Première partie : définition des fonctions sinus et cosinus
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TRAVAUX DIRIGES Fonctions sinus et cosinus Première partie : définition des fonctions sinus et cosinus En enroulant comme ci-dessous une droite munie d'un repère d'unité 1 sur le cercle trigonométrique ( cercle de rayon 1 orienté ) on peut "graduer" le cercle. Plus précisément le point N d'abscisse x sur la droite vient en M sur le cercle. x est appelé abscisse curviligne de M On admet : Chaque point M admet une infinité d'abscisses curvilignes ( On peut enrouler le cercle plusieurs fois ) Il est associé un unique point M sur le cercle à un réel x donné Définition : Soit x un nombre réel . Soit M le point d'abscisse curviligne x sur le cercle trigonométrique. On appelle cosinus de x ( noté cos x ) l'abscisse de x On appelle sinus de x ( noté sin x ) l'ordonnée de x La fonction cosinus ( notée cos ) associe à tout réel x son cosinus La fonction sinus ( notée sin ) associe à tout réel son sinus Deuxième partie : Abscisse curviligne principale On peut visualiser les abscisses curvilignes d'un point sur le cercle trigonométrique comme l' ensemble des distances sur le cercle ( affectées de signe + ou – suivant le sens de parcours ) permettant de passer du point O au point M . En ce sens il existe un parcours le plus court sur le cercle trigonométrique . Celui ci correspond à ce que l'on appelle l'abscisse curviligne principale . 04/17 PREMIERE S Page 1 sur 5 TRAVAUX DIRIGES Fonctions sinus et cosinus Premier cas : M appartient au demi-cercle supérieur. L'abscisse curviligne principale est L Deuxième cas : M appartient strictement au demi cercle inférieur .L'abscisse curviligne principale est – L' On en déduit la propriété suivante : Définition : : Soit M un point du cercle . Il existe une unique abscisse curviligne appartenant à l'intervalle ] - ; + ] . Elle est appelée abscisse curviligne principale . Exercice 1 : 1) Placer sur le cercle trigonométrique ci-contre les points A , B , C , D , E et F d'abscisses curvilignes 3 7 ; ; ; ;2 ;9 2 2 2 2) En déduire les valeurs de 3 7 sin ; sin ; sin ; sin ; sin 2 ; sin(-9 ) 2 2 2 puis de 3 7 cos ; cos ; cos ; cos ; cos2 ; cos(-9 ) 2 2 2 E2 : 1) Placer sur le cercle trigonométrique ci-contre les points A ,B , C ,D , E , F , G et H d'abscisses curvilignes 2 5 5 19 2004 ; ; ; ; ; -; ; 64 33 6 43 3 2) Donner l'abscisse curviligne principale de F , G et H. Troisième partie : Propriétés des fonctions sinus et cosinus 1) Représentations graphiques 04/17 PREMIERE S Page 2 sur 5 TRAVAUX DIRIGES Fonctions sinus et cosinus 1 5 5 1 0 1 Exercice 3 : La représentation graphique de la fonction sinus est donnée ci-dessus : 2 ; ; ;2 ;3 ;4 1) a) Placer sur l'axe des abscisses les valeurs suivantes : 3 7 b) Placer de même ; - ; ; 2 2 2 2 1 2) On considère l'équation sin(x) . 2 a) Combien l'équation admet-elle de solutions sur [ -2 ; 4 ] ? b) Donner ( comme fraction de ) les valeurs exactes de ces solutions . Exercice 4 : La représentation graphique de la fonction cosinus est donnée ci-dessous : 1 5 5 1 0 1 1 . 2 a) Combien l'équation admet elle de solutions sur [ -2 ; 4 ] ? b) Donner ( comme fraction de ) les valeurs exactes de ces solutions . Exercice 5 : Les représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus sont données ci-dessous : On considère l'équation cos(x) 1 5 5 1 0 1 1) On considère l'équation sin ( x ) = cos ( x ) a) Combien l'équation admet-elle de solutions sur [ -2 ; 4 ] ? b) Donner (comme fraction de ) les valeurs exactes de ces solutions 2) a) Par quelle translation la représentation graphique de la fonction cosinus est elle l'image de la représentation graphique de la fonction sinus ? . b) En déduire une relation entre les fonctions sinus et cosinus . QUELQUES INFORMATIONS 04/17 PREMIERE S Page 3 sur 5 TRAVAUX DIRIGES Fonctions sinus et cosinus La fonction sinus est impaire Ainsi sin ( -x ) = - sin ( x ) pour tout x de IR La fonction cosinus est paire Ainsi cos ( -x ) = cos ( x ) pour tout x de IR Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2 Ainsi sin ( x + 2 ) = sin ( x ) pour tout x de IR et cos ( x + 2 ) = cos (x) pour tout x de IR En effet les points d'abscisses curvilignes x et x + 2 sont confondus sur le cercle trigonométrique . Le point M (cosx , sinx ) appartient au cercle de centre O et de rayon 1 donc OM = 1 donc sin²(x) + cos²(x) = 1 Quatrième partie : Lignes trigonométriques remarquables Quelques considérations de géométrie élémentaire permettent d'obtenir le tableau de valeurs ci-dessous : x 0 /6 /4 /3 /2 Sin(x) 0 1/2 1 2 /2 3/2 Cos(x) 1 1/2 0 2 /2 3/2 les symétries sur le cercle trigonométrique permettent d'obtenir les résultats présentés ci-dessous : Exercice : Déterminer les valeurs exactes des sinus et cosinus des réels suivant : 7 5 233 2005 3 7 ; ; ; ; ; 3 6 6 4 4 4 Cinquième partie : Cosinus et Sinus des angles associés . Des considérations de symétrie sur le cercle trigonométrique donnent : 04/17 PREMIERE S Page 4 sur 5 TRAVAUX DIRIGES Fonctions sinus et cosinus M M N o M o A o A N A N M M N o A N k v o EXERCICE : 1) Simplifier les expressions suivantes : A = sin( - x) – sin(x) + sin( + x) B = cos(x) + cos(x+/2) + cos(x + ) +cos(-x - 3/2) C = sin(245 + x) + cos(71/2 – x ) 3 5 11 13 sin sin sin 0 2) Démontrer que : sin 8 8 8 8 3) N° 71 page 252 4) N° 44 page 249 4) N° 38 et 39 page 249 ( Il faudra utiliser la formule cos²(x) + sin²(x) = 1 u A ) Sixième partie : Résolution d' équations Dans la première partie nous avons résolu à l'aide des représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus les équations 1 1 sin(x) et cos(x) . Grâce aux exercices ci-dessous vous allez apprendre à résoudre de telles équations en utilisant le cercle 2 2 trigonométrique . N° 72 , 73 et 74 04/17 page 252 PREMIERE S Page 5 sur 5
