Théorème de Fermat et applications

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Petit théorème de Fermat et applications.
Petit théorème de Fermat :
Si p est un nombre premier, alors pour tout entier n, on a :
p
n n p
.
Démonstration 1:
 Si
p2
:
n n n n
21  
bg
est le produit de deux entiers consécutifs, donc l’un des deux est pair, de
sorte que
( 1) 0 2nn
soit encore
22nn
.
 Si p est impair : on fait une récurrence sur n :
 Pour
n n 0 1 et
, le résultat est immédiat.
 Pour
n2
, on a :
n n n
ppp
k k
k
k p
   F
H
GI
K
J
1 1
1
1
bgC
, d'après le binôme de Newton.
Or, pour
k p 1 1;
,
,k
p
C
est divisible par p.
En effet,
k p
p
kp k
C C
1 1
, donc p divise
k
p
kC
. Or p est premier, donc premier avec k < p , donc p divise
Cp
k
pour
k1
( théorème de Gauss).
Par hypothèse de récurrence, on a :
n n p
p
, d'autre part :
C
= -
p
k k
k
k p n p
1
10
, donc :
n n p
p
  1 1
bg
En conclusion
p
n n p
.
Démonstration 2 :
On procédera comme suit :
a) On montrera que, si n est divisible par p, alors
p
nn
est divisible par p.
Si
n pn
, alors
1
()
p p p
n n p p n n
est un multiple de p.
b) Si n n'est pas divisible par p, on considère les
1p
entiers suivants :
, 2 , 3 , ,( 1)n n n p n
ainsi que
leurs restes dans la division euclidienne par p, notés :
1321 ,,,, p
rrrr 
.
On montrera qu'aucun de ces restes n'est nul, (ce sont donc des entiers compris entre 1 et
1p
.) et qu'il
n'y a pas deux de ces restes égaux :
 Si n n'est pas divisible par p, p est premier avec n et si un reste de la division par p de
kn
était nul,
d'après le théorème de Gauss, p devrait diviser k. C'est impossible puisque
11  pk
.
 Si les deux restes de la division par p de
1
kn
et
2
kn
étaient égaux, alors la différence
1 2 1 2
()k n k n k k n  
est divisible par n.
Si n n'est pas divisible par p, p est premier avec n et d'après le théorème de Gauss, p doit diviser
21 kk 
. Or
11 1 pk
et
11 2 pk
, donc
2)2( 21  pkkp
.
On en déduit
21 kk 
; les nombres qui ont le même reste sont forcément égaux.
En multipliant membre à membre les congruences :
1
n r p
,
2
2n r p
,
3
3n r p
, ...,
1
( 1) p p n r p
, on montrera que :
1
( 1) ! ( 1) !
p
p n p p
, puis à l'aide du théorème de Gauss que
11 p
np
, et donc que :
p
n n p
.

