nombres entiers – nombres rationnels

NOMBRES ENTIERS – NOMBRES RATIONNELS
DEFINITIONS ET PROPRIETES :
I – Nombres rationnels :
Un nombre est rationnel lorsqu’il est le quotient de 2
nombres …………………………………..
II – Vocabulaire de l’arithmétique :
1 – Division Euclidienne : Effectuer la division
d’un nombre entier a par un nombre entier b , c’est trouver
le quotient entier q et le reste r . On écrit :
a = b …… + ……..
, avec r < b .
2 – Multiple et diviseur : Quand le reste de la
division Euclidienne est ……… , on dit que :
- a est un …………… de b ou bien que
- a est ………………. par b ou que
- b est un ……………… de a .
EXEMPLES ET EXERCICES :
3
5
....
; 0,4  sont …………..
Les nombres :  ;
5 6
....
On dira que 3 ;  sont …………………………
La division Euclidienne de 48 par 13 se pose :
48
13
…………
………………
….
….
…….
….
…………
……………….
48 = …….. + …….
Compléter : 4 n’est pas un ……………… de 25
325 est ………………..par 5
28 et 91 sont des …………………….. de 7 .
12 possède 6 ………………….
7 est un ………………….. de 28 .
3 – Critères de divisibilité : ( Rappels )
7020 est divisible par :………………………………..
Quels chiffres des unités peut – on choisir pour que : A = 347 , soit divisible par 3 ? ……………….
4 – P.G.C.D. et algorithme d’Euclide :
Soit a et b 2 entiers relatifs , le P.G.C.D.( a ; b ) est
le plus grand des diviseurs positifs communs de a et b .
Propriétés :
Si a est un diviseur de b , alors PGCD ( a ; b ) = ……..
Un diviseur de a et b est aussi un diviseur de a et de a – b
Pour a > b , PGCD (a ; b ) = PGCD ( a – b ; b )
PGCD ( 36 ; 27 ) = ……
PGCD ( 21 ; 15 ) = ……
PGCD ( 9 ; 18 ) = ……..
PGCD ( 36 ; 27 ) = PGCD ( ……….. ; 27 ) = ……
Recherche des diviseurs communs à 2 entiers :
a ) On applique les critères de divisibilité . b ) Si ces critères ne permettent pas de conclure , on applique :
i ) L’algorithme des différences : (Très long )
ii ) L’algorithme d’Euclide : ( Plus rapide )
Exemple : Calcul du PGCD ( 261 ; 203 )
On soustrait les 2 nombres 261 et 203 .
On fait la division Euclidienne de 261 par 203 .
On prend les 2 plus petits nombres et on recommence ,
On divise à nouveau le diviseur et le reste , on
on s’arrête lorsqu’on obtient 2 nombres égaux .
recommence , on s’arrête lorsque le reste est nul .
Le PGCD est le résultat de la dernière soustraction
Le PGCD est le dernier reste non nul .
261
- 203
…….
203
145
- …..
- …..
……..
…..
87
- …..
……
58
- …..
……
PGCD ( 261 ; 203 ) = ……
5 – Nombres premiers entre eux :
Lorsque PGCD ( a ; b ) = ….. , on dit que a et b sont
……………………………………
6 – Fractions irréductibles :
a
( b  0 ) est dite ……………………
b
lorsque a et b sont …………………………….
Une fraction
261 = 203 x …. + …….
203 = ….. x …… + ……
a
261
203
…….
b
203
…….
……..
Restes
……
…….
……..
…… = ….. x ….. + …..
PGCD ( 3 ; 2 ) = …… ; 3 et 2 sont …………………
PGCD ( 24 ; 7 ) = ….. ; 24 et 7 sont ………………..
PGCD ( 12 ; 3 ) = ….. ; 12 et 3 … sont ………………….
2
est ………………………. car PGCD ( 2 ; 3 ) = ….
3
a
Remarque : en simplifiant la fraction ( b  0 ) par le
b
PGCD ( a ; b ) , on obtient une fraction …………………
7 – Application à la simplification de fraction :
. applique les critères de divisibilité .
Conseils :a ) On
b ) On achève la simplification par le calcul
du PGCD du numérateur et du dénominateur .
Simplifier et rendre irréductible la fraction suivante :
2470 .........
A

, or PGCD ( …… ; …….. ) = ……
3230 .........
........ .....  ....... .......
A


......... ......  ..... .......
III – Opérations sur les rationnels :
1 – Signe d’un quotient :
Soit a et b deux entiers relatifs ( b …..) Le quotient
le produit ab ont le même …………….
a
... ..... a
.....


;

b
... ..... b
.....
3 ...... .......


4 ...... .......
En utilisant la propriété ci – contre , compléter :
2x  3
.........
..........


; avec x  ….
2 x
.........
..........
a
et
b

2 – Egalité :
2
....
....
=
=
3
....
....
2x  1
Calculer x tel que :
= 0 on a :
x2
a)- Quels que soient les nombres a ,b , k ( b…….. , k….…)
a
.........
=
b
..........
a
b)- Si
= 0 alors ………………
b
a
c
c)- Si
alors ………………et…….et …….
=
b
d
3 - Opérations :
Quels que soient les nombres a,b,c,d ( b…….et d ….…. )
a c ............ a c ..........
 
;  
b b
.....
b d
......
a- Addition :
x……… et ……………= ……. , d’où x = … …
x
5
, on a :
=
2
12
…………= …….. d’où
x = …………
Trouver x tel que :
2
8
.....
4
1
.....-..... ....
+
=
=.....
;
=

5
5
....
15
9
....
....
1 3 ......... ....
7
2 ........... .....



;



4 20
.....
....
30 75
.....
.....
Réduire au même dénominateur
2
1
................ ............



; (x…. et x……)
x  3 x  5 ................ .............
2 5 ..... 2
.....
3 2 ....
;
 
; 3


3 7 ..... 7
.....
5 7 ....
4 7 .....
15  49 .......
Simplifier : B   
; C

21 2 .....
21  35 ......
2( x  3)
......
D

;
avec x……..
( x  3)( x  2) .........
A
b- Multiplication :
Attention ! !
c- Division :
a c .......
a
.......
 
c 
;
b d .......
b
.....
12  21 ...... .....


15  7 ...... .....
a c .... ..... .....
 b , c , d .................
:  

b d .... .... .....
d- Inverse :
3 ( 5) .... ..... .....
;
E :
 

4 8
.... ..... .....
Compléter :
1
est l’ ……………… de 0,5
2
3
2
est l’ ……………… de
ATTENTION ! ! à la place du trait principal de
2
3
fraction
1
1 ....
.... .... ....
Curiosité ! !
Calculer : G  
et H  4   
4 ....
5 .... .... ....
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1





















12 17 21 22 24 26 27 30 32 33 34 35 36 38 39 40 42 44 48 50 52
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1




















54 55 56 60 63 66 70 72 75 76 77 78 80 84 85 88 90 91 95 96 99
a
L’inverse de est …….(avec a ,b……………….)
b