Calcul de champs magnétiques

I Loi de Biot et Savart
A) Enoncé
(C)I+
P
M
ld
(C) : circuit filiforme orienté, définissant le courant I.
M est un point de l’espace.
Un élément
ld
en P du fil crée en M un champ magnétique :
2
0
4
)( PMulId MBd PM
0
: perméabilité du vide
17 H.m104
principe de superposition :
(C) crée en M un champ magnétique
)( 2
0
4
)( C
PM
PMulId
MB 
B) Champ magnétique créé par une spire circulaire sur son axe
On considère une spire de centre O, rayon R parcourue par un courant I
(définissant le sens positif)
z
y
x
OR
MI
On cherche le champ
B
en un point M de côte zsur l’axe
Oz(
.
Le plan
yOz
est un plan d’antisymétrie pour
I
, donc un plan de symétrie pour
B
. Comme
yOzM 
, on a
0
x
B
.
De même avec
xOz
, on aura
0
y
B
.
Donc
kzBkzBMB zz
)(),0,0()( 
De plus,
z
B
est une fonction paire : le plan
xOy
est un plan de symétrie pour
I
,
donc un plan d’antisymétrie pour
B
. Donc, en M’ d’abscisse
z
, on aura :
kzBkszBkzBsMBsMBkzB zxOyzzxOyxOyz
)()().())(())(()'()( 
Loi de Biot et Savart :
I
x
y
O
d
e
e
Pd
P
eOP  .
eRdededPd 
.... 
kzeROMPOPM 
.. 
Donc
222 zRPM 
Calcul de champs magnétiques

Ainsi,
22
..
zR
kzeR
PM
PM
uPM 
.
L’élément infinitésimal crée en M un champ :
2/3
22
0
0
3
0
0
.
0
02
44
)( Rz
I
PM
I
MBd dR
zRd
z
R
dR
Ainsi,
2
02/3
22
2
0
)( 4
)()()( Rz
dR
I
kkMBdkzBMB C
z
Soit
2/3
22
2
0
2
)( Rz
R
I
MB 
et, pour
0z
:
k
R
I
B
2
)0( 0
Donc
3
22
)0()(  Rz
R
BMB 
R
M
z
22 zR 
Donc
)0().(sin)( 3BMB 
3
/1)( zMB z
(caractéristique de la nature dipolaire du champ
B
)
C) Champ créé par un solénoïde de longueur L, sur son axe
L
R
Cylindre de longueur L, rayon R sur lequel on réalise un enroulement serré de N
tours de fil parcouru par un courant I.
Cet enroulement équivaut à N spires de même rayon R, parcourues par un même
courant I, équidistantes et équiréparties sur la longueur L du solénoïde.
Condition :
R
N
L
, ou
R
L
N
.
L
A
H
z1
z2zz+dz
MzM
z
Les
ndz
L
dz
NdN 
spires
spires (n : nombre de spires par unité de longueur)
situées entre les côtes z et
dzz
créent en M un champ magnétique :
k
zzR
R
IdN
MBd
M
2/3
22
2
spires0
)(
2
.
)( 

Ainsi,
k
zzR
dz
nIR
MBdMB z
zM
z
z
 2
1
2
12/3
22
2
0
)(
2
)()(
Soit
k
zzR
zz
R
nIR
MB
z
z
M
M
2
1
22
2
2
0
)(
2
)( 
On a :
HMzz M
,
AMzzR M 22 )(
Donc
cos
)( 22 
M
M
zzR
zz
, où
)
ˆ
,( MAk
.
z
M
2
1
Ainsi,
k
nI
MB 
)cos(cos
2
)( 12
0
Cas particulier :
Pour un solénoïde très long et un point M à l’intérieur, très éloigné des deux faces :
z
z1 z2M
2)1(1coscos 12 
Donc
knIMB 
.)( 0
II Flux du champ magnétique
A) Propriété fondamentale du champ magnétique
Pour une surface fermée S :
0)()(  S
SSdMBB 
Rappel du théorème de Gauss :
0
int
)(
Q
E
S
Remarque :
En électrostatique, on peut dissocier les charges + des charges – alors qu’en
magnétostatique, on ne peut pas séparer un pôle sud d’un pôle nord. Donc, par analogie
avec l’électrostatique pour la charge, on pourrait avoir à la placeles pôles, ce qui
explique le fait que
0)( B
S
(autant de pôles nord que de pôles sud)
B) Tube de champ
S1S2
2
n
1
n
Slat
lat
n
lat21 SSSS 
est une surface fermée.
0)()()(0)( 1lat2  BBBB SSSS
En tout point de
lat
S
,
lat
n
est perpendiculaire au champ magnétique.

