Calcul de champs magnétiques
publicité
Calcul de champs magnétiques I Loi de Biot et Savart A) Enoncé (C) I M + dl P (C) : circuit filiforme orienté, définissant le courant I. M est un point de l’espace. Un élément dl en P du fil crée en M un champ magnétique : 0 Idl u PM dB( M ) 4 PM 2 0 : perméabilité du vide 4 10 7 H.m 1 principe de superposition : 0 Idl u PM (C) crée en M un champ magnétique B( M ) 4 ( C ) PM 2 B) Champ magnétique créé par une spire circulaire sur son axe On considère une spire de centre O, rayon R parcourue par un courant I (définissant le sens positif) z M O I y R x On cherche le champ B en un point M de côte z sur l’axe (Oz . Le plan yOz est un plan d’antisymétrie pour I , donc un plan de symétrie pour B. Comme M yOz , on a B x 0 . De même avec xOz , on aura B y 0 . Donc B( M ) B z (0,0, z )k B z ( z )k De plus, Bz est une fonction paire : le plan xOy est un plan de symétrie pour I , donc un plan d’antisymétrie pour B . Donc, en M’ d’abscisse z , on aura : Bz ( z )k B(M ' ) s xOy ( B(M )) s xOy ( Bz ( z )k ) Bz ( z ).s xOy (k ) Bz ( z )k Loi de Biot et Savart : I y e dP e P d O x OP .e dP d.e .d .e Rd .e PM PO OM R.e z.k Donc PM 2 R 2 z 2 PM R.e z.k Ainsi, u PM . PM R2 z2 L’élément infinitésimal crée en M un champ : dB( M ) 0 4 0 I R .d zRd R 0 0 z 2 R d I 0 3 4 z 2 R 2 3 / 2 PM I Ainsi, B( M ) Bz ( z )k dB( M ) k k 0 (C ) 4 0 R 2 d 2 z 0 2 R2 3/ 2 I R2 Soit B( M ) 0 2 z 2 R2 3/ 2 et, pour z 0 : I B(0) 0 k 2R 3 R Donc B( M ) B(0) 2 2 z R M 2 R 2 z z R Donc B( M ) sin 3 ( ).B(0) B( M ) 1 / z 3 (caractéristique de la nature dipolaire du champ B ) z C) Champ créé par un solénoïde de longueur L, sur son axe R L Cylindre de longueur L, rayon R sur lequel on réalise un enroulement serré de N tours de fil parcouru par un courant I. Cet enroulement équivaut à N spires de même rayon R, parcourues par un même courant I, équidistantes et équiréparties sur la longueur L du solénoïde. Condition : L L R , ou N . N R A M zM H z z2 z+dz z z1 L dz ndz spires (n : nombre de spires par unité de longueur) L situées entre les côtes z et z dz créent en M un champ magnétique : 0 .dN spires I R2 dB(M ) k 3/ 2 2 R 2 (z zM )2 Les dN spires N z2 0 R 2 nI z2 dz Ainsi, B( M ) dB( M ) z1 z 2 1 2 R (z zM )2 R 2 nI z zM Soit B( M ) 0 2 2R R 2 ( z z M ) 2 On a : z z M HM , z2 k z1 R 2 ( z z M ) 2 AM z zM Donc k 3/ 2 R 2 (z zM )2 cos , où (k ,ˆ MA) . 2 1 M z nI Ainsi, B( M ) 0 (cos 2 cos 1 )k 2 Cas particulier : Pour un solénoïde très long et un point M à l’intérieur, très éloigné des deux faces : M z2 z1 z cos 2 cos 1 1 (1) 2 Donc B(M ) 0 nI .k II Flux du champ magnétique A) Propriété fondamentale du champ magnétique Pour une surface fermée S : S ( B) B(M ) dS 0 S Rappel du théorème de Gauss : Q S ( E ) int 0 Remarque : En électrostatique, on peut dissocier les charges + des charges – alors qu’en magnétostatique, on ne peut pas séparer un pôle sud d’un pôle nord. Donc, par analogie avec l’électrostatique pour la charge, on pourrait avoir à la place les pôles, ce qui explique le fait que S ( B) 0 (autant de pôles nord que de pôles sud) B) Tube de champ nlat n2 n1 S1 Slat S2 S S1 S 2 S lat est une surface fermée. S ( B) 0 S2 ( B) Slat ( B) S1 ( B) 0 En tout point de S lat , n lat est perpendiculaire au champ magnétique. Donc Slat ( B) 0 Donc S1 ( B) S2 ( B) S1 ( B) : flux entrant (gauche vers droite) S 2 ( B) : flux sortant (gauche vers droite) On a donc conservation du flux électromagnétique dans un tube de champ. [ ] Wb : le Weber. 