Lycée Louis-Le-Grand, Paris MPSI 4 – Mathématiques 2014/2015 A. Troesch Algèbre 3 – Arithmétique Exercice 1 – Soit a et b tels que 7 divise a2 + b2 . Montrer que 7 divise a et 7 divise b. Comment généraliser ? Exercice 2 – Soit (a, b, c) ∈ N3 tel que 9 divise a3 + b3 + c3 . Montrer que 3 divise a, b ou c. Exercice 3 – (CCP) Déterminer la valuation 2-adique de 2n Y k. k=n+1 Exercice 4 – (CCP) Quel est le reste de la division euclidienne de 10 X k 1010 par 7 ? k=1 Exercice 5 – n 1. Soit, pour tout n ∈ N, Fn = 22 + 1, le n-ième nombre de Fermat. Montrer que pour tout (m, n) ∈ N2 tel que m 6= n, Fm ∧ Fn = 1. 2. Donner une preuve, basée sur la question 1, du fait qu’il existe une infinité de nombre premiers. Exercice 6 – Démontrer que pour tout n ∈ N∗ : 1. 106n + 103n − 2 ≡ 0 [111] 2. 72n+1 − 48n − 7 ≡ 0 [288] Exercice 7 – Démontrer que pour tout n ∈ N : n n 1. 42 + 22 + 1 ≡ 0 [7] 2. 22n + 15n − 1 ≡ 0 [9]. Exercice 8 – Soit (a, b, c) ∈ (N∗ )3 , tel que a > 1. 1. Montrer que (ab − 1) ∧ (ac − 1) = ab∧c − 1. 2. En déduire que si b ∧ c = 1, alors (ab − 1)(ac − 1) divise (a − 1)(abc − 1). Exercice 9 – Déterminer {(m, n) ∈ N2 | 2m − 3n = 1} Exercice 10 – Soit a1 , . . . an ∈ N∗ , n > 2 et M = a1 . . . an , µ = a1 ∨ a2 ∨ · · · ∨ an , Mi = M ai (1 6 i 6 n) et ∆ = M1 ∧ M2 ∧ · · · ∧ Mn . 1. Montrer que M = µ∆ 2. Soit R = M1 ∨ M2 ∨ · · · ∨ Mn et D = a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ an . Prouver que M = RD. Exercice 11 – Soit a et b dans N∗ , deux nombres premiers entre eux. Soit S = {ax + by, (x, y) ∈ N2 }. Montrer qu’il existe un entier m0 tel que pour tout entier m > m0 , m ∈ S. Quelle ets la valeur minimale de m0 ? Exercice 12 – Montrer que pour tout n ∈ N, n7 ≡ n [42]. Exercice 13 – Soit, pour tout n ∈ N, pn le n-ième nombre premier. En considérant p2 · · · pn − 2, montrer que pour tout n ∈ N, n Y pi > pn+1 + pn+2 . i=1 1 Exercice 14 – 1. Soit n un nombre impair. Montrer que n2 ≡ 1 [8] et n4 ≡ 1 [16]. 2. Généraliser. 3. Soit p un nombre premier strictement supérieur à 17. Montrer que p16 − 1 ≡ 0 [16320]. Exercice 15 – Soit m, n et k des entiers strictement supérieurs à 1 tels que m = nk. Montrer que (n!)k ∨ (k!)n divise m!. Exercice 16 – Montrer que pour tout (m, n) ∈ N2 , (2m)!(2n)! est un entier. m!n!(m + n)! Exercice 17 – (Olympiades 1975) Soit A la somme des chiffres de 44444444 et B la somme des chiffres de A. Trouver la somme des chiffres de B ; la numération est la numération décimale. Exercice 18 – Critères de divisibilité 1. Montrer qu’un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. 2. Montrer qu’un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9. 3. (a) Montrer qu’un nombre est divisible par 11 si et seulement si ses chiffres cn , . . . , c0 (c0 étant le chiffre des unités) n X (−1)i ci ≡ 0 [11]. vérifient i=0 (b) 978381778401775 est-il divisible par 11 ? 4. (a) Trouver de même un critère de divisibilité par 7. (b) Le nombre 231442433142493650563 est-il divisible par 7 ? 