2
 Les restes étant les nombres compris entre 1 et
1p
écrits dans un certain ordre, leur produit est
bien
!)1( p
. L'égalité
1
( 1) ! ( 1) !
p
p n p p
signifie que p divise
1
( 1) ! 1
p
pn
.
p étant premier avec
!)1( p
, le théorème de Gauss indique que p divise
11 p
n
c'est-à-dire :
11 p
np
et donc aussi
p
n n p
.
En conclusion
p
nn
est divisible par p, que n soit ou non divisible par p.
Remarque : il existe plus de 100 démonstrations de ce théorème.
Corollaire : Si p est un nombre premier et si
1np
, alors
11 p
np
.
Démonstration :
D’après le théorème,
110 pp
n n n n p
. Or
1np
donc p divise
11 p
n
.
Quelques exercices d’arithmétique.
Exercice 1 : Pour tout entier naturel n,
3 5 1
5/ 2 3
nn
.
Exercice 2 : Pour tout entier n, 30 /
5
nn
.
Exercice 3 : Montrer que quel que soit s   , il existe un entier n (n    ) tel que
21
n
admette au moins s diviseurs premiers distincts.
Exercice 4 : résolution d’équation affine modulo p.
Soient a, b et p des entiers. Si p est un nombre premier et si
1ap
, les solutions à l’équation
.0a x b p
sont de la forme
2
..
p
ba k p
où k .
Réciproque fausse du théorème de Fermat : Nombres de Carmichael.
Un entier
n2
est appelé nombre de Carmichael si n n’est pas premier et si pour tout entier a premier
avec n,
11 n
an
.
Propriété : Montrer que si
12
... k n p p p
( où les
pi
sont des nombres premiers distincts) et si
(
pi
- 1) divise (n - 1) pour tout i, alors n est un nombre de Carmichael.
Application : Montrer que 561 est un nombre de Carmichael.
Solution : Soit a premier avec n alors pour tout i,
pi
ne divise pas a de sorte que pour tout i
11
i
pi
ap
. Or
pi
- 1 divise n -1 donc
11 ni
ap
soit encore
pi
divise
11 n
a
pour tout i.
Les nombres
pi
étant premiers entre eux deux à deux, nous obtenons
12
... k n p p p
divise
11 n
a
soit encore
11 n
an
.
561=3.11.17 et 2 divise 560, 10 divise 560, 16 divise 560 donc 561 est un nombre de Carmichael.
Remarque : On montre que la réciproque de cette propriété est vraie et que tout nombre de Carmichael
possède au moins trois facteurs premiers. 561 est le plus petit nombre de Carmichael, les suivants étant
1105, 1729, 2465.
On sait depuis peu qu’il existe une infinité de nombres de Carmichael (février 1992).

3
Extension du petit théorème de Fermat.
Théorème : Soient p et q deux nombres premiers et n un entier tel que
1n pq
alors
( 1)( 1) 1 pq
n pq
.
Démonstration :
1n pq
entraîne
1np
et
1nq
. En effet soit d un diviseur commun à n et p alors d divise n et
pq donc d divise
1n pq
donc d = 1. On raisonne de même pour q.
1np
et p premier entraîne :
11[ ] p
np
soit :
( 1)( 1) 1 pq
np
. De même :
( 1)( 1) 1 pq
nq
.
Ainsi p et q divisent
( 1)( 1) 1 pq
n
. p et q étant premiers donc premiers entre eux le produit pq divise
( 1)( 1) 1 pq
n
soit
( 1)( 1) 1 pq
n pq
.
Remarque :1) Le cryptage à clef publique-clef privée (cryptage RSA) repose entièrement sur ce
théorème.
2) Une application directe de ce théorème est la résolution de l’équation
.0a x b pq
où p et q sont deux nombres premiers et
1a pq
.
(Solution :
( 1)( 1) 1
.pq x ba pq
)
Test de Fermat
Le petit théorème de Fermat énonce que, si p est premier, et si a n'est pas un multiple de p :
a p-1  1 [p]
Pour tester si n est premier, on peut donc choisir a < n (a est appelé base du test), par exemple a = 2, et
calculer an-1 [n] ; si le résultat est différent de 1, n est certainement composite ; par contre, on ne peut rien
conclure de façon sûre si le résultat vaut 1, car la réciproque du petit théorème de Fermat est fausse : il y a
seulement une assez forte probabilité pour que n soit premier. En recommençant le test pour d'autres
valeurs de la base a on améliore en général fortement la probabilité d'obtenir une réponse correcte,
lorsque n semble premier.
Lorsque a n-1  1 [n], avec n composite, on dit que a est un menteur pour n, ou que n est pseudo-premier
pour la base a. Lorsque n est pseudo premier pour tout nombre a, n est appelé nombre de Carmichael
(voir ci-dessus).
Exemples : Les nombres pseudo-premiers inférieurs à 2000 :
Pour la base 2 : 341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905.
Pour la base 3 : il ne reste que 561, 1105, et 1729.
Ces trois derniers nombres sont des nombres de Carmichael et passent le test de Fermat pour toute
base a.
Ainsi il y a 3 chances sur 2000 que le test de Fermat se trompe sur la primalité d’un nombre
inférieur à 2000.
L’algorithme du test de Fermat est très rapide. La plupart des logiciels de calcul formel utilisent cette
méthode probabiliste ( le test de Fermat) combinée avec d’autres tests probabilistes comme celui de
Lucas.