Nombres de Carmichaël

Nombres de Carmichaël
Petit théorème de Fermat : Si  est premier, alors   , 
.
Variante : Si  est premier, alors   1 ;   1,  1
On peut s’interroger sur la réciproque : Existe-t-il des nombres  qui ne seraient pas premiers et qui vérifieraient malgré
tout cette propriété ? En fait il suffit de vérifier que cela fonctionne pour tout nombre  premier avec  (cela étant alors
induit pour les autres nombres).
Un nombre de Carmichaël est un nombre  non premier tel que pour tout nombre  premier avec ,  1
. Ces
nombres sont aussi appelés « menteurs de Fermat ».
L'existence de tels nombres pseudo-premiers est ce qui empêche d'utiliser le test de primalité de Fermat pour prouver
qu'un nombre est premier. En effet, si on trouve un nombre  entre 1 et 1, tel que  1
, alors,  n’est pas
premier. Réciproquement, un nombre  qui vérifierait la propriété pour tout nombre  n’est pas assuré d’être premier.
Cela constitue néanmoins un premier assez efficace pour trouver des candidats à la primalité, les nombres de
Carmichaël étant peu nombreux (plus les nombres deviennent grands et plus les nombres de Carmichael deviennent
« rares »). (algorithme Xcas )
Une caractérisation des nombres de Carmichael est donnée par le théorème de Korselt.
Théorème (Korselt, 1899) — Un entier positif composé n est un nombre de Carmichael si et seulement si aucun carré de
nombre premier ne divise  (on dit que  est quadratfrei (sans carré)) et pour chaque diviseur premier  de , le nombre
1 divise 1.
Il découle de ce théorème que tous les nombres de Carmichael sont des produits d'au moins trois nombres premiers
impairs différents.
Korselt fut le premier à observer ces propriétés, mais il n'a pas pu trouver d'exemples de nombre de Carmichael. En
1909, Robert Daniel Carmichael trouva le plus petit de ces nombres, 561, et ceux-ci furent nommés en son honneur.
Ce nombre de Carmichaël 561 peut être vérifié avec le théorème de Korselt. Effectivement, 561  3  11  17 n'est
pas divisible par un carré de nombre premier, et 3  1  2 ; 11  1  10 et 17  1  16 sont tous trois des diviseurs
de 560.
Les premiers nombres de Carmichael sont :
561  3  11  17
1 105  5  13  17
1 729  7  13  19
2 465  5  7  29
2 821  7  13  31
6 601  7  23  41
8 911  7  19  67