Arithmétique - Alain Troesch

Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2014/2015
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Algèbre 3 – Arithmétique
Exercice 1 – Soit aet btels que 7divise a2+b2. Montrer que 7divise aet 7 divise b. Comment généraliser ?
Exercice 2 – Soit (a, b, c)∈N3tel que 9divise a3+b3+c3. Montrer que 3divise a,bou c.
Exercice 3 –(CCP)
Déterminer la valuation 2-adique de
2n
Y
k=n+1
k.
Exercice 4 –(CCP)
Quel est le reste de la division euclidienne de
10
X
k=1
1010kpar 7?
Exercice 5 –
1. Soit, pour tout n∈N,Fn= 22n+ 1, le n-ième nombre de Fermat. Montrer que pour tout (m, n)∈N2tel que
m6=n,Fm∧Fn= 1.
2. Donner une preuve, basée sur la question 1, du fait qu’il existe une infinité de nombre premiers.
Exercice 6 – Démontrer que pour tout n∈N∗:
1. 106n+ 103n−2≡0 [111]
2. 72n+1 −48n−7≡0 [288]
Exercice 7 – Démontrer que pour tout n∈N:
1. 42n+ 22n+ 1 ≡0 [7]
2. 22n+ 15n−1≡0 [9].
Exercice 8 – Soit (a, b, c)∈(N∗)3, tel que a > 1.
1. Montrer que (ab−1) ∧(ac−1) = ab∧c−1.
2. En déduire que si b∧c= 1, alors (ab−1)(ac−1) divise (a−1)(abc −1).
Exercice 9 – Déterminer {(m, n)∈N2|2m−3n= 1}
Exercice 10 – Soit a1,...an∈N∗,n>2et M=a1. . . an,µ=a1∨a2∨ · · · ∨ an,Mi=M
ai(1 6i6n)et
∆ = M1∧M2∧ · · · ∧ Mn.
1. Montrer que M=µ∆
2. Soit R=M1∨M2∨ · · · ∨ Mnet D=a1∧a2∧ · · · ∧ an. Prouver que M=RD.
Exercice 11 – Soit aet bdans N∗, deux nombres premiers entre eux. Soit S={ax +by, (x, y)∈N2}. Montrer qu’il
existe un entier m0tel que pour tout entier m>m0,m∈ S. Quelle ets la valeur minimale de m0?
Exercice 12 – Montrer que pour tout n∈N,n7≡n[42].
Exercice 13 – Soit, pour tout n∈N,pnle n-ième nombre premier. En considérant p2···pn−2, montrer que pour tout
n∈N,n
Y
i=1
pi>pn+1 +pn+2.
1

