Licence GMI Remise à niveau Mathématique a) Calculer : Rappel

Licence GMI Remise à niveau Mathématique
IUP GMI – Université d’Avignon et des Pays de Vaucluse Page 1
a) Calculer :
3t
e dt
Rappel :
1
kt kt
e dt e
k
3
33
1
33
t
tt
e
e dt e
b) Faire une intégration par parties pour intégrer :
ln( )t dt
ln( ) 1 ln( )
1
1 ln( ) ln( ) *
ln( )
ln( )
t dt t dt
t dt t t t dt
t
t t dt
t t t
n
11
1
1
11
11
2
2
ln( )
On pose u' = t et v = ln(t)
1
ln( ) ln( )
11
ln( )
11
1
ln( )
11
1
ln( )
1 1 1
ln( )
11
ln( )
1 ( 1)
n
nn
n
nn
nn
nn
nn
n
t t dt
tt
t t dt t dt
n n t
tt
t dt
nn
tt t dt
nn
tt
t
n n n
tt
t
nn
t t t
tnn

Licence GMI Remise à niveau Mathématique
IUP GMI – Université d’Avignon et des Pays de Vaucluse Page 2
sin( )
On pose v = t et u'=sin(t)
sin( ) cos( ) cos( )
cos( ) sin( )
cos sin
t t dt
t t dt t t t dt
t t t
tt
t
On pose v = t et u'=e
( 1)
t
t t t
tt
t t t
t e dt
t e dt t e e dt
t e e
t e e e t
2
2t
22
t
22
2
2
2
On pose v= 2 et u'=e
2 2 (2 2)
On pose v= (2t+2) et u' = e ,on obtient :
2 2 (2 2) 2
2 (2 2) 2
2 (2 2
t
t t t
t t t t
t t t
t
t t e dt
tt
t t e dt t t e t e dt
t t e dt t t e t e e dt
t t e t e e
t t e t
2
2
)2
2 (2 2) 2
tt
t
t
ee
e t t t
te

Licence GMI Remise à niveau Mathématique
IUP GMI – Université d’Avignon et des Pays de Vaucluse Page 3
Utilisez les nombres complexes pour calculer :
3
33 2 2 3
32
3 2 2 3
33
33
sin 2
( ) 3( ) 3 ( ) ( )
(2 ) 8
33
8
133
8
1 3 3
8 3 3
it it
it it it it it it it it
i t i t it it i t i t
i t it it i t
i t it it i t
ee
t dt dt
i
ee e e e e e e
dt dt
i i i
e e e e e e dt
i
e e e e dt
i
e e e e
i i i i i
33
33
133
8 3 3
13
83
1 2cos(3 ) 3 2cos
83
12
cos3 6cos
83
1 3 3 3
cos3 cos cos
12 4 12 4
i t i t
it it
i t i t it it
ee
ee
ee ee
tt
tt
cos t
t t t

Licence GMI Remise à niveau Mathématique
IUP GMI – Université d’Avignon et des Pays de Vaucluse Page 4
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
(a+ib)t
()
22
cos
2
1
2
1
2
1 ( ) ( )
2
Comme e ,alors on a :
1 ( ) ( )
2
at
ibt ibt
at
a ib t a ib t
a ib t a ib t
a ib t a ib t
at ibt
a ib t
e bt dt
ee
e dt
e e dt
ee
a ib a ib
a ib e a ib e
a b a b
ee
a ib e a ib e
ab
()
2 2 2 2
22
22
22
( ) ( )
1
2
( ) ( )
1
2
(2cos( )) (2 sin( ))
1
2
2 cos( ) 2 sin( )
1
2
cos
at ibt ibt
a ib t
at ibt ibt ibt ibt
at
at
at
e a ib e a ib e
a b a b
e a e e ib e e
ab
e a bt ib i bt
ab
e a bt b bt
ab
ea
22
( ) sin( )bt b bt
ab
it
On pose v = t et u'=e , donc
1
1
it
it it
it
it it
it it
it
t e dt
ee
t e dt t dt
ii
ee
t
i i i
ete
it
ei

Licence GMI Remise à niveau Mathématique
IUP GMI – Université d’Avignon et des Pays de Vaucluse Page 5
-it
On pose v = t et u'=e ,on a donc :
1
1
1
it it
it it
it
it it
it it
it it it
t e dt t e dt
ee
t e dt t dt
ii
et e dt
ii
ee
t
i i i
et
t e e
ii
Changement de variable :
1
2
0
t
t
01
1
22
01
2
1
21
0
1
On pose x=e
donc dx=e
De plus, on a
0 t 1
e
1
1
11
1
Rappel : (arctan x)'=1
arctan( )
1
t
t
t
t
e
t
t
te
t
edt
e
dt
ee
ee
edt dx
ex
x
edt x
e
72
3
0
7 8 8
2 2 2
1 1 1
0 1 1
3 3 3
8
8 5 2 8
85 2 1 8 5 2
3 3 3
3 3 3 3 3 3
11
1
1
On pose T=1+t( 1),
( 1) 2 1
1
2 3 6 3
28 5 2 8 5 2
3 3 3
tdt
t
t T dT dt
t T T T
dt dT dT
tTT
T T T
T T T dT T T T