Théorème d’Ampère M. Najim Circulation de B Dans le vide, la circulation du vecteur induction magnétique le long d’une courbe fermée orientée 𝚪 (de forme arbitraire) est la somme algébrique des intensités I des courants qui traversent une surface S quelconque s’appuyant sur le contour 𝚪. 𝒏 I d B l 𝓒= 𝑩𝒅𝓵 = 𝝁𝟎 𝑰𝒊 𝚪 I (2) I (3) I (4) I (5) I (6) 1 3 2 3A 2 SG 𝒊=𝟏 3A 1A + 2A G 2A 4A 1A 1 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2 A (7) Circulation de B • Le th. Ampère permet de déterminer le champ créé par éléments de courant. • Il joue le même rôle que le th. de Gauss en électrostatique. • Outils très puissant pour calculer le champ induction magnétique pour un système à haut degré de symétrie comme: bobine, solénoïde, fil infini, nappe de courant… Potentiel vecteur • De même que le champ électrique dérive d’un potentiel électrostatique scalaire, le champ magnétique dérive d’un potentiel vectoriel: le potentiel vecteur. • En magnétostatique, 𝑩 à un caractère tourbillonnaire, sa divergence est toujours nulle contrairement au champ 𝑬 qui a un caractère divergent ( rotationnel nul). • Nous pouvons représenter alors 𝑩 comme le rotationnel d’un vecteur 𝑨 définit à un gradient près. 𝒅𝒊𝒗𝑩 = 𝟎 ⟺ 𝑩 = 𝒓𝒐𝒕 𝑨 + 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇 = 𝒓𝒐𝒕(𝐀 ) • On appelle 𝑨 le potentiel vecteur de l’induction 𝑩. Potentiel vecteur Démonstration Rappelons quatre identités 𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑜𝑡 𝐴 = 0 vectorielles. Soit deux vecteurs A et B et une 𝑑𝑖𝑣 𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝑟𝑜𝑡 𝐴 − 𝐴 ⋅ 𝑟𝑜𝑡 𝐵 fonction scalaire f. 𝑟𝑜𝑡 𝑓 𝐴 = 𝑓𝑟𝑜𝑡 𝐴 + 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 ∧ 𝐴 𝑑𝑖𝑣 𝑓 𝐴 = 𝑓𝑑𝑖𝑣 𝐴 + 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 ⋅ 𝐴 Le courant I passant à travers une section dS, peut être écrit sous la forme du produit de cette section par une densité de courant j: I = j ·dS. Ainsi pour un élément de circuit de longueur dl et de section dS, le produit I dl prend la forme (j·dS) dl = j d3r’ où d3r’ représente un élément de volume du circuit générateur de champ magnétique. 0 r B I.dl 3 4 r 𝑟(𝑟′) 3 𝑗(𝑟′) ∧ 3 𝑑 𝑟′ 𝑟 𝜇0 𝐵(𝑟) = 4𝜋 ϑ′ Potentiel vecteur Démonstration Et la loi de Biot et Savart se généralise de la manière suivante pour un circuit où le courant électrique I est réparti dans l’espace avec une densité de courant 𝒋 (𝒓 ’). 