Modèle mathématique.

Trigonométrie
I) Rappels
Quel que soit l'angle aigu x d'un triangle rectangle, on a :
cos x
hypoténuse
adjacentcôté
sin x
hypoténuse
opposécôté
tan x
adjacentcôté opposécôté
cos2 x + sin2 x = 1. tan x =
xcos xsin
.
II) Cercle trigonométrique, radians
(Cette partie du cours nécessite une activité préparatoire mettant en évidence la relation entre la mesure d'un angle au
centre d'un cercle et la longueur de l'arc intercepté par cet angle)
Définition : On appelle cercle trigonométrique le cercle de rayon 1 muni d'un sens de parcours "positif"
– ou "direct" – qui est contraire au sens des aiguilles d'une montre (sens antihoraire).
Exemple : Les cercles C et C' suivants sont des cercles trigonométriques :
 Les différentes longueurs ou distances étudiées ne sont plus en centimètres ou autre unité de
mesure connue…
 Quelle que soit la taille du cercle trigonométrique, son rayon vaut toujours 1 et donc son
périmètre vaut 2.
Remarque : Quelques valeurs sont utiles à retenir dès à présent : 2 pour la longueur du cercle,  pour le
demi-cercle et
2
π
pour le quart de cercle (angle droit). Problème : ces valeurs ne sont pas
données en centimètres, mais dans une unité inconnue…
x

Définition : Soient I et M des points du cercle trigonométrique de centre O. On dit que l'arc de cercle
a pour mesure le radian.
Remarque : L'angle au centre ;IOM de mesure x degrés peut être associé à la longueur de l'arc de
cercle de mesure y radians, et donc par extension on notera :
;IOM = x° = y rad.
Propriété : Les radians et les degrés sont proportionnels, on a :
Degrés
360
180
90
…
Radians
2
2
π
…
Exemple :  60° valent
3
π
radians, car : (60 × 2) : 360 =
3
π
.
 45° valent
4
π
radians, car il s'agit de la moitié de 90°, donc la moitié de
2
π
.
 Ainsi, 105 ° valent
12
7π
radians, car 105° = 60° + 45° et donc on calcule
4
π
3
π
…
III) Enroulement de la droite des réels (voir vidéo)
On considère le cercle trigonométrique C de centre O muni d'un repère orthonormé (O, I, J) – I et J sont
alors des points de C – ainsi la droite des réels d, orientée verticalement et passant par I.
Pour tout point M de d, il existe un point N de C tel que IM = .
Application : Pour tout réel x on peut placer un point N associé à x sur C tel que ;ION = x radians.
Remarque : en pratique, on n'effectue pas l'enroulement mais on peut directement placer N selon la
méthode suivante.
 Méthode : Placer sur le cercle trigonométrique le point N associé au réel
6
7π
.
On considère d'abord l'angle "de référence" : (c'est-à-dire 30°)
On "compte" alors 7 fois cet angle dans le sens indirect. On obtient alors N… :

Remarque : si plusieurs "tours" de cercle sont effectués, on peut les "supprimer" :
4
3π
4
8π
2
4
3π
4
16π
4
19π
.
IV) Cosinus, sinus et tangente
On considère le cercle trigonométrique C de centre O muni d'un repère orthonormé (O, I, J), ainsi qu'un
point N du cercle associé à un angle x donné en radians.
On a : cos x = xN (abscisse de N) et sin x = yN (ordonnée de N).
Preuve : Soient N1 et N2 les points de (OI) et (OJ) tels que ON1 = xN et ON2 = yN.
 Dans le triangle ONN1 rectangle en N1, on a : cos x =
ON
ON
hypoténuse
adjacentcôté 1
.
Or, ON est le rayon du cercle trigonométrique, qui vaut alors 1, et ON1 = xN.
Donc cos x =
1
xN
= xN.

 Dans le triangle ONN2 rectangle en N2, on a : sin x =
ON
ON
hypoténuse
opposécôté 2
.
Or, ON est le rayon du cercle trigonométrique, qui vaut alors 1, et ON2 = yN.
Donc sin x =
1
yN
= yN.
On obtient le tableau suivant pour le premier "quart de cercle" :
x
0
6
π
4
π
3
π
2
π
cos x
1
2
3
2
2
2
1
0
sin x
0
2
1
2
2
2
3
1
tan x
0
3
3
1
3
 Les valeurs des cases bleues ont été obtenues par lecture des coordonnées de N.
 Les autres ont été obtenues par calcul grâce aux relations cos2 x + sin2 x = 1 et tan x =
xcos xsin
.
 tan
2
π
n'existe pas…
Remarques :  Pour les multiples utilisations de ce tableau, se référer aux exercices faits avec le
professeur.
 Pour les élèves désirant suivre une filière scientifique, il peut être judicieux
d'apprendre ce tableau "par cœur", dès à présent…