Leçon 13

Leçon n°13
PGCD et PPCM de 2 entiers naturels
Vu en 3ème, Terminal S spé.
Pré requis : Division euclidienne dans IN.
Il manque une relation important avec l’algo d’euclide.
1) Activité introductive
(powerpoint)
2) Définitions
Théorème 1 et définition 1 : Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
_L’ensemble des deviseurs communs à a et b admet un plus grand élément D appelé PGCD
de a et b.
_L’ensemble des multiples communs strictement positifs de a et b, admet un plus petit
élément M, appelé le PPCM de a et b.
Définition 2 : On dit que deux entiers naturels non nuls a et b sont premiers entre eux lorsque
leur PGCD est égale à 1.
3) Méthodes (à revoir)
Algorithme d’Euclide (300 av JC) : le PGCD de a et b est le dernier reste non nul de
l’algorithme d’euclide.
4) Applications
Le théorème de Bézout (18ème siècle): Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si
et seulement si il existe des entiers naturels u et v tel que au+bv=1.
Le théorème de Gauss (19ème siècle): Soit a,b,c trois entiers non nuls. Si a divise bc et a est
premier avec b alors a divise c.
Equation diophantienne (250 av JC): Exo p 53 collection pixel, term S ed.bordas
5) Relation entre PGCD et PPCm
Prop : soit a et b deux entiers non tous les deux nuls et D un entier naturel : D=PGCD(a,b) si
et seulement si a=Da’ et b=Db’ avec a’ et b’ premier entre eux.
De plus on les relations M=Da’b’=ab’=ba’ et MD=ab.
Démonstration :
Démo thm 1 : _Supposons par exemples a différent de 0. L’ensemble des diviseurs
communs à a et b est non vide (car il contient 1) et est fini (car il contient que des entiers
comris entre 1 et a). Il admet donc un plus petit élement, qui est le plus grand des diviseurs
communs à a et b. (toute partie finie non vide de IN admet un plus grand élement) ADMIS !
(prop de la borne sup).
_L’ensemble des multiples communs de a et b est une partie non vide (elle
contient ab). Il admet donc un plus petit élement. (Dans IN, un partie non vide admet un plus
petit élement) (prop borne inf) ADMIS !
Démo Bézout : Supposons que a et b sont premiers entre eux. REFAIRE AVEC
RECURRENCE. Ou alors : on utilise les écritures de l’algorithme d’euclide.
a=b𝑞0 + 𝑟0 , on a𝑟0 = 𝑎 − 𝑏𝑞0 = 𝑎𝑢0 + 𝑏𝑣0 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢0 = 1 𝑒𝑡 𝑣0 = −𝑞0 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑠.
b=𝑟0 𝑞1 + 𝑟1 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑟1 = 𝑏 − 𝑟0 𝑞1 = 𝑏 − (𝑎𝑢0 + 𝑏𝑣0 )𝑞1
𝑏𝑣1 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢1 = −𝑢0 𝑞1 𝑒𝑡 𝑣1 = 1 − 𝑣0 𝑞0 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑠.
c’est
de
la
forme
voulu
𝑎𝑢1 +
Pas à pas, on exprime chaque reste comme combinaison linéaire entière de a et b jusqu’à
𝑟𝑛 = 1.
Réciproquement : s’il existe u et v tels que au+bv=1, un diviseur commun d à a et b divise
au+bv donc divise 1.
Par suite d=1 ou =-1. Donc PGCD(a,b)=1. Donc ils sont premiers entre eux.
Démo GAUSS : On a a divise bc donc il existe un entier relatif k tel que bc=ka. On a a
premier avec b donc par le thm de Bézout, il existe u et v tel que au+bv=1.
En multipliant par c, on obtient acu+bcv=c, cad acu+akv=c cad a(cu+kv)=c et cu+kv est un
entier. Donc a divise c.
Démo propriété : Si D=PGCD(a,b) alors D∈ 𝑍 ∗. D|a et D|b. Il existe donc a’ et b’ tel que
a=Da’ et b=Db’. Donc PGCD(a,b)=D*PGCD(a’,b’) (par homogénéité du PGCD).
Soit D=D*PGCD(a’,b’). Donc PGCD(a’,b’)=1.
Si a=Da’ et b=Db’ avec PGCD(a’,b’)=1. Et D∈IN* alors PGCD(a,b)=D*PGCD(a’,b’)=D.
Démo de la relation : D’après ce qu’on vient de montrer, on a a=Da’ et b=Db’ avec
PGCD(a,b)=1.
Concidérons l’entiers Da’b’. Da’b’ est uin multiple commun à a et b puisque Da’b’=ab’=ba’.
Soit n un multiple commun à a et b. On peut écrire n=𝛼a’=𝛽b’ où 𝛼 et 𝛽 sont des entiers
relatifs. Donc n=𝛽Db’= 𝛼Da’ (*) qui entraine en simplifiant par D non nul, 𝛼a’= 𝛽b’
Donc a’| 𝛽b’. Or a’ et b’ sont ptemiers entre eux. Par le thm de Gauss, on a donc a’| 𝛽. Donc
𝛽=a’k où k∈Z.
En remplacant dans (*), on a n=𝛽Db’=k(Da’b’).
Tout multiple commun à a et b est un multiple de Da’b’.
Conclusion : Le plus petit multiple cummun à a et b est Da’b’ c'est-à-dire M.
Et donc en multipliant par D, on a DM=Da’b’D=ab.