5. Justifier que pour tout nombre N > 1 premier avec 10, on peut trouver une suite (an )n∈N , k périodique (k ∈ N∗ ), telle qu’un nombre dont les chiffres sont cn , cn−1 , . . . , c0 est divisible par N si et seulement si n X ak ck ≡ 0 [N ]. k=0 Exercice 19 – Nombres de Fibonacci Soit pour tout n ∈ N, Fn le n-ième nombre de Fibonacci. Montrer que pour tout (m, n) ∈ N2 , Fm∧n = Fm ∧ Fn . Exercice 20 – (Formule d’inversion de Möbius) On définit la fonction de Möbius par : 0 si n est divisible par un carré non égal à 1 ∀n ∈ N∗ , µ(n) = 1 si n est le produit d’un nombre pair de facteurs premiers −1 si n est le produit d’un nombre impair de facteurs premiers 1. Montrer que pour tout (m, n) ∈ (N∗ )2 , si m ∧ n = 1, alors µ(mn) = µ(m)µ(n). P 2. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , d|n µ(d) = δ1,n , où δi,j est le symbole de Kronecker, égal à 1 si i = j et 0 sinon. 3. Montrer que réciproquement, si ν est une fonction vérifiant l’identité de la question précédente, alors ν = µ. 4. Soit f et g deux fonctions telles que pour tout n ∈ N∗ , g(n) = X f (d). d|n Montrer (formule d’inversion de Möbius) : ∀n ∈ N∗ , f (n) = X g(d)µ d|n 2 n d = X d|n µ(d)g n d . 5. Soit ϕ l’indicatrice d’Euler. En effectuant un tri des éléments de Z/nZ, montrer que pour tout n ∈ N∗ ϕ(n) X µ(d)d. = n d|n Exercice 21 – Étudier l’inversibilité modulo n de k, et le cas échéant, trouver les inverses modulo n des entiers k. 1. k = 1685, n = 1759 2. k = 1770, n = 1827 3. k = 1882, n = 1971 4. k = 1809, n = 1847 5. k = 1911, n = 1940 6. k = 1810, n = 1849 Exercice 22 – Trouver les solutions entières de l’équation en (x, y) : 1955x + 1981y = 2. Exercice 23 – Résoudre a ∧ b = 42 et a ∨ b = 1680. Exercice 24 – Montrer que si a ≡ b [n] alors an ≡ bn [n2 ]. Exercice 25 – Combien l’équation x2 = 1 admet-elle de solutions dans Z/nZ ? Déterminer les valeurs de n pour lesquelles il y a exactement 2 racines. Exercice 26 – (Théorème de Wilson) 1. Montrer que si p est premier, alors (p − 1)! ≡ −1 [n] (théorème de Wilson). 2. Montrer que si n n’est pas premier, n > 4, alors (n − 1)! ≡ 0 [n]. En déduire que le théorème de Wilson fournit une caractérisation des nombres premiers. 3. Montrer plus généralement que dans tout corps fini K, Y x = −1. x∈K ∗ Exercice 27 – On admet dans cet exercice qu’un polynôme de degré n à coefficients dans un corps K admet au plus n racines dans K. Soit p un nombre premier 1. Montrer que F∗p contient autant de carrés que de non carrés. 2. Montrer que pour tout a ∈ Fp : a p−1 2 1 si a est un carré = −1 sinon. 3. En déduire que pour que −1 soit un carré dans Fp , il faut et il suffit que p ≡ 1 [4]. Exercice 28 – 1. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers p vérifiant p ≡ 3 [4] (on pourra considérer αp1 · · · pn − 1, où α est convenablement choisi) 2. Soit a et d deux entiers. À l’aide du petit théorème de Fermat, montrer que si d divise a2 + 1, alors d ≡ 1[4]. 3. En déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers p tels que p ≡ 1[4]. Ceci est un cas particulier du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, stipulant que si a et b sont premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers congrus à b modulo a. Exercice 29 – Considérons 1789 entiers dont la somme est nulle. Montrer que la somme de leurs puissances 37-ièmes est divisible par 399. 3