Électromagnétisme III

Lycée Gustave Eiel - Bordeaux
Électromagnétisme III
Électromagnétisme III
Champ magnétostatique & théorème d'Ampère
Considérons une bobine plate comportant N spires jointives concentriques dont le rayon évolue entre R1 et R2 .
Ex. 1 Disque de Rowland
Déterminer le champ magnétostatique produit en un point
M de l'axe (Oz ) de cette bobine, en fonction de I (intensité
Un disque de centre O et de rayon R, chargé uniformé- du courant parcourant les spires), R1 , R2 , θ1 et θ2 (angles
ment (σ > 0) est mis en rotation à la vitesse angulaire ω sous lesquels les rayons R1 et R2 sont vus du point M ).
R
constante autour de son axe de révolution (Oz ).
On donne dθ/ cos θ = ln |θ/2 + π/4|.
Réponses :
1. Quel est le type de courant ainsi créé ?
•
2. Calculer le vecteur densité surfacique de courant en
un point P (r) du disque puis calculer l'intensité I du
courant.
→
−
B (M ) =
Ex. 4
µ0 N I
2(R2 −R1 )
2 /2+π/4|
ln |θ
+
sin
θ
−
sin
θ
êz .
1
2
|θ1 /2+π/4|
Solénoïde tronconique
On réalise un bobinage en enroulant sur un tronc de
3. Quelles sont les symétries et invariances d'une telle cône, jointivement suivant la génératrice, N spires d'un l
distribution ?
de cuivre de diamètre a et de résistivité ρ. Le tronc du cône
4. En décomposant le disque en spires de courant élé- de sommet S , de demi-angle au sommet α est caractérisé
mentaire d'épaisseur dr, exprimer le champ magné- par les rayons r1 et r2 > r1 de ses deux bases. Chaque
spire est repérée par sa côte z qui mesure la distance qui
tique créé en point M de l'axe Oz .
→
−
sépare son centre de S . On désigne par r le rayon de la
Que vaut le champ B en z = 0 ?
spire située à la cote z .
Réponses :
→
−
S
2. j s = σωrêθ, I = σωR2√
/2.
→
−
µ0 σωz √ z
z 2 +R2
4. B = 2
+
−
2
êz .
2
2
z
z +R
a
a
r1
Ex. 2
Champ créé par une demi spire en son centre
Une demi-spire de centre O et de rayon R, dont les extrémités sont terminées par deux demi-ls rectilignes suivant
(Ox) et supposés innis, est parcouru par un courant d'in→
−
tensité I . On note B (O) le champ magnétique créé par
cette distribution de courant en O.
y
P
q
I
O
x
→
−
1. Quelle est la direction de B (O) ? Justier.
2. Quelle est la contribution des deux demi-ls au champ
→
−
B (O) ? Justier.
→
−
3. Exprimer en fonction de µ0 , I et R le champ B (O),
en utilisant comme variable d'intégration l'angle θ déni sur le dessin.
Réponses :
→
−
1. B (O) = B (O) êz .
→
−
0I
3. B (O) = µ4R
êz .
Ex. 3
Bobine plate
PCSI ∼ Année scolaire 2010-2011
r2
z
1. Exprimer le nombre N de spires qui constituent le
bobinage en fonction r1 , r2 , a et α.
2. On désigne par dN le nombre de spires dont la cote
est comprise entre z et z + dz . On considère que ces
dN spires ont la même circonférence et qu'elles créent
le même champ magnétique. Exprimer dN .
3. La résistance R d'un l de résistivité ρ, de section s
et de longueur l est donnée par la relation : R = ρl/s.
Calculer R pour l'ensemble du cône bobiné.
4. Le bobinage est parcouru par un courant I dans le
sens représenté sur la gure. On désigne par µ0 la
perméabilité du vide.
→
−
Calculer le champ magnétique B créé en S par la
totalité du bobinage.
Réponses :
1. N = (r2 − r1 ) / (a sin α).
2. dN = dr/ (a sin α).
3. R = 4ρ r22 − r12 / a3 sin α .
→
−
sin2 α
4. B (S) = µ0 I 2a
ln rr21 êz .
