Chapitre_9_probabilites

PROBABILITES
Chapitre 9
I. Langage des évènements
Si nous connaissons les conditions d'une expérience sans pouvoir prévoir son résultat, nous sommes
en présence d'une expérience aléatoire. Chaque résultat possible est une issue ou une éventualité.
L'ensemble de toutes les éventualités de cette expérience aléatoire est l'univers des possibles .
Toute partie de l'univers est un événement.  est l'événement certain ;  est l'événement impossible.
Un événement qui ne contient qu'une éventualité est un événement élémentaire.
Exemple :
On lance une fois un dé cubique usuel.
 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
A : "obtenir un nombre pair" est l'événement {2 ; 4 ; 6}.
B : "obtenir 5" est un événement élémentaire {5}.
C : "obtenir un multiple de 3" est l'événement {3 ; 6}.
D = "obtenir un nombre impair" est l'événement {1 ; 3 ; 5}.
L'événement A  C, c'est l'événement formé de tous les résultats favorables à la fois à l'événement
A et à l'événement C.
Donc A  C = {6}.
L'événement A  C, c'est l'événement formé de tous les résultats favorables à l'un au moins des
évènements A ou C.
Donc A  C = {2 ; 3 ; 4 ; 6}.
Deux évènements qui n'ont aucune éventualité commune sont des évènements incompatibles (ou
disjoints).
A  B =  donc les évènements A et B sont incompatibles.
L'événement constitué de toutes les éventualités de  qui n'appartiennent pas à A est appelé
l'événement contraire de A, noté Error!.
Donc A et D sont des évènements contraires car A  D =  et A  D = .
Un schéma important :
AB

A
AB
-1-
B
Chapitre 9 : 1ère ES
II. Calculs de probabilités
A] Définition
On considère l'univers  lié à une expérience aléatoire.
Définir une probabilité sur , c'est associer à chaque événement un nombre de l'intervalle [0 ; 1] tel
que :
 La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires de l'univers est 1.
 la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui
le composent.
Remarques :
La probabilité de l'événement certain est 1 : p() = 1.
La probabilité de l'événement impossible est 0 : p() = 0.
Exemple :
On reprend le dé de tout à l'heure.
p(A) = p({2 ; 4 ; 6}) = p({2}) + p({4}) + p({6}) = Error! + Error! + Error! = Error!.
p(A  C) = p({6}) = Error!.
Exercices 1, 5p86.
Exercices 9, 10p87.
B] Propriétés

Pour tous les évènements A et B :
p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B).

Pour deux évènements A et B incompatibles :
p(A  B) = p(A) + p(B).

Pour tout évènement A,
p(Error!) + p(A) = 1 ou p(Error!) = 1 – p(A).
Remarque :
Les évènements A  B et Error!  B sont incompatibles et leur réunion est B, d'où :
p(B) = p(A  B) + p(Error!  B).
Cas d'équiprobabilité :
Lors d'une expérience aléatoire, si tous les éléments élémentaires ont la même probabilité(c'est-àdire tous les résultats ont la même chance d'apparaître), on dit qu'il y a équiprobabilité des résultats
(l'exemple de tout à l'heure est un cas d'équiprobabilité).
Ainsi, si l'univers  a n résultats possibles, alors chaque événement élémentaire a une probabilité de
Error!, et pour un événement A ayant k résultats favorables, alors :
p(A) = Error!
Dans le cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement A de l'univers  est :
p(A) = Error!
Il y a équiprobabilité lorsqu'on a un dé bien équilibré, un jeu de cartes bien battue .... ou lorsque
l'action s'effectue au hasard, en particulier lors du choix d'un individu dans un groupe.
Exercice 6p86.
Exercices 11, 12, 13p87.
Exercices 15, 16, 18, 21p88.
Exercices 24p89.
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Chapitre 9 : 1ère ES
C] Arbres pondérés
Exemple :
Dans un lycée, 45 % des élèves sont des filles. Parmi les filles, 30 % sont internes et 70 % externes.
Parmi les garçons, 60 % sont internes et 40 % sont externes.
Cette situation peut-être représentée par l'arbre pondéré ci-contre.
On tire au hasard une fiche dans le fichier de tous les élèves du
lycée.
On admettra que :
Lorsqu'une situation est représentée par un arbre pondéré, la
probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale au
produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin.
Ainsi la probabilité de tirer une fiche d'une fille externe est égale à :
0,45  0,7 = 0,315
Règle importante :
La somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.
Exercice 25p89.
Exercices 26, 27p90.
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Chapitre 9 : 1ère ES