Exercices sur le TD2

Unité d’enseignement : L6S2TC-Exercices TD2 Statistiques
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Exercices sur le TD2
1ère Partie : « Dénombrement et vocabulaire sur les ensembles »
Exercice 1 :
Un ensemble contient 320 éléments. Trois sous ensembles A, B et C de sont tels que :
 A et B sont disjoints ;
 Card (A  C) = card (B  C) ;
 Card (A  B  C) = 221, card [(A  B) C ] = 109 , card ( C  A) = 48
et card(C A  B ) = 80.
1°) Déterminer les cardinaux des ensembles A, B, C.
2°) Déterminer les cardinaux des ensembles : (A  B)  C ; A  C et A  C
Exercice 2 :
Déterminer le coefficient du terme en x4 dans le développement des expressions suivantes :
A = (2 - x²)5 B = (3+2x)6 C = (2x² - 4)7
Exercice 3 :
Partant d’une ville A, un itinéraire doit passer par les villes B, C, D, E, F.
1°) Dénombrer les itinéraires possibles.
2°) Combien de ces itinéraires sont tels que D soit la 3ème ville visitée ?
3°) Combien d’itinéraires sont tels que la ville C soit visitée avant la ville D ?
Exercice 4 :
On extrait simultanément 5 cartes d’un jeu de 32 cartes ; on obtient ainsi une main de 5 cartes.
1°) Dénombrer le nombre de tirages possibles.
2°) Retrouver parmi les réponses proposées celles correspondant au nombre de mains :
a) contenant au moins un as ;
b) contenant trois trèfles et deux piques ;
c) ne contenant que des cœurs ou des carreaux ;
d) contenant exactement un as ;
e) ne contenant que des cœurs ou ne contenant que des carreaux.
A = C1;4 × C4;31 B = ( )
C5;8 ² C = C5;16 D = 2 ×C5;8
E = C3;8 ×C2;8 F = C5;32 - C5;28 G = C1;4 × C4;28
Exercice 5 : « Quelle équipe de France de football ? »
L’entraîneur de l’équipe de France a sélectionné 24 joueurs pour la Coupe du Monde de football. 17 joueurs
peuvent figurer sur la feuille de match mais 3 remplaçants seulement peuvent jouer.
1°) Combien d’équipes différentes l’entraîneur peut-il constituer sur la feuille de match ?
2°) Une fois cette feuille de match remplie, combien d’équipes différentes peut-il constituer pour débuter la
partie ?
3°) Sachant que le nombre de remplaçants peut varier de 0 à 3, combien d’équipes différentes peuvent
jouer le match si l’on appelle ici « équipe » l’ensemble des joueurs ayant participé au match ?
4°) Les questions précédentes supposent que les joueurs sont parfaitement substituables, ce qui n’est pas
le cas. On distingue 4 catégories de joueurs : les gardiens (catégorie 1), les défenseurs (2), les milieux de
terrain (3) et les attaquants (4). L’entraîneur décide de jouer en 4-4-2.
La sélection initiale de 24 joueurs compte 3 gardiens, 7 défenseurs, 8 milieux et 6 attaquants.
Combien d’équipes de 11 joueurs respectant les contraintes 4-4-2 l’entraîneur peut-il constituer ?
5°) Pour remplir la feuille de match comportant 17 joueurs, l’entraîneur souhaite inscrire au moins un
remplaçant dans chaque ligne mais ne retient que 2 gardiens.
Combien de feuilles de match différentes peut-il établir ?
6°) A partir de la réponse à la question précédente, quel est le nombre d’équipes de 11 joueurs qu’il peut
retenir en début de match dans 4-4-2 ?
2ème Partie : « Probabilités et probabilités conditionnelles »
Exercice 6 :
Au jeu de poker, on utilise un jeu de 32 cartes (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi et as) dans chacune des
couleurs (pique, cœur, carreau et trèfle).
On tire simultanément cinq cartes. Quelle est la probabilité d’obtenir :
a) deux paires ?
b) exactement une paire ?
c) un carré ?
d) une échelle royale (cinq cartes de la même couleur se suivant dans l’ordre)