1
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Ex. 5
Électromagnétisme III
Conducteur cylindrique inni creux
Réponses :
2. B (r) = B0 − µ0 j (r − R1 ) pour R1 < r < R2 et
Soit un cylindre métallique d'axe Oz de rayon moyen R, B (r) = B0 − µ0 j (R2 − R1 ) pour r > R2 .
car d'épaisseur e très faible (e R, la matière conductrice 3. B0 = µ0 j (R2 − R1 ).
étant comprise entre les cylindres de rayon R − e/2 et
R + e/2). On peut le modéliser par un courant surfacique
Ex. 7 Câble coaxial
circulant suivant Oz .
1. Exprimer le champ B (r) pour r > R et r < R en
On considère un câble coaxial cylindrique de longueur
fonction de l'intensité totale I .
supposée innie, constitué d'un conducteur central plein
de rayon R1 parcouru par un courant uniforme d'intensité
2. Dénir la densité surfacique de courant js et exprimer
I et d'un conducteur périphérique évidé, de rayon intérieur
B (r) en fonction de js .
R2 , de rayon extérieur R3 > R2 > R1 et parcouru par un
→
−
3. Montrer que B subit une discontinuité à la traversée courant uniforme également d'intensité I mais circulant en
sens inverse par rapport au courant du conducteur central.
d'une nappe de courant de module µ0 js .
On notera êz le vecteur unitaire de l'axe commun des deux
Réponses :
conducteurs. Soit M situé à une distance r de l'axe du
1. B (r) = µ0 I/ (2πr) si r > R.
câble.
→
−
→
−
3. ∆ B 1→2 = µ0 j s ∧ êr,1→2 .
→
−
1. Montrer que le champ magnétique B créé au point
M est orthoradial.
Solénoïde équivalent à une distribution volumique
de courant
Ex. 6
Soit un solénoïde inni, d'axe Ox, comportant n spires
par unités de longueur, parcouru par un courant I . On
suppose que l'on peut assimiler ces n spires parcourues
→
−
par le courant I , à un courant de densité volumique j
uniforme, circulant entre R1 et R2 .
j
r
R1
R2
Axe Ox
1. Rappeler le théorème d'Ampère, qui relie la circulation du champ magnétique sur un contour fermé au
contour traversant ce contour.
2. Supposons, pour cette question que l'on connaît le
champ sur l'axe Ox d'intensité B0 .
En déduire, par le théorème d'Ampère, et en justiant
au préalable l'utilisation du contour représenté sur la
gure, l'expression du champ B , en fonction de B0
et des autres données du problèmes pour r < R1 ,
R1 < r < R2 et r > R2 .
→
−
2. Montrer qu'il peut se mettre sous la forme B =
B (r) êθ où B (r) est une fonction de r uniquement.
3. Préciser alors la forme des lignes de champ.
4. En appliquant le théorème d'Ampère à un contour C
que l'on précisera, donner l'expression de la composante B (r) du champ magnétique créé au point M en
fonction de µ0 , I , r, R1 , R2 et R3 , dans chacun des
cas suivant :
• r > R 3 ; • R3 > r > R 2 ; • R2 > r > R 1 ;
→
−
• R1 > r puis vérier la continuité du champ B .
Tracer le graphe de la fonction B (r).
Réponses :
2
2
0 I R3 −r
4. B (r) = µ2πr
pour R2
R32 −R22
µ0 I r
B (r) = 2π R2 pour R1 > r.
1
Ex. 8
< r < R3 et
Cavité cylindrique
Considérons un cylindre conducteur d'axe (O1 z ), de
rayon R1 parcouru par un courant de densité volumique
→
−
de courant uniforme j = jêz . On perce ce cylindre d'une
cavité d'axe (O2 z ), et de rayon R2 , et on suppose que la
distribution volumique de courant en dehors reste inchangée.
3. Par un raisonnement physique, concernant la valeur Déterminer le champ magnétostatique en tout point de la
du champ à une distance innie de l'axe, en déduire cavité.
Réponses :
la valeur de B0 en fonction des données du problème.
−−−→
→
−
•
B = µ20 j êz ∧ O1 O2 .
Reprendre les formules du champ magnétique obtenues lors de la question précédente, et les exprimer
en fonction des données du problèmes.
4. D'après la relation entre j et I , en déduire la valeur du
champ B0 , à l'intérieur du solénoïde inni en fonction
de n et I .
PCSI ∼ Année scolaire 2010-2011
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