Modèle mathématique.

Trigonométrie
I) Rappels
x
Quel que soit l'angle aigu x d'un triangle rectangle, on a :
cos x 
côté adjacent
hypoténuse
cos2 x + sin2 x = 1.
sin x 
côté opposé
hypoténuse
tan x =
sin x
.
cos x
tan x 
côté opposé
côté adjacent
II) Cercle trigonométrique, radians
(Cette partie du cours nécessite une activité préparatoire mettant en évidence la relation entre la mesure d'un angle au
centre d'un cercle et la longueur de l'arc intercepté par cet angle)
Définition : On appelle cercle trigonométrique le cercle de rayon 1 muni d'un sens de parcours "positif"
– ou "direct" – qui est contraire au sens des aiguilles d'une montre (sens antihoraire).
Exemple : Les cercles C et C' suivants sont des cercles trigonométriques :
 Les différentes longueurs ou distances étudiées ne sont plus en centimètres ou autre unité de
mesure connue…
 Quelle que soit la taille du cercle trigonométrique, son rayon vaut toujours 1 et donc son
périmètre vaut 2.
Remarque : Quelques valeurs sont utiles à retenir dès à présent : 2 pour la longueur du cercle,  pour le
π
demi-cercle et
pour le quart de cercle (angle droit). Problème : ces valeurs ne sont pas
2
données en centimètres, mais dans une unité inconnue…
Définition : Soient I et M des points du cercle trigonométrique de centre O. On dit que l'arc de cercle
a pour mesure le radian.
Remarque : L'angle au centre
;IOM de mesure x degrés peut être associé à la longueur de l'arc de
cercle
de mesure y radians, et donc par extension on notera :
;IOM = x° = y rad.
Propriété : Les radians et les degrés sont proportionnels, on a :
360 180 90 …
π
Radians 2
…

2
Degrés
π
π
radians, car : (60 × 2) : 360 = .
3
3
π
 45° valent
radians, car il s'agit de la moitié de 90°, donc la moitié de
4
7π
 Ainsi, 105 ° valent
radians, car 105° = 60° + 45° et donc on calcule
12
Exemple :  60° valent
π
.
2
π π
 …
3 4
III) Enroulement de la droite des réels (voir vidéo)
On considère le cercle trigonométrique C de centre O muni d'un repère orthonormé (O, I, J) – I et J sont
alors des points de C – ainsi la droite des réels d, orientée verticalement et passant par I.
Pour tout point M de d, il existe un point N de C tel que IM =
.
Application : Pour tout réel x on peut placer un point N associé à x sur C tel que
;ION = x radians.
Remarque : en pratique, on n'effectue pas l'enroulement mais on peut directement placer N selon la
méthode suivante.
 Méthode : Placer sur le cercle trigonométrique le point N associé au réel 
7π
.
6
On considère d'abord l'angle "de référence" :
(c'est-à-dire 30°)
On "compte" alors 7 fois cet angle dans le
sens indirect. On obtient alors N… :
Remarque : si plusieurs "tours" de cercle sont effectués, on peut les "supprimer" :
19π 16π 3π
8π 3π


 2  .
4
4
4
4
4
IV) Cosinus, sinus et tangente
On considère le cercle trigonométrique C de centre O muni d'un repère orthonormé (O, I, J), ainsi qu'un
point N du cercle associé à un angle x donné en radians.
On a : cos x = xN (abscisse de N) et sin x = yN (ordonnée de N).
Preuve : Soient N1 et N2 les points de (OI) et (OJ) tels que ON1 = xN et ON2 = yN.
côté adjacent ON1
 Dans le triangle ONN1 rectangle en N1, on a : cos x =
.

hypoténuse
ON
Or, ON est le rayon du cercle trigonométrique, qui vaut alors 1, et ON1 = xN.
x
Donc cos x = N = xN.
1
côté opposé ON2
.

hypoténuse
ON
Or, ON est le rayon du cercle trigonométrique, qui vaut alors 1, et ON2 = yN.
y
Donc sin x = N = yN.
1
 Dans le triangle ONN2 rectangle en N2, on a : sin x =
On obtient le tableau suivant pour le premier "quart de cercle" :
x
0
cos x 1
sin x 0
tan x 0
π
6
3
2
1
2
π
4
2
2
2
2
3
3
1
π
3
1
2
3
2
π
2
0
1
3
 Les valeurs des cases bleues ont été obtenues par lecture des coordonnées de N.
 Les autres ont été obtenues par calcul grâce aux relations cos2 x + sin2 x = 1 et tan x =
sin x
.
cos x
π
 tan   n'existe pas…
2
Remarques :  Pour les multiples utilisations de ce tableau, se référer aux exercices faits avec le
professeur.
 Pour les élèves désirant suivre une filière scientifique, il peut être judicieux
d'apprendre ce tableau "par cœur", dès à présent…