II.7. Champ des vecteurs accélérations des points d`un solide.

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Cinématique : Cinématique du solide indéformable
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Cinématique du solide indéformable
Objectif : Etudier les mouvements des parties opératives indépendamment des causes qui les produisent.
I. Rappels de cinématique du point.
I.1.Vecteur position d’un point d’un solide.
Soit (S) un solide en mouvement par rapport à un repère
),,;( zyxOR 
orthonormé direct, le vecteur
position du point P, du solide (S), dans le repère R, à la date t est le vecteur :
OP
.
Trajectoire de P dans R
O
P
(S)
x
z
y
Unité de la norme du vecteur position : m.
Remarque : Au cours du mouvement, le point P du solide (S) décrit dans le repère R une courbe appelée
trajectoire du point P dans le repère R.
I.2.Vecteur vitesse du point d’un solide.
Le vecteur vitesse du point P du solide (S) en mouvement par rapport à R, à la date t, est la dérivée par
rapport au temps du vecteur position pour un observateur lié à R.
R
OP
dt
d
RPV )/(
Unité de la norme du vecteur vitesse : m.s-1
Remarque : Le vecteur vitesse
RPV /
a même direction que la tangente à la trajectoire du point P dans
le repère R.
Trajectoire de P dans R
O
P
(S)
x
z
y
V(P/R)

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I.3.Vecteur accélération du point d’un solide.
Le vecteur accélération du point P du solide (S) en mouvement par rapport à R, à la date t, est la dérivée
par rapport au temps du vecteur vitesse pour un observateur lié à R.
R
RPV
dt
d
RP /)/( 
Unité de la norme du vecteur : m.s-2
I.4.Méthodes de calcul d’une dérivée vectorielle.
Dans les définitions des vecteurs vitesse et accélération, un terme du type
R
U
dt
d
apparaît. Son calcul
nécessite de distinguer deux cas :
 Le vecteur
U
est exprimé dans la base associée au repère
),,;( zyxOR 
.
Soient
zyx ,,
les composantes de
U
dans cette base. Alors
zzyyxxU
dt
dR
... 
.
 Le vecteur
U
n’est pas exprimé dans la base associée au repère
),,;( zyxOR 
.
Pour calculer
R
U
dt
d
, on peut soit projeter
U
dans la base associée à R, soit utiliser un changement de
repère de dérivation. Cette dernière méthode donne un résultat plus condensé.
I.5.Changement de repère de dérivation.
Soit
1
1
1
1
RR z
y
x
z
y
x
U
un vecteur, il existe un vecteur
RR /
1
tel que :
URRU
dt
d
U
dt
dRR
  /
1
1
II. Champ des vecteurs vitesses des points d’un solide.
II.1.Solide indéformable.
Une pièce mécanique (S) peut être considérée comme un solide indéformable si quels que soient les
points A et B de (S), la distance AB reste constante au cours du temps.

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A
B
AB
csteABt , (S), B et A
Remarque : les solides dont la fonction est de se déformer (ressorts, barres de torsion, …) sont exclus.
II.2.Equivalence solide – repère.
Dans un repère la position relative des axes est invariante. Donc un repère est équivalent à un solide.
Conséquence :
Etudier le mouvement de (S2) par rapport à (S1) est équivalent à étudier le mouvement de R2 lié à (S2)
par rapport à R1 lié à (S1).
On pourra étudier le mouvement d’un point C lié à R2, donc à (S2), bien qu’il ne soit pas dans la pièce.
II.3.Relation entre les vecteurs vitesses de 2 points d’un solide.
Soit un solide (S) en mouvement par rapport à un repère R.
A
B
(S)
R
O
Soient A et B deux points de (S). On exploite
csteAB 
en calculant
R
AB
dt
d
On a
ABAB
dt
d
AB
dt
dRS
SR  /
avec :
AB
fixe dans S donc
0
S
AB
dt
d
OAOBAB 
donc
RAVRBVOA
dt
d
OB
dt
d
AB
dt
dRRR // 
On obtient :
ABRAVRBV RS  / //
Il peut exister une ambiguïté dans la notation lorsque l’on a plusieurs solides. On préfère écrire :
ABRSAVRSBV RS  / //
Remarque : Si le solide S est en liaison pivot d'axe
),( xP
avec comme paramètre de position l'angle ,
alors,
xRS
 /
.

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y
z
P
A
II.4.Equiprojectivité du champ des vecteurs vitesses.
Soient A et B deux points d’un solide indéformable (S) en mouvement par rapport à un repère R.
On a alors :
ABABAB .
2
Dérivons cette expression (AB étant constant) :
R
AB
dt
d
AB.0 
Ainsi, si le point O est fixe dans R, on a :
RR OB
dt
d
ABOA
dt
d
AB .. 
On en déduit :
ABRSAVABRSBV ././ 
.
Cette relation traduit l’équiprojectivité du champ des vecteurs vitesses.
Reprenons l'expression définie précédemment :
ABRSAVRSBV RS  / //
. Si on multiplie
par
AB
chaque membre de l’égalité, on retrouve la relation d'équiprojectivité.
Interprétation graphique :
A
)/( RSAV 
R
(S)
B
Lieu de l'extrémité de
)/( RSBV 
II.5.Représentation par un torseur.
Pour connaître les vecteurs vitesses de tous les points d’un solide en mouvement par rapport à un repère
R, ce que l’on appelle le champ des vecteurs vitesses des points d’un solide, il suffit d’avoir :
Le vecteur rotation du mouvement :
RS /
Le vecteur vitesse d’un point du solide (par exemple
)/( RSAV 
).
Le champ des vecteurs vitesses est représenté par un torseur dans lequel on indique ces deux éléments :

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Torseur cinématique :
A
RS
RS RSAV 
/
/
/
V
Terminologie associée à cette notation
RS /
et
)/( RSAV 
sont les éléments de réduction du
torseur au point A.
RS /
est la résultante du torseur, indépendante du
point choisi pour écrire les éléments de réduction.
)/( RSAV 
est le moment du torseur au point A.
RS /
V
est appelé torseur cinématique du
mouvement de S/R ou torseur distributeur des
vitesses.
Remarque : la notation sous forme de torseur ne sert à décrire que les champs de vecteurs équiprojectifs.
II.6.Mouvements particuliers.
II.6.1.Mouvements de translation.
Tous les points du solide ont même vecteur vitesse. Donc
0
/
 RS
.
Le torseur cinématique s’écrit :
PBA
RS VVV 
000
/
V
.
Terminologie :
 Les torseurs à résultante nulle sont appelés torseurs couples.
 La translation est dite rectiligne si la trajectoire de A dans R est une droite, elle est dite circulaire
si la trajectoire de A dans R est un cercle (exemple : parallélogramme déformable).
II.6.2.Mouvements de rotation.
Soit un solide (S) en mouvement de rotation par rapport à R autour de l’axe
uA  ,
.
A
(S)
R
O
u
Le torseur cinématique s’écrit :
A
RS
RS 
0/
/
V
avec
0
/
 u
RS
.
Terminologie :
 Les torseurs dont le moment est nul en un point sont appelés torseurs à résultante ou glisseurs.
Remarques :
 Les éléments de réduction sont les mêmes en tous points de l’axe de rotation.
P
RS
A
RS
RS 
00 //
/
V
uAP  ,
.
 L’axe de rotation
uA  ,
peut se déplacer au cours du temps par rapport à R et à (S).