Nombres de Carmichaël

Nombres de Carmichaël
Petit théorème de Fermat : Si est premier, alors
Variante : Si est premier, alors
1;
1 ,
,
.
1
On peut s’interroger sur la réciproque : Existe-t-il des nombres qui ne seraient pas premiers et qui vérifieraient malgré
tout cette propriété ? En fait il suffit de vérifier que cela fonctionne pour tout nombre premier avec (cela étant alors
induit pour les autres nombres).
Un nombre de Carmichaël est un nombre non premier tel que pour tout nombre
nombres sont aussi appelés « menteurs de Fermat ».
premier avec ,
1
. Ces
L'existence de tels nombres pseudo-premiers est ce qui empêche d'utiliser le test de primalité de Fermat pour prouver
qu'un nombre est premier. En effet, si on trouve un nombre entre 1 et
1, tel que
1 , alors, n’est pas
premier. Réciproquement, un nombre qui vérifierait la propriété pour tout nombre n’est pas assuré d’être premier.
Cela constitue néanmoins un premier assez efficace pour trouver des candidats à la primalité, les nombres de
Carmichaël étant peu nombreux (plus les nombres deviennent grands et plus les nombres de Carmichael deviennent
« rares »). (algorithme Xcas )
Une caractérisation des nombres de Carmichael est donnée par le théorème de Korselt.
Théorème (Korselt, 1899) — Un entier positif composé n est un nombre de Carmichael si et seulement si aucun carré de
nombre premier ne divise (on dit que est quadratfrei (sans carré)) et pour chaque diviseur premier de , le nombre
1 divise
1.
Il découle de ce théorème que tous les nombres de Carmichael sont des produits d'au moins trois nombres premiers
impairs différents.
Korselt fut le premier à observer ces propriétés, mais il n'a pas pu trouver d'exemples de nombre de Carmichael. En
1909, Robert Daniel Carmichael trouva le plus petit de ces nombres, 561, et ceux-ci furent nommés en son honneur.
Ce nombre de Carmichaël 561 peut être vérifié avec le théorème de Korselt. Effectivement, 561
3 11 17 n'est
pas divisible par un carré de nombre premier, et 3 1 2 ; 11 1 10 et 17 1 16 sont tous trois des diviseurs
de 560.
Les premiers nombres de Carmichael sont :
561
1 105
1 729
2 465
2 821
6 601
8 911
3
5
7
5
7
7
7
11 17
13 17
13 19
7 29
13 31
23 41
19 67