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LP 38 Etude macroscopique de la polarisation,
du champ E et du vecteur D dans les milieux diélectriques
A) Condensateurs:
1) Conducteur
Considérons un conducteurs chargé isolé. Il porte sur ces armatures, distante de b et de
surface A une charge Q. Le calcul de
E
se fait par le théorème de Gauss et on
obtient que
x
u
A
Q
E
0
et que la différence de potentiel
vaut
b
A
Q
ldEVV
0
.
. On en déduit la capacité
du condensateur plan
bA
C0
Supposons maintenant que l'on introduise un métal à l'intérieur du condensateur:
Le champ électrique dans le métal n'a pas changé,
ainsi que le champ à l'extérieur toujours calculable par
le théorème de Gauss. On a donc
eb
A
Q
VV  
0
,
ce qui donne une nouvelle capacité
eb A
C 0 '
.
L'introduction d'un métal a donc pour conséquence physique d'annuler le champ électrique
dans la région de l'espace où il se trouve, modifiant ainsi la capacité du condensateur.
2) Diélectrique
On introduit à présente un diélectrique entre les armatures du condensateur, à charge
constante.
L'introduction du diélectrique a pour effet de
diminuer le champ total dans la zone où il se trouve, ce
qui a pour conséquence d'augmenter la capacité.
Nous allons à présent étudier ceci plus
quantitativement.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
+ + + + + + + + +
+
-Q
+Q
b
E
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
+ + + + + + + + +
+
-Q
+Q
b
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
+ + + + + + + + +
+
-Q
+Q
b

B) Polarisation d'un diélectrique
1) Définitions
Un diélectrique est un corps où les charges sont liées. C'est donc un isolant. Lorsque l'on
impose un champ électrique extérieure, il y a une déformation des nuages électroniques.
Cette déformation fait que chaque
atome ou molécule va être équivalent à
un petit dipôle.
Considérons à présent un échantillon du diélectrique dont la taille doit être:
- très inférieure à la taille de l'échantillon pour avoir en son sein des grandeurs uniformes
- très grande devant la taille des atomes, ceci pour pouvoir travailler sur des grandeurs
moyennées
Cette cellule sera repérée par la position de son centre
r
On définit alors un vecteur polarisation au point
r
par:
d
p
rP at
L'ensemble de ces dipôles va créer un champ électrique qui
va se rajouter au champ électrique extérieur
0
E
et qui constitue
la réponse du diélectrique à un champ électrique. Le champ total s'écrira donc:
d
EErE 
 0
2) Calcul du champ créé par les dipôles:
On sait que le potentiel créé par un dipôle élémentaire vaut:
2
0
41QM uQP
MV
.
Le potentiel créé par l'ensemble du diélectrique vaudra donc:
diel
dQM udQP
MV 2
0
.
41
Or on sait que
QM grad
QM
uQ1
2
. On a donc
diel
dd
QM
gradPMV
1
.
41
0
De plus on a, pour tout vecteur et tout scalaire
agradAAadivAadiv ..  
et donc ici
diel QQd dPdiv
QMQM
QP
divMV
1
41
0
, ce qui s'écrit grâce au théorème de
Green Ostrogradsky:
  diel Qd dPdiv
QMQM SdQP
MV
1
41 41
00
On voit alors que les dépendances en QM sont en inverse et donc que ce potentiel est
rigoureusement équivalent au potentiel créé par:
E
p
d

- pour le premier terme une surface chargée avec
nP 
.
- pour le second terme un volume chargé avec
Pdiv 
Ceci signifie que l'on peut décrire un diélectrique polarisé de deux manières différentes:
On peut retrouver ce résultat qualitativement. Considérons pour cela un échantillon de
diélectrique tout d'abord uniformément polarisé et divisons le en cellules mésoscopiques:
On a
0Pdiv
et donc bien
0
. Cependant, la question
que l'on se pose est si ces charges sont physiquement réelles.
En fait, il ne s'agit que d'une description très pratique, mais
rien de plus. Signalons seulement qu'il existe une description
similaire en magnétisme.
C) Equations de Maxwell dans les diélectriques
1) Champ moyennés dans la matière:
Les équations de Maxwell sont valables au niveau macroscopique avec des grandeurs
locales:
0
0
ediv
bdiv
et
t
e
jbrot
t
b
erot
00
Au niveau de la matière, on considère des champs moyennés macroscopique donnés par
bB 
et
eE 
, ainsi que
micro
et
micro
jj  
. Ce faisant, on coupe les hautes
fréquences spatiales pour ne garder que des variations à l'échelle macroscopique. Ceci n'est
possible que parce que les équations de Maxwell sont linéaires.
+ + + + + + + + +
+
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
+ +
_ _
+ +
_ _
+ +
_ _
+ +
_ _
+ +
_ _
+ +
_ _
+ +
_ _
+ +
_ _
+ +
_ _
+ + + + + +
_ _ _ _ _ _
+
_
+ +
_ _
_ _ _ _
+ + + +