0 r dB I.dl 3 4 r ϑ′ V’ r’ 𝑟(𝑟′) 3 𝑗(𝑟′) ∧ 3 𝑑 𝑟′ 𝑟 𝜇0 𝐵(𝑟) = 4𝜋 r (r ’) + Potentiel vecteur Démonstration Calculons la divergence du champ magnétique à partir de l’expression généralisée de la loi de Biot et Savart: 𝑟(𝑟′) 3 𝜇0 𝑗(𝑟′) ∧ 3 𝑑 𝑟′ = 𝑟 4𝜋 𝜇0 𝛻⋅𝐵 𝑟 =𝛻⋅ 4𝜋 ϑ′ 𝑟(𝑟′) 3 𝛻 ⋅ 𝑗(𝑟′) ∧ 3 𝑑 𝑟′ 𝑟 ϑ′ Appliquons maintenant la deuxième identité vectorielle: 𝑑𝑖𝑣 𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝑟𝑜𝑡 𝐴 − 𝐴 ⋅ 𝑟𝑜𝑡 𝐵 𝛻⋅ 𝑗 𝑟′ ∧ 𝑟 𝑟′ 𝑟3 = 𝑟 𝑟3 ⋅ (𝛻 ∧ 𝑗 𝑟 ′ )-𝑗 𝑟 ′ ⋅ 𝛻 ∧ 𝑟 𝑟3 Le premier terme de droite de l’équation est nul car 𝛻 agit sur des fonctions de r et j ne dépend que de r’. Potentiel vecteur Démonstration Pour calculer le second terme, rappelons que 𝛻 agit sur des fonctions de 𝑟, indépendamment de 𝑟’. On peut donc, pour simplifier, faire le calcul pour la valeur particulière 𝑟 = 0. Plaçons nous dans un repère cartésien: r2 = x2 + y2 + z2 𝑟 𝛻∧ 3= 𝑟 =0 (𝑣𝑜𝑖𝑟 𝑙𝑒 𝑇𝐷1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙) Finalement, nous venons de montrer que la divergence du champ magnétique est nulle. 𝛻 ⋅ 𝐵 = 𝑑𝑖𝑣 𝐵 = 0 Potentiel vecteur • Pour calculer le potentiel vecteur, nous repartons de l’expression générale du champ magnétique et utilisons la troisième identité vectorielle: 𝑟(𝑟′) 3 𝑗(𝑟′) ∧ 3 𝑑 𝑟′ 𝑟 𝜇0 𝐵(𝑟) = 4𝜋 ϑ′ • Mais avant, faisons apparaître le terme de gradient: −𝛻 1 𝑟 = 𝑟 𝑟3 𝑟 𝑟3 sous une forme ( voir TD1). • On peut donc écrire le champ magnétique sous la forme: 𝜇0 𝐵(𝑟) = 4𝜋 1 𝛻 ∧ 𝑗(𝑟′) 𝑑 3 𝑟′ 𝑟 ϑ′ Potentiel vecteur Or, d’après la troisième identité: 𝑟𝑜𝑡 𝑓𝐴 = 𝑓𝑟𝑜𝑡 𝐴 + 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 ∧ 𝐴 1 1 1 𝑔𝑟𝑎𝑑 ∧ 𝑗 = 𝑟𝑜𝑡 𝑗 − 𝑟𝑜𝑡 𝑗 𝑟 𝑟 𝑟 Donc: 𝜇0 𝐵(𝑟) = 4𝜋 𝑗(𝑟′) 3 𝛻∧ 𝑑 𝑟′ 𝑟 ϑ′ On aboutit donc à la définition du potentiel vecteur (après inversion de « Nabla » et du « Signe Somme »: 𝐵 =𝛻∧𝐴 𝜇0 𝐴(𝑟) = 4𝜋 𝑗(𝑟′) 3 𝑑 𝑟′ 𝑟 ϑ′ Potentiel vecteur d’un courant continu filiforme Dans ce cas le courant est repartie dans un volume 𝒱 du circuit filiforme. Soit 𝑑𝒱 = 𝑆𝑑ℓ. Le courant est 𝐼 = 𝑗𝑆 Et j𝑑𝒱 = 𝐼 𝑑ℓ, 𝑑ℓ a le même sens que 𝑗 𝜇0 𝐼 𝐴(𝑀) = 4𝜋 𝑑ℓ 𝑟 𝐶 Utilisation du théorème d’Ampère Long cylindre Soit un long cylindre conducteur parcouru par un courant 𝐼0 de densité homogène j sur toute la section du cylindre de rayon R : 𝐼0 = 𝜋𝑅2 𝑗. Si on considère « long » comme « infini », on sait que par symétrie seule la composante azimutale est non nulle. On prend comme contour adapté à la symétrie un cercle perpendiculaire à l’axe du conducteur. Pour un cylindre de rayon r R: I(r) = r2 