Exercice 14 –
1. Soit nun nombre impair. Montrer que n2≡1 [8] et n4≡1 [16].
2. Généraliser.
3. Soit pun nombre premier strictement supérieur à 17. Montrer que p16 −1≡0 [16320].
Exercice 15 – Soit m,net kdes entiers strictement supérieurs à 1tels que m=nk. Montrer que (n!)k∨(k!)ndivise
m!.
Exercice 16 – Montrer que pour tout (m, n)∈N2,(2m)!(2n)!
m!n!(m+n)! est un entier.
Exercice 17 –(Olympiades 1975) Soit Ala somme des chiffres de 44444444 et Bla somme des chiffres de A. Trouver
la somme des chiffres de B; la numération est la numération décimale.
Exercice 18 –Critères de divisibilité
1. Montrer qu’un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
2. Montrer qu’un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
3. (a) Montrer qu’un nombre est divisible par 11 si et seulement si ses chiffres cn,...,c0(c0étant le chiffre des unités)
vérifient
n
X
i=0
(−1)ici≡0 [11].
(b) 978381778401775 est-il divisible par 11 ?
4. (a) Trouver de même un critère de divisibilité par 7.
(b) Le nombre 231442433142493650563 est-il divisible par 7 ?
5. Justifier que pour tout nombre N > 1premier avec 10, on peut trouver une suite (an)n∈N,kpériodique (k∈N∗),
telle qu’un nombre dont les chiffres sont cn, cn−1,...,c0est divisible par Nsi et seulement si
n
X
k=0
akck≡0 [N].
Exercice 19 –Nombres de Fibonacci
Soit pour tout n∈N,Fnle n-ième nombre de Fibonacci. Montrer que pour tout (m, n)∈N2,Fm∧n=Fm∧Fn.
Exercice 20 –(Formule d’inversion de Möbius)
On définit la fonction de Möbius par :
∀n∈N∗, µ(n) =
0si nest divisible par un carré non égal à 1
1si nest le produit d’un nombre pair de facteurs premiers
−1si nest le produit d’un nombre impair de facteurs premiers
1. Montrer que pour tout (m, n)∈(N∗)2, si m∧n= 1, alors µ(mn) = µ(m)µ(n).
2. Montrer que pour tout n∈N∗,Pd|nµ(d) = δ1,n, où δi,j est le symbole de Kronecker, égal à 1si i=jet 0sinon.
3. Montrer que réciproquement, si νest une fonction vérifiant l’identité de la question précédente, alors ν=µ.
4. Soit fet gdeux fonctions telles que pour tout n∈N∗,
g(n) = X
d|n
f(d).
Montrer (formule d’inversion de Möbius) :
∀n∈N∗, f(n) = X
d|n
g(d)µn
d=X
d|n
µ(d)gn
d.
2

5. Soit ϕl’indicatrice d’Euler. En effectuant un tri des éléments de Z/nZ, montrer que pour tout n∈N∗
ϕ(n)
n=X
d|n
µ(d)d.
Exercice 21 – Étudier l’inversibilité modulo nde k, et le cas échéant, trouver les inverses modulo ndes entiers k.
1. k= 1685,n= 1759
2. k= 1770,n= 1827
3. k= 1882,n= 1971
4. k= 1809,n= 1847
5. k= 1911,n= 1940
6. k= 1810,n= 1849
Exercice 22 – Trouver les solutions entières de l’équation en (x, y):
1955x+ 1981y= 2.
Exercice 23 – Résoudre a∧b= 42 et a∨b= 1680.
Exercice 24 – Montrer que si a≡b[n]alors an≡bn[n2].
Exercice 25 – Combien l’équation x2= 1 admet-elle de solutions dans Z/nZ? Déterminer les valeurs de npour lesquelles
il y a exactement 2 racines.
Exercice 26 –(Théorème de Wilson)
1. Montrer que si pest premier, alors (p−1)! ≡ −1 [n](théorème de Wilson).
2. Montrer que si nn’est pas premier, n > 4, alors (n−1)! ≡0 [n]. En déduire que le théorème de Wilson fournit une
caractérisation des nombres premiers.
3. Montrer plus généralement que dans tout corps fini K,Y
x∈K∗
x=−1.
Exercice 27 – On admet dans cet exercice qu’un polynôme de degré nà coefficients dans un corps Kadmet au plus n
racines dans K. Soit pun nombre premier
1. Montrer que F∗
pcontient autant de carrés que de non carrés.
2. Montrer que pour tout a∈Fp:
ap−1
2=
1si aest un carré
−1sinon.
3. En déduire que pour que −1soit un carré dans Fp, il faut et il suffit que p≡1 [4].
Exercice 28 –
1. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers pvérifiant p≡3 [4] (on pourra considérer αp1···pn−1, où
αest convenablement choisi)
2. Soit aet ddeux entiers. À l’aide du petit théorème de Fermat, montrer que si ddivise a2+ 1, alors d≡1[4].
3. En déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers ptels que p≡1[4].
Ceci est un cas particulier du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, stipulant que si aet bsont premiers
entre eux, il existe une infinité de nombres premiers congrus à bmodulo a.
Exercice 29 – Considérons 1789 entiers dont la somme est nulle. Montrer que la somme de leurs puissances 37-ièmes est
divisible par 399.
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