Loi exponentielle

Loi exponentielle
Activité d’approche : modélisation discrète d’un processus de Poisson
On choisit n nombres entiers naturels au hasard de façon équiprobable dans l’intervalle [1 ; n].
Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le plus petit de ces n entiers naturels.
1. Un exemple : 100 personnes arrivent au hasard à l’instant t  [1 ; 100], t entier naturel.
On note X la variable aléatoire prenant pour valeur l’instant d’arrivée t0 de la première
personne.
a) Simuler l’expérience aléatoire avec un tableur.
b) Simuler 1000 expériences analogues.
2. Cas général : n est un entier naturel quelconque
a) Déterminer P( X  1) .
b) Déterminer pour k entier naturel, k[1 ; n], la probabilité P( X  k ) .
nk 
c) Quelle est la limite de la suite (un ) de terme général un  

 n 
d) En déduire que, pour n assez grand, P( X  k )  1  e k .
e) Déterminer une fonction f telle que

k
0
n
?
f ( x) dx  1  e  k et telle que f soit une densité de
probabilité sur [0 ; +∞[.
Quelques exercices sur les lois exponentielles
Exercice 1 : simulation d’une loi exponentielle
Soit  un réel strictement positif donné.
Montrer que si une variable U suit la loi uniforme sur [0 ; 1], alors la variable T  
la loi exponentielle de paramètre  .
Vérifier ce résultat à l’aide d’une simulation.
1

ln(1  U ) suit
Exercice 2
La durée de vie en année X d’un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre .
Par expérience, on sait qu’au bout d’un an, 80 % des composants sont en panne.
1. Traduire l’information précédente en terme de probabilité et déterminer alors la valeur de .
2. Déterminer la probabilité qu’un composant ait une durée de vie supérieure à 1 an, supérieure à 2
ans.
3. Quelle est la durée de demi-vie (c'est-à-dire la durée pour laquelle la probabilité de survie est
égale à 0,5) ?
4. Sachant que le composant a déjà fonctionné un an, quelle la probabilité qu’il fonctionne au
moins une année de plus ? Que remarque-t-on ?
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Exercice 3
La durée de vie X d’un composant, exprimée en jour, est une variable aléatoire qui suit une loi
exponentielle de paramètre 0,005.
1. Étude d’un seul composant.
a) Calculer la probabilité de l’événement : « la durée de vie excède 300 jours ».
b) Déterminer la valeur  de la demi-vie.
c) Déterminer l’espérance de vie d’un composant.
2. Montage de deux composants en parallèle.
Pour assurer une plus grande longévité à un montage, on remplace le composant par deux
composants identiques montés en parallèle.
Dans ce cas, le système est défaillant lorsque les deux composants sont en panne.
On admet l’indépendance des pannes des deux composants.
On note T1 et T2 les durées de vie de chaque composant, et T celle du système.
a) Déterminer P(T  t ) .
b) Quelle est la probabilité que le système fonctionne plus de 300 jours ?
c) Déterminer la valeur  de la demi-vie du système.
3. Les deux composants sont maintenant montés en série.
a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Y qui mesure la durée de vie du
système.
b) Quelle est la probabilité que le système fonctionne plus de 300 jours ?
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