nombres entiers – nombres rationnels

NOMBRES ENTIERS – NOMBRES RATIONNELS
DEFINITIONS ET PROPRIETES : EXEMPLES ET EXERCICES :
I – Nombres rationnels : Les nombres :
....
....
0,4 ; ;  6
5
5
3
sont …………..
Un nombre est rationnel lorsqu’il est le quotient de 2 On dira que
; 3
sont …………………………
nombres …………………………………..
II – Vocabulaire de l’arithmétique : La division Euclidienne de 48 par 13 se pose :
1 – Division Euclidienne : Effectuer la division 48 13
d’un nombre entier a par un nombre entier b , c’est trouver ….
le quotient entier q et le reste r . On écrit : ….
a = b …… + …….. , avec r < b .
48 = …….. + …….
2 – Multiple et diviseur : Quand le reste de la Compléter : 4 n’est pas un ……………… de 25
division Euclidienne est ……… , on dit que : 325 est ………………..par 5
- a est un …………… de b ou bien que 28 et 91 sont des …………………….. de 7 .
- a est ………………. par b ou que 12 possède 6 ………………….
- b est un ……………… de a . 7 est un ………………….. de 28 .
3 – Critères de divisibilité : ( Rappels ) 7020 est divisible par :………………………………..
Quels chiffres des unités peut – on choisir pour que : A = 347 , soit divisible par 3 ? ……………….
4 – P.G.C.D. et algorithme d’Euclide : PGCD ( 36 ; 27 ) = ……
Soit a et b 2 entiers relatifs , le P.G.C.D.( a ; b ) est PGCD ( 21 ; 15 ) = ……
le plus grand des diviseurs positifs communs de a et b .
Propriétés :
Si a est un diviseur de b , alors PGCD ( a ; b ) = …….. PGCD ( 9 ; 18 ) = ……..
Un diviseur de a et b est aussi un diviseur de a et de a – b
Pour a > b , PGCD (a ; b ) = PGCD ( a – b ; b ) PGCD ( 36 ; 27 ) = PGCD ( ……….. ; 27 ) = ……
Recherche des diviseurs communs à 2 entiers :
a ) On applique les critères de divisibilité . b ) Si ces critères ne permettent pas de conclure , on applique :
i ) L’algorithme des différences : (Très long ) ii ) L’algorithme d’Euclide : ( Plus rapide )
Exemple : Calcul du PGCD ( 261 ; 203 )
On soustrait les 2 nombres 261 et 203 . On fait la division Euclidienne de 261 par 203 .
On prend les 2 plus petits nombres et on recommence , On divise à nouveau le diviseur et le reste , on
on s’arrête lorsqu’on obtient 2 nombres égaux . recommence , on s’arrête lorsque le reste est nul .
Le PGCD est le résultat de la dernière soustraction Le PGCD est le dernier reste non nul .
261 203 145 87 58 261 = 203 x …. + …….
- 203 - ….. - ….. - ….. - …..
……. …….. ….. …… …… 203 = ….. x …… + ……
PGCD ( 261 ; 203 ) = …… …… = ….. x ….. + …..
5 – Nombres premiers entre eux : PGCD ( 3 ; 2 ) = …… ; 3 et 2 sont …………………
Lorsque PGCD ( a ; b ) = ….. , on dit que a et b sont PGCD ( 24 ; 7 ) = ….. ; 24 et 7 sont ………………..
…………………………………… PGCD ( 12 ; 3 ) = ….. ; 12 et 3 … sont ………………….
6 – Fractions irréductibles :
3
2
est ………………………. car PGCD ( 2 ; 3 ) = ….
Une fraction
) b (
b
a0
est dite …………………… Remarque : en simplifiant la fraction
) b (
b
a0
par le
lorsque a et b sont ……………………………. PGCD ( a ; b ) , on obtient une fraction …………………
………………
….
…………
…….
…………
……………….
a
b
Restes
261
203
……
203
…….
…….
…….
……..
……..

7 – Application à la simplification de fraction : Simplifier et rendre irréductible la fraction suivante :
.
.........
.........
3230
2470
A
, or PGCD ( …… ; …….. ) = ……
.......
.......
........... ............ .........
........
A
III – Opérations sur les rationnels :
1 – Signe d’un quotient :
Soit a et b deux entiers relatifs ( b …..) Le quotient
a
b
et
3
4...... ...... ....... .......
le produit ab ont le même ……………. En utilisant la propriété ci – contre , compléter :
a
ba b
...
... ..... ..... ..... .....
;
2 3
2xx   ......... ......... .......... ..........;
avec x ….
2 – Egalité :
a)- Quels que soient les nombres a ,b , k ( b…….. , k….…)
2
3 = .... .... = .... ....
a
b = ..... .... ..... .....
Calculer x tel que :
2 1
2
x
x  = 0
on a :
b)- Si
a
b= 0
alors ……………… x……… et ……………= ……. , d’où x = … …
c)- Si
a
bc d
=
alors ………………et…….et ……. Trouver x tel que :
x
2 = 5 12
, on a :
…………= …….. d’où x = …………
3 - Opérations :
2
5 + 8 5 =..... .... =..... ; 4 15 - 1 9 = .....-..... .... .... ....
Quels que soient les nombres a,b,c,d ( b…….et d ….…. )
1
43 20 7 30 2 75
.........
..... .... .... ;........... ..... ..... .....
a- Addition :
a
bc b
  ...... ......
.....
;
a
bc d
  ..... .....
......
Réduire au même dénominateur
Ax x
2315................
................ ............ .............;
(x…. et x……)
b- Multiplication :
a
bc  ....... .....
;
a
bc d
  .......
.......
2
35 72 73   
.....
..... ..... .....
;
;
3
52 7.... ....
Simplifier :
B    
4
21 7 215 49 21 35
.....
..... ....... ......
; C
Attention ! !
12 21
15 7
......
...... ..... .....
Dx
x x
2 3
3 2
( )
()( )...... .........;
avec x……..
c- Division :
................. d ,c ,b
.....
.....
....
.....
....
....
d
c
:
b
a
E  
3
45 8
:( ) ....
.... ..... ..... ..... .....
;
d- Inverse : Compléter :
L’inverse de
a
b
est …….(avec a ,b……………….)
1
2
est l’ ……………… de 0,5
3
2
est l’ ……………… de
2
3
Calculer :
G H     
1
4
5
1
4
5
....
.... .... .... .... .... .... ....
et
99
1
96
1
95
1
91
1
90
1
88
1
85
1
84
1
80
1
78
1
77
1
76
1
75
1
72
1
70
1
66
1
63
1
60
1
56
1
55
1
54
152
1
50
1
48
1
44
1
42
1
40
1
39
1
38
1
36
1
35
1
34
1
33
1
32
1
30
1
27
1
26
1
24
1
22
1
21
1
17
1
12
1
1
Conseils :a ) On applique les critères de divisibilité .
b ) On achève la simplification par le calcul
du PGCD du numérateur et du dénominateur .
Curiosité ! !
ATTENTION ! ! à la place du trait principal de
fraction