Calcul de champs magnétiques

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Calcul de champs magnétiques
I Loi de Biot et Savart
A) Enoncé
(C)
I
M
+

dl
P
(C) : circuit filiforme orienté, définissant le courant I.
M est un point de l’espace.

Un élément dl en P du fil crée en M un champ magnétique :
 

0 Idl  u PM
dB( M ) 
4 PM 2
 0 : perméabilité du vide  4 10 7 H.m 1
principe de superposition :
 

0
Idl  u PM
(C) crée en M un champ magnétique B( M ) 
4 ( C ) PM 2
B) Champ magnétique créé par une spire circulaire sur son axe
On considère une spire de centre O, rayon R parcourue par un courant I
(définissant le sens positif)
z
M
O
I
y
R
x

On cherche le champ B en un point M de côte zsur l’axe (Oz .
Le plan yOz est un plan d’antisymétrie pour I , donc un plan de symétrie pour
B. Comme M

 yOz , on a B x  0 .
De même avec xOz , on aura B y  0 .



Donc B( M )  B z (0,0, z )k  B z ( z )k
De plus, Bz est une fonction paire : le plan xOy est un plan de symétrie pour I ,

donc un plan d’antisymétrie pour B . Donc, en M’ d’abscisse  z , on aura :
 







Bz ( z )k  B(M ' )  s xOy ( B(M ))  s xOy ( Bz ( z )k )   Bz ( z ).s xOy (k )  Bz ( z )k

Loi de Biot et Savart :
I
y 
e dP 
e
P
   d
O
x

OP   .e 




dP  d.e  .d .e  Rd .e


PM  PO  OM   R.e   z.k
Donc PM 2  R 2  z 2



PM  R.e  z.k

Ainsi, u PM 
.
PM
R2  z2
L’élément infinitésimal crée en M un champ :


dB( M )  0
4
0
I
R .d

zRd
R
0
0
z
2
R d
 I
 0
3
4 z 2  R 2 3 / 2
PM

   I


Ainsi, B( M )  Bz ( z )k    dB( M )  k k  0
 (C )

4
0
R 2 d
2
 z
0
2
 R2

3/ 2

 I
R2
Soit B( M )  0
2 z 2  R2 3/ 2
et, pour z  0 :

 I 
B(0)  0 k
2R
3

 

R

Donc B( M )  B(0)
2
2 
z

R




M
2
R


2
z
z
R


Donc B( M )  sin 3 ( ).B(0)


B( M )  1 / z 3 (caractéristique de la nature dipolaire du champ B )
z  
C) Champ créé par un solénoïde de longueur L, sur son axe
R
L
Cylindre de longueur L, rayon R sur lequel on réalise un enroulement serré de N
tours de fil parcouru par un courant I.
Cet enroulement équivaut à N spires de même rayon R, parcourues par un même
courant I, équidistantes et équiréparties sur la longueur L du solénoïde.
Condition :
L
L
 R , ou N  .
N
R
A

M zM
H
z
z2
z+dz z
z1
L
dz
 ndz spires (n : nombre de spires par unité de longueur)
L
situées entre les côtes z et z  dz créent en M un champ magnétique :


 0 .dN spires I
R2
dB(M ) 

k
3/ 2
2
R 2  (z  zM )2
Les dN spires  N



z2 
 0 R 2 nI z2
dz
Ainsi, B( M )   dB( M ) 

z1
z
2
1
2
R  (z  zM )2


 R 2 nI 
z  zM
Soit B( M )  0 2  
2R
 R 2  ( z  z M ) 2
On a :
z  z M  HM ,

z2
 
 k

z1
R 2  ( z  z M ) 2  AM
z  zM
Donc

k
3/ 2
R 2  (z  zM )2

 cos  , où   (k ,ˆ MA) .
2
1
M
z


 nI
Ainsi, B( M )  0  (cos  2  cos 1 )k
2
Cas particulier :
Pour un solénoïde très long et un point M à l’intérieur, très éloigné des deux faces :
M
z2
z1
z
cos  2  cos 1  1  (1)  2


Donc B(M )   0 nI .k
II Flux du champ magnétique
A) Propriété fondamentale du champ magnétique
Pour une surface fermée S :



S ( B)   B(M )  dS  0
S
Rappel du théorème de Gauss :

Q
 S ( E )  int
0
Remarque :
En électrostatique, on peut dissocier les charges + des charges – alors qu’en
magnétostatique, on ne peut pas séparer un pôle sud d’un pôle nord. Donc, par analogie
avec l’électrostatique pour la charge, on pourrait avoir à la placeles pôles, ce qui

explique le fait que S ( B)  0 (autant de pôles nord que de pôles sud)
B) Tube de champ

nlat

n2

n1
S1
Slat
S2
S  S1  S 2  S lat est une surface fermée.




