitesses sont tous parallèles aux plans (1) et (2).
III.2.2.Méthode de détermination graphique
a. Centre instantané de rotation.
Soit Δ l’axe central du torseur cinématique du mouvement de (S2) par rapport à (S1) ou axe instantané de
rotation. Δ est l’ensemble des points H définis par :
 S 2 / S1  V O2  S 2 / S1
O2 H 
 k . S 2 / S1  O2 I 2 / 1  k. S 2 / S1
2
 S 2 / S1
Le point I2/1 est l’intersection de l’axe central avec les plans (1) et (2). Ce point est appelé Centre
Instantané de Rotation du mouvement de (S2) par rapport à (S1). On le note CIR.
Calcul du moment central : V I 2 / 1  S 2 / S1 est colinéaire à ( S 2 / S 1 ) et V I 2 / 1  S 2 / S1 est parallèle

V I 2 / 1  S 2 / S1  0
aux plans (1) et (2). Donc
Conséquences : A un instant donné,

 si   0 , alors le mouvement de (S2) par rapport à (S1) est un mouvement de rotation de centre
I2/1 (l’étude est limitée au plan du mouvement). (I2/1 n'est pas fixe dans le temps.)

 si   0 , alors le mouvement de (S2) par rapport à (S1) est un mouvement de translation et le
point I2/1 est rejeté à l’infini dans la direction perpendiculaire à celle de la translation.
Recherche graphique du CIR : Soit (S) un solide en mouvement par rapport à R. Soit V ( A  S / R) le
vecteur vitesse du point A.
Cinématique : Cinématique du solide indéformable
10/13
MECANIQUE
Cours
Lieu du CIR de (S)/R
(S)
A
V ( A  S / R)
R
Le CIR IS/R du mouvement de (S) par rapport à R est sur la perpendiculaire au vecteur vitesse passant par

V
(
A

S
/
R
)


S / R  I S / R A et donc I S / R A perpendiculaire à V ( A  S / R) .
le point considéré. En effet,
Exemple de détermination du CIR et d’utilisation : échelle glissant le long d’un mur.

y1
Une échelle 2 repose sur le sol sur son
extrémité A et s’appuie contre un mur sur son
autre extrémité B.
Soit V ( A  2 / 1) le vecteur vitesse du point A.
B
Déterminer le CIR du mouvement de 2/1 : I2/1.
I2/1 est à l’intersection de la verticale passant
par A et de l’horizontale passant par B (la
trajectoire de B/1 est verticale).
Déterminer graphiquement V ( B  2 / 1) .

V
(
A

2
/
1
)


2 / 1  I 2 / 1 A et
On sait que :

V ( B  2 / 1)   2 / 1  I 2 / 1 B
Donc :
V ( A  2 / 1)
V ( B  2 / 1)

 2 /1 

I 2 /1 A
I 2 /1B
2
1
V ( A  2 / 1)
O1

x1
A

y1
I2/1
B

V ( B  2 / 1)
2
1
Cette égalité se traduit par des triangles
semblables.


x1
O1
A
V ( A  2 / 1)
b. Equiprojectivité.
Conditions d’application de la méthode :
 Connaître entièrement le vecteur vitesse d’un point d’un solide.
 Connaître la direction du vecteur à déterminer.
Cinématique : Cinématique du solide indéformable
11/13
MECANIQUE
Cours
Exemple :

y1
Retrouver V ( B  2 / R) et V (M  2 / R) par la
méthode de l'équiprojectivité.
B
2
1
M
V ( A  2 / 1)
O1

x1
A
III.2.3. Mouvement plan sur plan de trois solides
Soient (S1), (S2) et (S3) trois solides en mouvement plan sur plan.

On note I2/1, I3/2 et I1/3 les centres instantanés de rotation des mouvements relatifs et  S 2 / S1  2 / 1 z ,


 S 3 / S 2  3 / 2 z et  S1/ S 3  1/ 3 z les vecteurs rotations associés.



V
I

S
1
/
S
2

0
2
/
1
Nous avons, par définition :





V
I

S
1
/
S
3

V
I

S
3
/
S
2

0
2 /1
2 /1
Soit :
en appliquant la composition des mouvements.



 S 1 / S 3  I1 / 3 I 2 / 1   S 3 / S 2  I 3 / 2 I 2 / 1  0


z  1/ 3 I1/ 3 I 2 / 1  3 / 2 I 3 / 2 I 2 / 1  0
Donc :


I
I


I
I

0
1
/
3
1
/
3
2
/
1
3
/
2
3
/
2
2
/
1
D’où


1/ 3
I I
  3 / 2 2 /1

I1 / 3 I 2 / 1
Conclusion : Les CIR des mouvements relatifs, I2/1, I3/2 et I1/3, sont alignés et 3 / 2
Exemple 1
I2/0
1
3
I2/3
I3/1
2
I2/1
I3/0
I1/0
0
La propriété d’alignement des CIR est utilisée pour déterminer les CIR des mouvements de 2/0 et de 3/1.
Exemple 2 :
Cinématique : Cinématique du solide indéformable
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MECANIQUE
Cours
Soient deux roues articulées par
rapport à un bâti et qui roulent sans
glisser l’une sur l’autre.
1
I3/1
Soient r1 et r2 les rayons des roues 1

et 2 et on note  S1/ S 3  1/ 3 z et

 S 2 / S 3  2 / 3 z les vecteurs rotations.
Le CIR du mouvement de 2/1 est le
point de contact entre les roues car
elles roulent sans glisser l’une sur
l’autre.
I2/1
1/ 3
I I
  3 / 2 2 /1

I1 / 3 I 2 / 1
Nous avons : 3 / 2
1 / 3
r2

 r1
Soit 3 / 2
1 / 3
r2

r1
Donc  2 / 3
3
I2/3
2
L’exemple présenté ici (base et roulante étant deux cercles) correspond au cas des engrenages
cylindriques. Le profil Σ1 retenu est une développante de cercle et a pour enveloppe aussi une
développante de cercle. Cet avantage permet de standardiser les outillages et donc de réduire les coûts de
fabrication.
Pour assurer la continuité de la transmission du mouvement, plusieurs profils conjugués identiques sont
utilisés. On parle alors de dents. Elles sont symétriques pour être utilisées dans les deux sens de rotation.
Les dents sont régulièrement
espacées d’une distance appelée le
pas.
Le pas est mesuré sur la base ou la
pas
roulante. On obtient donc la
relation :
Z . pas  2 .r
où Z est le nombre de dents
On utilise en pratique la grandeur
r
pas
m
 appelée module de la
denture.
m.Z
r
2
On a alors :
Pour un engrenage, constitué nécessairement de deux pignons ayant même module, le rapport des vitesses
de rotation ou rapport de réduction de l’engrenage n’est fonction que des nombres de dents :
1 / bâti r 2 Z 2
1 / bâti
r2
Z2


 
 2 / bâti
r1
Z1 pour un engrenage extérieur et  2 / bâti r1 Z1 pour un engrenage intérieur.
Cinématique : Cinématique du solide indéformable
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