Donc
0)(
lat B
S
Donc
)()( 21 BB SS
)(
1B
S
: flux entrant (gauche vers droite)
)(
2B
S
: flux sortant (gauche vers droite)
On a donc conservation du flux électromagnétique dans un tube de champ.
Wb][ 
: le Weber.
2
T.m1Wb1
III Circulation de
B
, théorème d’Ampère
A) Théorème d’Ampère
On considère un contour orienté.
+
n
I2
I1
n
Théorème d’Ampère :
S
IBC 0 )(
(
B
ne dérive donc pas d’un potentiel, car sinon
0)( 
BC 
)
 MdMBBC  )()(
, où
Md 
est dans le même sens que le sens positif de .
Et
S
I
est la somme algébrique des courants qui traversent S dans le sens positif
associé à .
Ici,
21 IIIS
B) Champ créé par un fil rectiligne infini
z
y
x
k
I
e
e
k
M
N
H
O
1) Symétries
Le plan
),,( keO 
est un plan de symétrie pour
I
, donc un plan
d’antisymétrie pour
B
. Comme M est dans ce plan,
)(MB
est perpendiculaire à
),,( keO 
, donc
ezBMB 
),,()( 
.
On a une symétrie cylindrique, donc
0
B
.
La distribution
I
est invariante par translation d’axe
Oz(
, donc
0
z
B
.
Donc
eBMB 
),()( 
2) Théorème d’Ampère
Contour d’Ampère : cercle de centre
OzH(
, horizontal et de rayon
0
.

z
n
H
+
I
Orientation : sens trigonométrique.
Surface : disque S de centre H et de rayon , orienté comme
k
.
H+
M
Md 
dBedeBMdMBC MM .)(.)()(  
Donc
)(2.)(.)()( 2
0BdBdBBC  
Ici,
IIS
Donc, d’après le théorème d’Ampère,
IB 0 )(2
D’où
2
)( 0I B
, soit
e
I
eBMB 
2
)()( 0
.
C) Le solénoïde infini
N
R
L
. On suppose L infini.
z
I
M
l
+
A B
CD
n
1
2
R
Plan de la feuille : un (ou le) plan contenant
Oz(
et M.
Le plan passant par M et normal à
k
est un plan de symétrie pour
I
, donc
d’antisymétrie pour
B
.
Comme M est dans le plan,
)(MB
est perpendiculaire à ce plan, donc
kzBMB z
),,()(
.
On a invariance par rotation d’axe
Oz(
ou translation de direction
k
.
Donc
kBMB z
)()(
.
Les lignes de champ sont donc des droites parallèles à l’axe
Oz(
.
On considère le contour
ABCDA
, orienté dans le sens horaire.
MdMBC   )(
.
- Sur AB :
kBkBMB zMz
)()()( 1
kdzkdzededMd 
....
cte
plan car 0
cte
car 0
1
Donc
dzBC z)( 1
, soit
)()()()( 11
lBdzBCBC z
z
zz BA
BA
B
A
- Sur BC :
dzBMBedMd z)()(.
Donc
0)(
BC CB
- Sur CD :
kdzMd 
.
,
kBMB z
)()( 2
.