Vecteur vitesse

1ère partie : MECANIQUE
Cinématique
1- Repère d’espace- Repère de temps
Pour étudier le mouvement d’un point matériel, appelé mobile, il faut préciser
deux repères :
1.1- Repère d’espace
Le repère d’espace attaché à un référentiel choisi est un repère permettant
d’observer le mouvement ou l’immobilité d’un point. Il est représenté par l’un
des repères cartésiens suivants : ) utilisant la coordonnée x, où
interviennent les coordonnées (x,y) et faisant intervenir les coordonnées
(x,y,z).
1.2- Repère de temps
Le repère de temps est constitué d’un instant origine correspondant au début du
mouvement et d’une unité de temps : la seconde (s). Sa coordonnée t, appelée
date, représente la valeur algébrique d’un instant.
t >0 : pour un mouvement après la date t =0 ; t <0 : pour un mouvement avant
la date
t =0.
2- Repère de calcul
Le repère de calcul est un repère dans lequel on exprime le vecteur position
, le vecteur vitesse et le vecteur accélération .
Il peut être aussi utilisé pour projeter une relation vectorielle. C’est pourquoi, il
est aussi appelé repère de projection.
2.1- Repère d’espace
Le repère d’espace est un repère fixe utilisé comme repère de calcul lorsque la
trajectoire du mobile est rectiligne ou parabolique.
2.2- Repère de Frênet
Le repère de Frênet est un repère orthonormé lié au mobile M et que l’on note
par .
: vecteur unitaire tangent à la trajectoire et toujours orienté suivant le sens
positif choisi.
: vecteur unitaire normale à et toujours orienté vers le centre de la
trajectoire circulaire.
Il est utilisé comme repère de calcul lorsque la trajectoire du mobile est
circulaire. Dans ce cas, le repère d’observation et le repère de calcul sont
séparés.
3- Représentations des vecteurs position , vitesse et
accélération selon la forme de la trajectoire.

4- Paramètres de position
Les paramètres de position permettent de repérer la position d’un point M à une
date t.
4.1- Vecteur position
a) Dans le repère :
- Si le point M est au repos dans , ses coordonnées cartésiennes x et y
sont indépendantes du temps.
- Si le point M est en mouvement dans , ses coordonnées x et y en
fonction du temps t représentent les équations horaires de son
mouvement :
L’équation de la trajectoire du mobile est obtenue en cherchant une
relation indépendante du temps entre x et y.
Exemple : Dans le repère cartésien ,
Equation horaire du mobile :
Coordonnées du vecteur position à t=0 :
Equation de la trajectoire :
D’où soit (équation d’une parabole dont la
concavité tourne vers les y<0).
b) Dans le repère de Frénet :
où R : rayon de la trajectoire circulaire.

4.2- Abscisse curviligne et abscisse angulaire θ
Après avoir orienté la trajectoire circulaire et choisi sur
celui-ci une origine Ω, on peut définir :
- L’abscisse curviligne du point mobile M : (à
t=0, )
- L’abscisse angulaire ), exprimée en
radians (rad) où vecteur fixe et vecteur
mobile (à t=0, )<0)
Loi horaire du mouvement : ou
Relation entre et : où

5- Vecteur vitesse
5-1- Définition et caractéristiques
Par définition, le vecteur vitesse , à la date t, d’un point M en mouvement par
rapport à un repère d’observation (O, , ) attaché à un référentiel choisi est égal
à la dérivée par rapport à t du vecteur position de ce point.
où opérateur dérivée par rapport à t.
Le vecteur vitesse qui décrit la variation du vecteur position a les
caractéristiques suivantes :
 Origine : position occupée par le mobile à la date t ;
 Direction : celle de la trajectoire rectiligne ou celle de la
tangente à la trajectoire non rectiligne (parabolique ou
circulaire) ;
 Sens : celui du mouvement ;
 Valeur :
5-2- Expression analytique
a) Dans le repère fixe
avec
La valeur
Exemple :
dans .
Vecteur vitesse
or et
Valeur de à une date t quelconque :
A t=0,

b) Dans le repère de Frénet
où
(ici ar le mouvement suit l’orientation de la trajectoire.
La valeur
Remarque : Relation entre vitesse tangentielle et vitesse angulaire
par dérivation car R constant.
Comme , on a avec en m.s-1,
R en m et en rad.s-1
6- Vecteur accélération
6-1- Définition et caractéristiques
Par définition, le vecteur accélération à l’instant t d’un point M en mouvement
dans le repère d’observation lié à un référentiel choisi est égal à la dérivée
par rapport à t du vecteur vitesse à cet instant :
que l’on note encore, puisque : où : opérateur dérivée
seconde par rapport à t.
Le vecteur accélération qui décrit la variation du vecteur vitesse possède les
caractéristiques suivantes :
Origine : point occupé par le mobile à la date t.
Direction : celle de la trajectoire rectiligne ou toujours placé du côté concave de la
trajectoire non rectiligne (parabolique ou circulaire).
Sens :
 et de même sens si le mouvement est accéléré :
 et de sens contraire si le mouvement est retardé :