1Wb 1T.m 2 III Circulation de B , théorème d’Ampère A) Théorème d’Ampère On considère un contour orienté. I1 n + I2 n Théorème d’Ampère : C ( B) 0 I S ( B ne dérive donc pas d’un potentiel, car sinon C ( B ) 0 ) C ( B) B(M ) dM , où dM est dans le même sens que le sens positif de . Et I S est la somme algébrique des courants qui traversent S dans le sens positif associé à . Ici, I S I1 I 2 B) Champ créé par un fil rectiligne infini z H k e M e k O N I y x 1) Symétries Le plan (O, e , k ) est un plan de symétrie pour I , donc un plan d’antisymétrie pour B . Comme M est dans ce plan, B (M ) est perpendiculaire à (O, e , k ) , donc B(M ) B ( , , z)e . On a une symétrie cylindrique, donc B 0. B 0. La distribution I est invariante par translation d’axe (Oz , donc z Donc B(M ) B ( , )e 2) Théorème d’Ampère Contour d’Ampère : cercle de centre H (Oz , horizontal et de rayon 0. z I n + H Orientation : sens trigonométrique. Surface : disque S de centre H et de rayon , orienté comme k . dM M H + C B(M ) dM B ( M )e M d .e B ( ) .d 2 Donc C ( B) B ( ) .d B ( ) .d 2B ( ) 0 Ici, I S I Donc, d’après le théorème d’Ampère, 2B ( ) 0 I I I D’où B ( ) 0 , soit B( M ) B ( )e 0 e . 2 2 C) Le solénoïde infini L N . On suppose L infini. R I l A 1 z D R 2 B + M n C Plan de la feuille : un (ou le) plan contenant (Oz et M. Le plan passant par M et normal à k est un plan de symétrie pour I , donc d’antisymétrie pour B . Comme M est dans le plan, B (M ) est perpendiculaire à ce plan, donc B( M ) B z ( , , z )k . On a invariance par rotation d’axe (Oz ou translation de direction k . Donc B( M ) B z ( )k . Les lignes de champ sont donc des droites parallèles à l’axe (Oz . On considère le contour ABCDA , orienté dans le sens horaire. C B( M ) dM . - Sur AB : B ( M ) B z ( M ) k B z ( 1 ) k dM d .e d .e dz.k dz.k 0 car cte 1 0 car plan cte zB Donc C Bz ( 1 )dz , soit C AB ( B) C B z ( 1 )dz B z ( 1 ) (l ) AB - Sur BC : dM d.e B(M ) Bz ( )dz Donc CBC ( B) 0 - Sur CD : dM dz.k , B( M ) B z ( 2 )k . zA Donc C Bz ( 2 )dz , soit CCD ( B) Bz ( 2 ) l Sur DA, on aura, de même que sur BC, C D A ( B) 0 Donc C ( B) [ Bz ( 1 ) B z ( 1 )] l I S n l I pour 1 R 2 - nombre de spires pour 1 , 2 R ou 1 , 2 R , I S 0 . Théorème d’Ampère : C ( B) 0 I S Donc : [ Bz ( 1 ) Bz ( 1 )] l 0 I S si 1 , 2 R B z ( 1 ) B z ( 2 ) Soit Bz ( 2 ) Bz ( 1 ) 0 nI si 1 R 2 B ( ) B ( ) si 1 , 2 R z 2 z 1 Bz ( ) A si R Donc , et B A 0 nI Bz ( ) B si R Or, pour 0 (c’est à dire pour un point de l’axe (Oz ), à grande distance des extrémités du solénoïde (ici à l’infini), on a B 0 nI .k Donc A 0 nI , et B 0 Ainsi, B(M ) 0 nI .k à l’intérieur, 0 à l’extérieur.