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Exercice 7 :
On considère un hexagone régulier et on choisit au hasard trois de ses sommets.
Calculer la probabilité d’obtenir :
a) un triangle équilatéral ;
b) un triangle isocèle non équilatéral ;
c) un triangle rectangle ;
d) un triangle isocèle.
Exercice 8 :
Trois événements A, B et C sont dits indépendants s’ils vérifient les conditions (1) et (2) suivantes :
 p(A B) = p(A) ×p(B)
 p(A C) = p(A) ×p(C) (1)
 p(B C) = p(B) ×p(C)
p(A B C) = p(A) ×p(B) ×p(C) (2)
On se pose la question suivante : « Les conditions (1) sont-elles suffisantes pour affirmer
l’indépendance des événements A, B, et C ? »
Autrement dit, les conditions (1) entraînent-elles la condition (2) ?
On lance, deux fois consécutivement, une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
On note :
A l’événement : « le premier jet donne pile » ;
B l’événement : « le second jet donne face » ;
C l’événement : « les deux jets donnent tous les deux pile ou tous les deux face» .
1°) Les événements A, B et C vérifient-ils les conditions (1) ?
2°) Les événements A, B et C vérifient-ils la condition (2) ?
3°) Que peut-on en conclure ?
Exercice 9 :
Soit A et B, deux événements indépendants.
1°) Montrer que les événements A et B sont indépendants ;
2°) En déduire que les événements A et B sont indépendants.
Exercice 10 :
Une urne contient cinq boules rouges et une boule noire, indiscernables au toucher.
On tire trois fois de suite, et au hasard, une boule de cette urne sans remettre dans l’urne les boules
tirées.
On considère les événements :
A : « la 1ère boule tirée est rouge » ;
B : « la 2ème boule tirée est rouge » ;
C : « la 3ème boule tirée est noire ».
1°) Calculer les probabilités conditionnelles :
a) p(A/B) ; b) p(C/A  B) ; c) p(A/C) .
2°) Les événements A et C sont-ils indépendants ?
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
Exercice 11 :
Deux usines fabriquent des ampoules électriques ; la 1ère assure 70 % et la 2nde 30% de cette
production. D’autre part, sur 100 ampoules fournies par la 1ère usine, 83 en moyenne satisfont aux
normes prescrites alors que cette moyenne n’est que de 63 dans le cas de la seconde usine.
Quelle est la probabilité pour qu’une ampoule soit conforme aux normes ?
Exercice 12 :
Pour les semailles, on prépare des semences de froment de premier choix, mêlées de petites quantités
de semences de deuxième, troisième et quatrième choix. On désigne par A1 le fait qu’une graine
choisie au hasard dans la semence utilisée soit dans la catégorie I, et par A2, A3 et A4 le fait qu’elle soit,
respectivement, de la catégorie II, III ou IV, avec les probabilités :
p(A1) = 0,96 p(A2) = 0,01 p(A3) = 0,02 p(A4) = 0,01.
D’autre part, la probabilité pour que la semence engendre un épi de 50 grains au moins est égale à :
0,5 pour une semence de la catégorie I
0,15 pour une semence de la catégorie II
0,20 pour une semence de la catégorie III
0,05 pour une semence de la catégorie IV
Quelle est la probabilité pour que l’épi engendré par une semence prélevée au hasard porte 50 grains ?

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Exercice 13 :
Un voyageur arrive à un carrefour où se trouvent deux routes : la bonne et la mauvaise.
Il y a trois personnes F1, F2 et F3 à proximité de ce carrefour ; F1 (resp. F2, resp. F3) dit une fois sur 10
la vérité (resp. 5 fois sur 10, resp. 9 fois sur 10).
Le voyageur s’adresse au hasard à une et une seule des trois personnes pour demander son chemin.
1°) Quelle est la probabilité que la route qui lui est indiquée soit la bonne ?
2°) Le voyageur s’aperçoit que la route indiquée est la bonne.
Quelle est la probabilité qu’il se soit adressé à Fi ? (i = 1, 2, 3)
Exercice 14 :
10% de la population d’un pays a été vacciné contre une maladie M. Au cours d’une épidémie de cette
maladie, on a constaté une proportion de 2% de malades parmi les personnes vaccinées et une
proportion de 5% de personnes vaccinées parmi les malades.
On tire au hasard une personne dans la population.
1°) Les événements « la personne a été malade » et « la personne a été vaccinée » sont-ils
indépendants ?
2°) Si la personne tirée n’a pas été vaccinée, quelle est la probabilité qu’elle ait été malade ?
Exercice 15 :
M. Pertou cherche un dossier ; la probabilité que ce dossier se trouve dans le meuble secrétaire est p
(0 < p < 1). Ce meuble a cinq tiroirs, et le dossier a des probabilités égales de se trouver dans l’un ou
l’autre de ces cinq tiroirs.
1°) Quelle est la probabilité que le dossier soit dans le 1er tiroir ? dans aucun des quatre premiers
tiroirs ?
2°) M. Pertou a examiné les quatre premiers tiroirs sans trouver le dossier ; quelle est la probabilité qu’il
soit dans le cinquième ?
Exercice 16 :
Dans un atelier, la probabilité pour que l’article fabriqué satisfasse aux normes requises est de 0,96. On
se propose d’adopter un procédé simplifié de contrôle qui identifie comme « bons » avec une
probabilité de 0,98 les articles effectivement conformes aux normes, et avec une probabilité de 0,05
seulement ceux qui n’y satisfont pas.
1°) Quelle est la probabilité pour qu’un article ayant subi le contrôle avec succès soit effectivement
conforme aux normes ?
2°) Quelle est la probabilité pour qu’un article ayant subi à deux reprises avec succès ce contrôle soit
effectivement conforme aux normes ?
Exercice 17 :
Soit A et B deux événements d’un univers 
1°) Justifier que les événements A  B, A  B , A  B et A  B constituent une partition de
l’univers 
2°) Soit C un événement tel que :
p(A) = 0,6 ; p(B/A) = 0,3 ; p(B/ A ) = 0,4 ; p(C/ A  B) = 0,15
p(C/A B ) = p(C/ A B) = 0,25 ; p(C/ A B ) = 0,2
Calculer la probabilité de l’événement C.
Exercice 18 : « Le chevalier de Méré et le prince de Toscane »
1°) Le chevalier de Méré écrit en 1654 à Blaise Pascal pour lui poser, entre autres, la question suivante :
A-t-on la même probabilité d’obtenir au moins un 6 en jetant 4 fois 1 seul dé que d’obtenir au moins 1 double
6 en 24 jets de 2 dés ?
Selon le chevalier, ces probabilités sont égales car 6 résultats (respectivement 36) sont possibles avec 1
(respectivement 2) dé(s) et le rapport entre 4 et 6 est le même qu’entre 24 et 36.
Déterminer la probabilité de chacun des événements et apportez une réponse au chevalier de Méré.
2°) Le prince de Toscane s’étonne qu’en pariant sur un total de 10 avec un jet de 3 dés, il gagne plus souvent
qu’en pariant sur un total de 9 alors qu’il recense autant de façons d’écrire un total de 9 avec ses 3 dés qu’un
total de 10.
Selon vous, le prince a-t-il raison de s’étonner ?