 S ( B)  0   S2 ( B)   Slat ( B)   S1 ( B)  0

En tout point de S lat , n lat est perpendiculaire au champ magnétique.

Donc  Slat ( B)  0


Donc   S1 ( B)   S2 ( B)

 S1 ( B) : flux entrant (gauche vers droite)

 S 2 ( B) : flux sortant (gauche vers droite)
On a donc conservation du flux électromagnétique dans un tube de champ.
[ ]  Wb : le Weber.
1Wb  1T.m 2
III Circulation de

B , théorème d’Ampère
A) Théorème d’Ampère
On considère un contour  orienté.
I1

n
+
I2

n

Théorème d’Ampère :



C ( B)   0 I S ( B ne dérive donc pas d’un potentiel, car sinon C  ( B )  0 )




C ( B)   B(M )  dM , où dM est dans le même sens que le sens positif de  .

Et I S est la somme algébrique des courants qui traversent S dans le sens positif
associé à  .
Ici, I S  I1  I 2
B) Champ créé par un fil rectiligne infini
z 
H
k e

 
M e
k
O

N
I
y
x
1) Symétries
 
Le plan (O, e , k ) est un plan de symétrie pour I , donc un plan


d’antisymétrie pour B . Comme M est dans ce plan, B (M ) est perpendiculaire à

 

(O, e , k ) , donc B(M )  B (  , , z)e .

On a une symétrie cylindrique, donc
B
 0.

B
 0.
La distribution I  est invariante par translation d’axe (Oz , donc

z


Donc B(M )  B (  , )e
2) Théorème d’Ampère
Contour  d’Ampère : cercle de centre H  (Oz , horizontal et de rayon
  0.
z
I

n
+
H 
Orientation : sens trigonométrique.

Surface : disque S de centre H et de rayon  , orienté comme k .

dM
M
H
+




C  B(M )  dM  B (  M )e   M d .e  B (  )  .d

2
Donc C ( B)   B (  ) .d   B (  ) .d  2B (  ) 
0
Ici, I S   I
Donc, d’après le théorème d’Ampère, 2B (  )    0 I

 I 

 I
D’où B (  )  0 , soit B( M )  B (  )e  0 e .
2
2
C) Le solénoïde infini
L
 N . On suppose L infini.
R
I
l
A 1
z
D
R
2 B

+ M
n
C
Plan de la feuille : un (ou le) plan contenant (Oz et M.

Le plan passant par M et normal à k est un plan de symétrie pour I , donc

d’antisymétrie pour B .

Comme M est dans le plan, B (M ) est perpendiculaire à ce plan, donc


B( M )  B z (  , , z )k .


On a invariance par rotation d’axe (Oz ou translation de direction k .


Donc B( M )  B z (  )k .
Les lignes de champ sont donc des droites parallèles à l’axe (Oz .
On considère le contour   ABCDA , orienté dans le sens horaire.


C  B( M )  dM .
- Sur AB :



B ( M )  B z (  M ) k  B z ( 1 ) k





dM  d .e   d .e  dz.k  dz.k
 
 0 car
 cte 1
 0 car plan
  cte

zB
Donc C  Bz ( 1 )dz , soit C AB ( B)    C   B z ( 1 )dz  B z ( 1 )  (l )
AB
- Sur BC :



dM  d.e  B(M )  Bz (  )dz

Donc CBC ( B)  0
- Sur CD :
 


dM  dz.k , B( M )  B z (  2 )k .
zA

Donc C  Bz (  2 )dz , soit CCD ( B)  Bz (  2 )  l

Sur DA, on aura, de même que sur BC, C D A ( B)  0

Donc C  ( B)  [ Bz ( 1 )  B z ( 1 )]  l
I S   n
 l  I pour 1  R  2
-
nombre de
spires
pour 1 ,  2  R ou 1 ,  2  R , I S  0 .
Théorème d’Ampère :

C ( B)  0 I S
Donc :
[ Bz ( 1 )  Bz ( 1 )]  l   0 I S
si 1 ,  2  R
 B z ( 1 )  B z (  2 )

Soit Bz (  2 )  Bz ( 1 )    0 nI si 1  R   2
B (  )  B (  )
si 1 ,  2  R
z
2
 z 1
 Bz (  )  A si   R
Donc 
, et B  A   0 nI
Bz (  )  B si   R
Or, pour   0 (c’est à dire pour un point de l’axe (Oz ), à grande distance des


extrémités du solénoïde (ici à l’infini), on a B   0 nI .k
Donc A   0 nI , et B  0


Ainsi, B(M )   0 nI .k à l’intérieur,

 0 à l’extérieur.
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