j 𝜇0 𝐼0 𝑟 𝐵 ⋅ 𝑑𝑟 = 𝜇0 𝐼 𝑟 ⟺ 𝐵2𝜋𝑟 = 𝜇0 𝐼 𝑟 ⟺ 𝐵(𝑟 ≤ 𝑅) = 2𝜋𝑅2 𝐶 Le champ magnétique pénètre linéairement dans un milieu conducteur parcouru par un courant homogène B(r) R r Utilisation du théorème d’Ampère Long cylindre Soit un long cylindre conducteur parcouru par un courant 𝐼0 de densité homogène j sur toute la section du cylindre de rayon R : 𝐼0 = 𝜋𝑅2 𝑗. Si on considère « long » comme « infini », on sait que par symétrie seule la composante azimutale est non nulle. On prend comme contour adapté à la symétrie un cercle perpendiculaire à l’axe du conducteur. Pour un cylindre de rayon r R : I(r) = R2 j 𝜇0 𝐼0 𝐵 ⋅ 𝑑𝑟 = 𝜇0 𝐼0 ⟺ 𝐵2𝜋𝑟 = 𝜇0 𝐼0 ⟺ 𝐵(𝑟 ≤ 𝑅) = 2𝜋𝑟 𝐶 Le champ magnétique pénètre linéairement dans un milieu conducteur parcouru par un courant homogène B(r) R r Utilisation du théorème d’Ampère Long solénoïde: Par symétrie B ne dépend ni de z ni de j z Composante radiale Br Comme 𝛻 ⋅ 𝐵 = 0, alors le flux de B à travers une surface fermée est nul.(théorème de Green-Ostrogradski) Bz z B·dS = + Bz·dS = +z B·dS = + Br·S·l B·dS = - Bz·dS = -z Ceci est vrai que le cylindre soit à l’intérieur ou à l’extérieur du solénoïde. Bj Br = 0 j r z Br y x I Utilisation du théorème d’Ampère Long solénoïde: Composante azimutale 𝑩𝝋 La circulation du champ magnétique le long d’un contour du type 𝒞 (de rayon r) ou 𝒞′ donne: z ∮ 𝐵 ⋅ 𝑑𝑙 = 2𝜋𝜌𝐵 A l’intérieur le contour 𝒞 n’est enlacé par aucun courant ⟹ 𝐵𝜑 = 0. 𝓒 A l’extérieur le contour 𝒞′ est enlacé une 𝜇 𝐼 seule fois par le courant I ⟹ 𝐵𝜑 = 0 . 𝓒′ 2𝜋𝜌 Si l’hélice est à pas nul le contour n’est traversé par aucun courant électrique ⟹ 𝐵𝜑 = 0 I Utilisation du théorème d’Ampère Long solénoïde: Composante axiale Bz Comme 𝛻 ∧ 𝐵 = 0 ⟺ 𝜕𝐵𝑧 𝜕𝜌 z = 0 (car 𝐵𝜌 = 0 et 𝐵𝜑 = 𝑐𝑠𝑡) Ceci veut dire que le champ est constant selon z et peut prendre au plus deux valeurs distinctes à l’intérieur ou à l’extérieur du solénoïde. Vu de loin ( 𝜌 ∞), le solénoïde ressemble à un fil infini et Bz(𝜌 ) = 0, donc Bz=0 partout à l’extérieur. Γ Le contour Γ, de longueur ℎ = 1 suivant « 𝑧 » est traversé par un courant 𝑁 × 𝐼 où 𝑁 est le nombre de spires par unité de longueur du solénoïde. La circulation de B le long de ce contour vaut 𝐵𝑧 ℎ = 𝜇0 𝑁. ℎ . 𝐼 ⟺ 𝐵𝑧 = 𝜇0 . 𝑁. 𝐼 où Bz est alors la seule composante non nulle de B à l’intérieur du solénoïde. I Utilisation du théorème d’Ampère Long solénoïde: À l’intérieur z 𝐵𝑧 = 𝜇0 . 𝑁. 𝐼 À l’extérieur ( si pas nul 𝐵𝑧 = 0) 𝐼 𝐵𝑧 = 𝜇 0 2𝜋𝜌 𝐵𝜌 = 0 I