pol
E
2) Equations de Maxwell:
Dans un milieu diélectrique, en se servant de la description des charges équivalentes, on a:
PdivEdiv librespollibres
00
11
. On définit alors un vecteur
D
par
PED   0
. L'équation de Maxwell – Gauss s'écrit alors, dans un milieu diélectrique,
libres
Ddiv
De même, on définit un courant de polarisation
t
jpol
pol 
, et l'équation de Maxwell –
Ampère s'écrit
 t
D
jBrot
0
3) Un premier retour sur le condensateur plan:
Reprenons le condensateur plan du début entre les armatures duquel on a placé un barreau
diélectrique. L'application du champ électrique au diélectrique va entraîner l'apparition de
charges sur les faces du diélectrique. D'après l'étude précédente, ceci est équivalent à
l'apparition d'un vecteur polarisation uniforme. Par
ailleurs, l'apparition de ces charges va entraîner
l'apparition d'un champ électrique
pol
E
de sens opposé
à celui de
0
E
. Le champ électrique total dans le
diélectrique va donc être diminué et ceci va conduire,
conformément au raisonnement fait en introduction, à une augmentation de la capacité.
Cependant, on ne peut à ce stade déterminer quantitativement cette augmentation de capacité.
En effet, il nous faut connaître la réponse du matériau à un champ électrique extérieur. C'est
ce que nous allons voir maintenant.
4) Relations phénoménologiques:
Cependant, les relations de Maxwell ne permettent pas de déduire tous les résultats de la
matière. Il manque en effet une équation, caractérisant la réponse de la matière à une
excitation électrique (comme la loi d'Ohm pour un conducteur).
Celle-ci s'écrit, si la réponse est linéaire,
rEP 
0
, où le champ électrique est le champ total
pol
EEE   0
, et où s'appelle
le tenseur de susceptibilité électrique. Si le milieu est homogène, alors ce tenseur ne dépend
pas de la position et s'il est isotrope, il se réduit à une constante. Dans un milieu LHI, on a
alors:
EP 
0
Le vecteur
D
est alors donné par
EED r
00 1
, où
r
est appelé permittivité
diélectrique relative.
Valeurs numériques : BFR p.269
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
+ + + + + + + + +
+
-Q
+Q
b
0
E
+ + +
_ _ _

4) Ultime retour sur le condensateur:
Nous sommes maintenant armés pour déterminer l'augmentation de capacité. Pour illustrer
l'équivalence des deux descriptions ( avec
P
et
D
dans le milieu et charges partielles dans le
vide), nous allons déterminer le champ électrique à l'intérieur du diélectrique de deux
manières.
Plaçons nous tout d'abord dans la description utilisant les charges. L'application du champ
électrique entraîne l'apparition de charges liées à
P
par
P
pol 
, et la relation
phénoménologique va donc s'écrire
E
pol 0
. Le champ électrique en dehors du
diélectrique est toujours inchangé et vaut
x
uE 
0
0
. Si on applique le théorème de Gauss à
un volume carré englobant les charges de polarisation, on a:
0
0
S
ESSE pol
, soit
0
0
1
1E
pol 
. On en déduit le champ à l'intérieur du
diélectrique:
r
E
E
0
0
1
On aura alors
rr
e
eb
A
Qe
ebVV
00
. La capacité va donc valoir
r
diel eeb A
C
/
0
. Si le diélectrique remplit tout le condensateur, on a le résultat classique
C
b
A
Crrdiel  0
0
Si on se place à présent dans une description en terme de milieu, le théorème de Gauss
nous dit, en utilisant l'équation de Maxwell – Gauss:
0
0 SDSD diel
(il n'y a dans cette description pas de charges surfaciques. Il faut de
manière générale bien prendre garde à ne pas mélanger les deux descriptions). Or on a
000 ED
et
ED rdiel
0
et donc
0
EE r
. On retrouve le même champ et donc la même
capacité.
5) Applications:
a) Approche sommaire de la dilution:
Si on considère deux charges opposées
q
et
q
dans un liquide, milieu diélectrique (pour
l'eau,
80
r
). Le champ créé par une charge au niveau de l'autre va s'écrire:
u
r
q
E
r 0
41
, et donc la force attractive va être
r
vide
r
F
u
r
q
F
0
2
4
. La force
attractive va donc être beaucoup moins intense que dans le vide, ceci constituant une première
explication de la dissolution des composés ioniques. En fait, c'est l'explication pour les
composés ioniques atomiques.